1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 y4ye 2 的特解形式为( )（A）ae 2bc（B） a2e2 bc（C） ae2b 2c（D）ae 2bc2 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y1e ，y 22e ，y 33e -，则该微分方程为( )（A）yyyy0（B） yyyy0（C） y2yy2y0（D）y2yy2y0二、填空题3 微分方程 yytancos 的通解为_4 设 f()在0 ，)上非负连续，且 f()0f(t)dt2 3，则 f()_5 连续函数 f()满足 f() 30f(t)dt2
2、，则 f()_6 设 yy()可导，y(0)2，令yy( )y()，且y ，其中 是当0 时的无穷小量，则 y()_7 的通解为_8 微分方程 yyln(y)10 的通解为_9 微分方程 y2d( 2y)dy0 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求微分方程 1 yy 的通解11 求微分方程 yyln 的通解12 求微分方程 y2y e的通解13 设 0 时， f()可导，且满足：f()1 f(t)dt，求 f()14 求微分方程(y )ddy0 的满足初始条件 y(1)0 的解15 求微分方程(y 3)d2dy0 的通解16 求微分方程 y2d(2yy 2)dy
3、0 的通解17 求微分方程 cosy cossin 2ysiny 的通解18 求微分方程 y 2y 2 满足初始条件 y(e)2e 的特解19 求微分方程 2yy y2 满足初始条件 y(1)1 的特解20 求微分方程 的通解21 求微分方程 的通解22 设 ye 为微分方程 yP()y 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)0的特解23 设 f()e 0(t)f(t)dt，其中 f()连续，求 f()24 求微分方程 y3y 0 的通解25 设当 0 时，f()满足 1f(t)dtf()，求 f()26 求满足初始条件 y2(y) 20，y(0)1，y(0)1 的特解27 求微分方程
4、yyy 2满足初始条件 y(0)y(0)1 的特解28 求微分方程 yy6y0 的通解29 求微分方程 y4y4y0 的通解考研数学二（常微分方程）模拟试卷 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 y4y0 的特征方程为 240 ，特征值为 12， 22 y4ye 2 的特解形式为 y1ae 2， y4y 的特解形式为 y2bc，故原方程特解形式为 ae2bc ，选 D【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 A【试题解析】 由 y1e ，y 22e ，y 33e 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为 1 21
5、， 31，其特征方程为(1) 2(1)0，即3 210，所求的微分方程为 yyy0，选 A【知识模块】 常微分方程二、填空题3 【正确答案】 y(C)cos【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 2【试题解析】 0f(t)dt 0f(u)(du) 0(u)du， 令 F() 0f(u)du，由 f()0f(t)dt2 3，得 f()0f(u)du2 3， 即 2 3，则 F2() 4C 0 因为 F(0)0，所以 C00，又由 F()0，得 F() 2，故 f()2【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 2e 3【试题解析】 由 0f(t)dt 0f(u)(du) 0f(u)du 得 f(
6、)3 0f(u)du2， 两边对 求导得 f()3f()0，解得 f()Ce -3dCe 3， 取 0 得 f(0)2，则C2，故 f()2e 3【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 2【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 【试题解析】 由 得 2y 2，则【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 ln(y)C【试题解析】 令 yu ， yy ，代入原方程得 0，分离变量得 ，积分得 lnlnuln lnC，即 lnuC，原方程的通解为 ln(y)C【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 yC【试题解析】 令 u ，则 ， 代入原方程得 ，两边积分得 u lnuln lnC0， 解得
7、 yC 【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 由 1yy 得 (1)(1y)，分离变量得(1 )d ， 两边积分得 ln1y C 【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 y yln 可写为 ， 令 u ，原方程化为u ulnu， 变量分离得 ，积分得 ln(lnu1)lnlnC ，即lnu1C，或 ue C1 ， 故原方程的通解为 ye C1 【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 令 yp，则原方程化为【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 由 f()1 f(t)dt 得 f() 1f(t)dt， 两边对 求导得 f()f(
8、)1f()，解得 f() ，f()lnC， 因为 F(1)1，所以 C1，故f()ln1【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 由(y )ddy0，得 令 u ，则原方程化为 ，积分得 ln(u )lnlnC， 即 C，将初始条件 y(1)0 代入得 C1 由即满足初始条件的特解为 y【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 由(y 2)d2dy0，得即原方程的通解为 y (其中 C 为任意常数)【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 由 y2d (2yy 2)dy0 得 令 u ，则，解得 u2(u3) ， 所以原方程的通解为 y2(y3)C【知识模块】 常微分方程17 【正确答案
9、】 由 cosy cossin 2ysiny 得 cossin 2ysiny， 令usiny ，则 ucos.u 2，令 u-1z ，则 zcos， 解得 zcos)edd Ced e cosdC e(sincos Ce Ce (sincos) 则【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 由 y 2y 2，得 ， 令 u，得，解得 u2ln 2C，由 y(e)2e ，得 C2， 所求的特解为y2 2ln22 2【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 由 2y yy 2 得 ， 令 u ，则有， 两边积分得 ， 即 C 2， 因为 y(1)1 ，所以 C1，再把 u 代入 C 2 得原方程
10、的特解为 y【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 令 y u，则 1，于是有 ， 变量分离得 d ，两边积分得 uarctanu C， 所以原方程的通解为yarctan(y)C【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 把 ye 代入微分方程 yP()y，得 P()e ，原方程化为 y(e 1)y1， 则将 y(ln2)0 代入yC e 中得 C ，故特解为 y e 【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 由 f()e 0(t)f(t)dt，得 f()e 0f(t)dt 0tf(t)dt， 两边对 求导，得 f()e 0f(t)dt，两边再
11、对 求导得 f()f()e ， 其通解为f()C 1cosC 2sin e 在 f()e 0(t)f(t)dt 中，令 0 得 f(0)1，在f()e 0f(t)dt 出中，令 0 得 f(0)1， 于是有 ， 故 f()【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 令 yp，则 ， 解得 p，即 y ，则 y C 2【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 由 1f(t)dtf()，两边求导得 f()f()1， 解得 f()Ce 1，而 f(1)1，所以 f()12e 1 【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 令 yp，则 y ，代入方程得 2p 20，解得 2C 1， 由 y(0)1
12、 得 C11，于是 y ，yarctanC 2， 再由 y(0)1 得 C21，所以 yarctan 1【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 令 yp，则 y ，代入原方程得当 p0 时，y1 为原方程的解； 当 P0 时，由 ，解得 pC 1 C 1y 由 y(0)y(0)1 得C11， 于是 y0，解得 yC 2 C 2e， 由 y(0)1 得 C21，所以原方程的特解为 ye 【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 特征方程为 2 60，特征值为 12， 23，则原方程的通解为 yC 1e2C 1e3【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 特征方程为 2 40，特征值为 1 22，则原方程的通解为 y(C 1C 2)e2 【知识模块】 常微分方程
