1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1()， 2()为一阶非齐次线性微分方程 yP()yQ() 的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（A）C 1() 2()（B） C1() 2()（C） C1() 2() 2()（D） 1() 2()C 2()2 设 yy()为微分方程 2yd( 21)dy 0 满足初始条件 y(0)1 的解，则 y()d 为( ) （A）ln3（B） ln3（C） ln3（D） ln33 微分方程 yy6y(1)e -2的特解形式为( )（A）(ab)e -2（B） a2e-2（C
2、） (a2b)e -2（D） 2(ab)e -2二、填空题4 设连续函数 f()满足 f() dte ，则 f()_5 微分方程(23)y4y的通解为_6 yy1y 2满足初始条件 y(0)1，y(0) 0 的解为_7 微分方程 y4y48 的通解为_8 设 yy()过原点，在原点处的切线平行于直线 y2 1，又 yy()满足微分方程 y6y9ye 3，则 y()_9 微分方程 2y3y 2 满足初始条件 y(2)1，y(2)1 的特解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求微分方程 yy2y0 的通解11 设二阶常系数齐次线性微分方程以 y1e 2，y 22e -3e
3、2为特解，求该微分方程12 求微分方程 y2y3y(21)e 的通解13 求 y2ye 20 满足初始条件 y(0)1，y(0)1 的特解14 求微分方程 y4y4ye a的通解15 求微分方程 yy 23cos 的通解16 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v t0 v 0已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问 t 为多少时此质点的速度为 ?并求到此时刻该质点所经过的路程17 设 f()在0，)上连续，且 f(0)0，设 f()在0，上的平均值等于 f(0)与f()的几何平均数，求 f()18 设曲线 L 位于 Oy 平面的第一象限内， L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交
4、，交点为 A，已知MAOA，且 L 经过点( )，求 L 的方程19 在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 轴平行20 一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为 r0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 ，求全部融化需要的时间21 设 f()在0，1上连续且满足 f(0)1，f()f()a(1)yf()，0，1，y0 围成的平面区域绕 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f()22 设 f()在( 1，)内连续且 f() t
5、f(t)dt1(1)，求 f()23 设 f()是连续函数 (1)求初值问题 的解，其中 a0； (2)若f()k，证明：当 0 时，有f() (ea1)24 设有微分方程 y2y()，其中 () ，在(，)求连续函数y()，使其在(，1) 及(1，) 内都满足所给的方程，且满足条件 y(0)025 利用变换 zarctant 将方程 cos4 cos 2(2sin2) ytan 化为 y 关于t 的方程，并求原方程的通解26 设 f()为偶函数，且满足 f()2f()3 0f(t)dt3 2，求 f()27 设二阶常系数线性微分方程 yaybyce 有特解 ye 2(1)e ，确定常数 a，
6、b，c，并求该方程的通解28 设 u 且二阶连续可导，又 2 且 0，求f()29 设函数 f()在0 ，)内可导，f(0)1，且 f()f() f(t)dt0 (1)求 f()； (2)证明：当 0 时，e f()1考研数学二（常微分方程）模拟试卷 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1()， 2()为方程 yP()y Q()的两个线性无关解，所以1() 2()为方程 yP()y0 的一个解，于是方程 yP()yQ()的通解为C1() 2() 2()，选 C【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 D【试题解析
7、】 由 2yd (21)dy0 得 0，积分得 ln( 21)lnylnC，从而 y ， 由 y(0)1 得 C1，于是 y ， 故， 因此选 D【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 C【试题解析】 因为原方程的特征方程的特征值为 12， 23，而2 为其中一个特征值，所以原方程的特解形式为 (ab)e 2 ，选 C【知识模块】 常微分方程二、填空题4 【正确答案】 2e 2e 【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 y C136C 129C 1C 2【试题解析】 令 yp ，则 ，两边积分得 lnp ln(2 3)2lnC 1，或 yC 1(23) 3， 于是 y C136C 129C
8、 1C 2【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 lny 【试题解析】 令 yp ，则 yp 1p 2，即 ，解得 ln(1p 2)lny 2lnC 1， 则 1p 2C 1Y2，由 y(0)1，y(0)0 得 y ， lnyC 2，由 y(0)1 得 C20，所以特解为 lny 【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 yC 1cos2C 2sin2 2【试题解析】 微分方程两个特征值为 12i， 22i， 则微分方程的通解为yC 1cos2C 2sin2 2【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 y()2e 3 2e3【试题解析】 由题意得 y(0)0，y(0) 2， y6y9ye 3
9、的特征方程为2690，特征值为 1 23， 令 y6y 9ye 3的特解为 y0()a 2e3代入得以 a ， 故通解为 y(C 1C 2)e3 2e3 由 y(0)0，y(0)2 得C10，C 22，则 y()2e 3 2e3【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 特征方程为 2 0，特征值为 1,2 ， 则原方程的通解为 y【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 因为 y1e 2，y 22e 3e 2为特解，所以 e2，e 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 11， 22，特征方程
10、为( 1)(2) 0 即 220，所求的微分方程为 y y2y0【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 特征方程为 22 30，特征值为 11， 23， 则 y2y3y0 的通解为 yC 1eC 2e3 令原方程的特解为 y0(ab)e ，代入原方程得 ， 所以原方程的通解为 yC 1eC 2e3 (22)e 【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 原方程化为 y2ye 2 特征方程为 220，特征值为10， 22， y2y0 的通解为 yC 1C 2e2 设方程 y2ye 2的特解为 y0Ae 2代入原方程得 A ， 原方程的通解为 yC 1C 2e2 e2 由y(0)1，y(0)1
11、 得 解得 故所求的特解为y 【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 特征方程为 24 40，特征值为 1 22，原方程对应的齐次线性微分方 程的通解为 y(C 1C 2)e2 (1)当 a2 时，因为 a 不是特征值，所以设原方程的特解为 y0()Ae a，代入原方程 得 A ，则原方程的通解为 y(C 1C 2)e 2 ； (2)当 a2 时，因为 a2 为二重特征值，所以设原方程的特解为 y0()A 2e2 ， 代入原方程得 A ，则原方程的通解为 y(C 1C 2)e2 2e2 【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 特征方程为 210，特征值为 1i， 2i， 方程 yy0
12、的通解为 yC 1cosC 2sin 对方程 yy 33，特解为 y1 21； 对方程 yycos，特解为 sin，原方程的特解为 21 sin， 则原方程的通解为 yC 1cosC 2sin 21 sin【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 设 t 时刻质点运动的速度为 v(t)，阻力 Fma ， 则有，解此微分方程得 v(t)v 0et 由 v0et 得 tln3 ，从开始到 tln3 的时间内质点所经过的路程为【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 根据题意得 ，令 a ， 则有 0f(t)dt 两边求导得 ，【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 设点 M 的坐标为(，y
13、)，则切线 MA：Yyy(X ) 令X0，则 Yyy ，故 A 点的坐标为(0，yy) 由MAOA，得yy 即 2yy y2 ，或者 ， 则 y2 ( C)， 因为曲线经过点( )，所以 C3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为 y(0 3)【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 设所求曲线为 yy()，该曲线在点 P(，y)的法线方程为 Yy (X)(y0) 令 Y0，得 Xyy，该点到 轴法线段 PQ 的长度为由题意得 ，即yy1y 2 令 yp，则 y ，则有 1p 2，或者，两边积分得 y ，由 y(1)1，y(1)0 得 C11，所以 y ，变量分离得 dy，两边积分得 ln(y
14、) C2，由 y(1)1 得 C2 ， 两式相加得 y ch(1)【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 设 t 时刻雪堆的半径为 r，则有 2kr 2，V(t) r3，则于是有 rktC 0， 由 r(0)r 0，r(3) ，得C0r 0，k ，于是 r tr 0，令 r0 得 t6，即 6 小时雪堆可以全部融化【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 由 f()f() a(1)得 f()a(1)e 1d dCed Ce av， 由 f(0)1 得 C1，故 f()e a V(a)由 V(a) 0 得 a3，因为 V(a) 0，所以当 a3 时，旋转体的体积最小，故 f()e 3【知识
15、模块】 常微分方程22 【正确答案】 由 f() tf(t)dt1 得(1)f() 0tf(t)dt1， 两边求导得 f()(1)f() f()1，由 f(0)1 得 C3，故 f()【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 (1) yayf() 的通解为 y 0f(t)eatdtCe a ， 由 y(0)0 得C0，所以 ye a 0f(t)eatdt (2)当 0 时，因为 ea 1，所以y (ea1)【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 当 1 时，y2y2 的通解为 yC 1e21，由 y(0)0 得C11， ye 21； 当 1 时，y2y0 的通解为 yC 2e2，根据给定
16、的条件， y(10)C 2e2y(10)e 21，解得 C21e -2，y(1e -2)e2， 补充定义 y(1)e 21，则得在 (，)内连续且满足微分方程的函数【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 代入整理得 yt 0 的特征方程为 2210，特征值为 1 21， 则 t 的通解为 y(C 1C 2t)e-tt2， 故原方程通解为 y(C 1C 2tan)e-tantan 2【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 0f(t)dt 0(t)d( t) 0f(u)du 0f(u)du， 则有f()2f()3 0f(u)du 32，因为 f()为偶函数，所以 f()是奇函数， 于是f(
17、0)0，代入上式得 f(0)1 将 f()2f() 3 0f(u)du3 2 两边对 求导数得 f () 2f()3f()3， 其通解为 f()C 1eC 2e3 1，将初始条件代入得 f()1【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 将 ye 2(1)e 代入原方程得 (42a b)e 2(32ab)e (1ab)e ce ， 则有 解得 a3，b2，c1， 原方程为 y3y2ye 原方程的特征方程为 2320，特征值为11， 22，则 y3y2y0 的通解为 yC 1eC 2e2，于是原方程的通解为yC 1eC 2e2e 2(1 )e【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 由 2 得
18、 f(1)0，f(1)2，令 r ，则得 f (r) f(r)0 或 rf(r) f(r) 0， 解得 rf(r)C 1，由 f(1)2 得 C12，于是 f(r) ， f(r)lnr 2C 2，由 f(1)0 得 C20，所以 f()ln 2【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 (1)( 1)f()(1)f() 0f(t)dt0，两边求导数，得 (1)f()(2)f() 再由 f(0)1，f(o)f(0)0，得 f(0)1，所以 C1，于是 f() (2)当 0 时，因为 f()0 且 f(0)1，所以 f()f(0)1 令 g()f()e ，g(0) 0，g()f()e e 0， 由 f()e (0)【知识模块】 常微分方程
