1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y x=2=1 的特解为( )（A）xy 2=4。（B） xy=4。（C） x2y=4。（D）一 xy=4。2 设 y1，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使y1+2 是该方程的解，y 1 一 y2 是该方程对应的齐次方程的解，则( )3 具有特解 y1=ex ，y 2=2xex ，y 3=3ex 的三阶常系数齐次线性微分方程是 ( )（A）y 一 y一 y+y=0。（B） y+y一
2、y一 y=0。（C） y一 6y+11y一 6y=0。（D）y 一 2y一 y+2y=0。4 若 y=xex+x 是微分方程 y一 2y+ay=bx+C 的解，则( )（A）a=1 ，b=1，c=1。（B） a=1，b=1，c=一 2。（C） a=一 3，b=一 3，c=0 。（D）a= 一 3，b=1，c=1。5 微分方程 y一 2y=ex+ex (0)的特解形式为( )（A）a(e x+ex )。（B） ax(ex+ex )。（C） x(axx+bex )。（D）x 2(aex+bex )。二、填空题6 微分方程 y=1+x+y2+xy2 的通解为_。7 微分方程 满足初始条件 y(1)=
3、1 的特解是 y=_。8 微分方程 xy+2y=sinx 满足条件 y x= 的特解为_。9 微分方程(y+x 2ex )dx 一 xdy=0 的通解是 y=_。10 微分方程 ydx+(x 一 3y2)dy=0，x0 满足条件 y x=1=1 的特解为_。11 微分方程 xy+3y=0 的通解为_。12 微分方程 y一 4y=e2x 的通解为 _。13 微分方程 y一 3y+2y=2ex 满足 =1 的特解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求微分方程(x 2 一 1)dy+(2xy 一 cosx)dx=0 满足 y(0)=1 的解。15 求微分方程 y(x+y2)
4、=y满足初始条件 y(1)=y(1)=1 的特解。15 设函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=1，且满足等式 f(x)+f(x)一 0xf(t)dt=0。16 求导数 f(x)；17 证明：当 x0 时，成立不等式 ex f(x)1。18 利用代换 y= 将方程 ycosx 一 2ysinx+3ycosx=ex 化简，并求出原方程的通解。19 设 y=y(x)是区间 (一 ，)内过 的光滑曲线，当一 x0 时，曲线上任一点处的法线都过原点，当 0x 时，函数 y(x)满足 y+y+x=0。求函数 y(x)的表达式。19 设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点
5、的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点( ，0)。20 (I)试求曲线 L 的方程；21 ( )求 L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形面积最小。22 设 y=y(x)是凸的连续曲线，其上任意一点(x，y) 处的曲率为 ，且此曲线上点(0 ，1)处的切线方程为 y=x+1，求该曲线的方程，并求函数 y=y(x)的极值。23 假设： 函数 y=f(x)(0x+)满足条件 f(0)=0 和 0f(x)ex 一 1； 平行于 y轴的动直线 MN 与曲线 y=f(x)和 y=ex 一 1 分别相交于点 P1 和 P2； 曲线 y=f(x)，直线 MN
6、 与 x 轴所围成的封闭图形的面积 S 恒等于线段 P1P2 的长度。 求函数y=f(x)的表达式。24 设 f(x)是区间0，+)上具有连续导数的单调增加函数，且 f(0)=1。对任意的t0，+)，直线 x=0，x=t，曲线 y=f(x)以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体。若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 f(x)的表达式。考研数学二（常微分方程）模拟试卷 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 原微分方程分离变量得 ，两端积分得 lny=一2lnx+lnC，x 2y=C，将
7、y x=2=1 代入得 C=4，故所求特解为 x2y=4。应选 C。【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 A【试题解析】 由已知条件可得由 y1+y2 仍是该方程的解，得(y 1+xy2)+p(x)(y1+y2)=(+)q(x)，则 +=1；由 y1 一 y2 是所对应齐次方程的解，得(y 1一 y2)+p(x)(y1 一 y2)=( 一 )q(x)，那么 一 =0。综上所述 = 。【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 B【试题解析】 由 y1=ex ，y 2=2xex ，y 3=3ex 是所求方程的三个特解知，=一 1，一1，1 为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特
8、征方程为( 一1)(+1)2=0，即 3+2 一 1=0，对应的微分方程为 y+y一 y一 y=0，故选 B。【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 B【试题解析】 由于 y=xex+x 是方程 y一 2y+ay=bx+c 的解，则 xex 是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根 1=2=1，则 a=1。 x 为非齐次方程的解，将 y=x 代入方程 y一 2y+y=bx+c，得 b=1，c=一 2，故选 B。【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 C【试题解析】 原方程对应的齐次方程的特征方程为 r2 一 2=0，其特征根为r1，2 =，所以 y一 2y=ex 的特解为 y1*=axex
9、，y 一 2y=e2x 的特解为y2*=bxex ，根据叠加原理可知原方程的特解形式为 y *=y1*+y2*=x(aexbe x )，因此选 C。【知识模块】 常微分方程二、填空题6 【正确答案】 y=tan (1+x)2+C【试题解析】 将已知微分方程变形整理得， =(1+x)(1+y2)，则 =(1+x)dx，两边积分可得， arctany= (1+x)2+C，因此 y=tan (1+x)2+C。【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 xe 1x【试题解析】 此方程为一阶齐次微分方程，令 y=x，则有 ，所以原方程可化为 + =ln， x=1=1。解此微分方程得 lnln-1=lnC
10、1x，去绝对值可得 ln=C1x+1，=e C1x1 ，将 x=1=1 代入，得 C1=1，=e 1x ，因此原方程的解为 y=xe1x 。【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 y= (sinx-xcosx)【试题解析】 将已知方程变形整理得， ，根据通解公式得，y= (sinxxcosx+C)，由y x= ，得 C=0，因此 y= (sinxxcosx)。【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 x(一 ex +C)【试题解析】 微分方程(y+x 2ex )dxxdy=0，可变形为 =xex 。所以其通解为 y= =x(一 ex +C)。【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 x=y
11、 2【试题解析】 对原微分方程变形可得 =3y。此方程为一阶线性微分方程，所以 x=，又 y=1 时x=1，解得 C=0，因此 x=y2。【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 y=C 1+【试题解析】 令 p=y，则原方程化为 p+ p=0，其通解为 p=Cx3 。因此，y=Cx3 dx=C1 一 。【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 y=C 1e2x +(C2+ x)e2x【试题解析】 对应齐次微分方程的特征方程为 2 一 4=0，解得 1=2， 2=一 2。故y一 4y=0 的通解为 y1=C1e2x +C2e2x，其中 C1，C 2 为任意常数。由于非齐次项为f(x)=e2
12、x，=2 为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为 y*=Axe2x，代入原方程可求出 A= 。故所求通解为 y=C1e2x +(C2+ x)e2x。【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 y=一 3ex+3e2x 一 2xex【试题解析】 y 一 3y+2y=2ex 对应的齐次方程的特征方程是 2 一 3+2=0，它的两个特征根分别是 1=1， 2=2。因此对应齐次方程的通解为 y=C1ex+C2e2x。 又因为x=1 是特征方程的单根，所以，设非齐次方程的特解为 y*=Axex，则 (y *)=Aex+Axex， (y*)=2Aex+Axex， 将以上三式代入方程得 A=一 2。 因此
13、，此非齐次线性微分方程的通解为 y=C 1ex+C2e2x 一 2xex。 由所给题设条件可得 y(0)=0，y (0)=1，代入上式解得 y= 一 3ex+3e2x 一 2xex。【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 整理微分方程(x 2 一 1)dy(2xycosx)dx=0 ，得，先解对应的齐次方程 ，解得lny=一 lnx2 一 1C，即有 y= 。将上式代入原微分方程得到，故 C(x)=sinx+c，则原微分方程的解为 y= 。又因为 y(0)=1，代入上式得到 c=一 1，则原微分方程的解为 y= 。【知识模块】 常微分方程1
14、5 【正确答案】 因本题不含 y，所以可设 y=p，于是 y=p，因此原方程变为p(x+p2)=p，从而有 +p，解之得 x=p(p+C)。将 P(1)=1 代入 x=p(p+c)得C=0。于是 x=p2，所以 y= +C1，结合 y(1)=1 得 C1= 。故 y=。【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 由题设知(x+1)f (x)+(x+1)f(x)一 0xf(t)dt=0。上式两边对 x 求导，得(x+1)f(x)=一(x+2)f (x)，即有 。两边积分，得 lnf (x)= 一 x一 ln(x+1)+C1，所以 f(x)= 。在题设等式中令 x=0，得
15、f(0)+f(0)=0。又已知 f(0)=1，于是 f(0)=一 1，代入 f(x)的表达式，得 C=一 1，故有f(x)= 。【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 由(I)中结果知，当 x0 时，f (x)0，即 f(x)单调减少，又 f(0)=1，所以 f(x)f(0)=1。设 (x)=f(x)一 ex ，则 (0)=0， (x)=f(x)+ex = ex ，当 x0 时， (x)0，即 (x)单调增加。因而 (x)(0)=0，即有 f(x)ex 。综上所述，当 x0 时，不等式 ex f(x)1 成立。【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 由 y= =secx，得y=secx
16、+secxtanx，y =secx+2secxtanx+(secxtan2x+sec3x)，代入原方程 ycosx一 2ysinx+3ycosx=ex，得 +4=ex。 (*)先求其相应齐次方程的通解。由于其特征方程为 2+4=0，则特征方程的根为 =2i。所以通解为=C1cos2x+C2sin2x(C1，C 2 为任意常数)。再求非齐次方程的特解。设其特解为 *(x)=Aex，代入(*) 式，得 (Aex)+4Aex=Aex+4Aex=5Aex=ex，解得ex。故 (*)的通解为 (x)=C1cos2x+C2sin2x+ ex(C1，C 2 为任意常数)。所以，原微分方程的通解为 y= 。【
17、知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 由题意，当一 x0 时，法线均过原点，所以有 y= ，即ydy=一 xdx，得 y2=一 x2+C。又 ，代入 y2=一 x2+C 得 C=2，从而有x2+y2=2，即 y= 。当 0x 时，y +y+x=0，得其对应齐次微分方程y+y=0 的通解为 y*=C1cosx+C2sinx。设其特解为 y1=Ax+B，则有 0+Ax+B+x=0，得A=一 1，B=0，故 y1=一 x 是方程的特解，因此 y+y+x=0 的通解为y=C1cosx+C2sinx 一 x。因为 y=y(x)是(一 ，)内的光滑曲线，故 y 在 x=0 处连续且可导，所以由已知得
18、y x=0=，y x=0=0，故得 C1=，C 2=1，所以【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 设曲线 L 过点 P(x，y)的切线方程为 Y 一 y=y(X 一 x)，令 X=0，则 Y=xy +y，即它在 y 轴上的截距为xy +y。根据距离公式，点 P(x，y)到坐标原点的距离为 。故由题设条件得一 xy+y= (x0)，即得 y=(x0) ，此为一阶齐次微分方程，令 y=x，则 ，代入上式，方程变为【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 由(I)知曲线的方程为 y= 一 x2，则 y=一 2x，点 P(x，y)=P(x，一 x2)，所以在点 P 处的
19、切线方程为 Y 一( 一 x2)=一 2x(X 一 x)，分别令X=0，Y=0 ，解得在 y 轴，x 轴上的截距分别为 x2+ 。此切线与两坐标轴围成的三角形面积为 A(x)= (4x2+1)2，x0。由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值，记为 S0，于是题中所求的面积为 S(x)=A(x)一 S0= (4x2+1)2 一 S0，求最值点时与 S0 无关，而 S(x)=，令 S(x)=0，得 x=，S (x)0。根据极值存在的第一充分条件知，x= 是 S(x)在 x0 时的唯一极小值点，即最小值点，于是所求切线方程为【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 由题设及曲率公式，有
20、 ，(因曲线)y=y(x)是凸的，所以 y0，y = 一 y。) 化简得 =一 dx，两端同时积分解得 arctany=一 x+C1。由题设，曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，可知 y(0)=1，y (0)=1。以 x=0 代入上式，得 C1= 。(本题选择 是因为已知曲线在 X=0处有值，且曲线是一条连续曲线，因此该解的范围应该包含 X=0 在内并且使 y(X)连续的一个区间。)对上式积分得又由题设可知 y(0)=1，代入上式，得 C2=1 一 ，于是所求的曲线方程为 y=。由于 cos( 一 x)1，且 lnx 在定义域内是增函数，所以当且仅当 cos( 一 x)=1 时，即 x
21、=，所以此时 y 取极大值，极大值为y=1+ ln2，显然 y 在 没有极小值。【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 由题设可得 0xf(x)dx=ex 一 1 一 f(x)，两端求导，得 f(x)=ex 一 f(x)，即有 f(x)+f(x)=ex。由一阶线性方程求解公式，得 f(x)=ex exe xdx+C=Cex + ex。由 f(0)=0 得 C= ，因此所求函数为 f(x)= (ex 一 ex )。【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 旋转体的体积公式 V= 0tf2(x)dx，侧面积公式 S=2 0tf(x)，根据已知 0tf2(x)dx=0tf(x) ，上式两端对 t 求导得由分离变量法解得 y+ =Cet。将 y(0)=1 代入，知 C=1，故 因此，所求函数为 y=f(x)= (ex+ex )。【知识模块】 常微分方程
