1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设线性无关的函数 y1，y 2，y 3 都是二阶非齐次线性微分方程 ypyqyf()的解，C 1、C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是 【 】（A）C 1y1C 2y2y 3（B） C1y2 C2y2(C 1C 2)y3（C） C1y1 C2y2(1C 1C 2)y3（D）C 1y1C 2y2(1 C 1C 2)y3二、填空题2 微分方程掣 y(y y1)的通解为_ 3 微分方程(y 2)d 2ydy0 的通解为_4 微分方程 y 的通解为_5 方程 y3y2y2e 的通解
2、_6 求微分方程 的通解_7 求下列方程通解或满足给定初始条件的特解： 1)y1e y 2) sin(y)0 3)yytancos 4)(1)yy0 5)yy(y) 2y 4，y(0)1，y(0) 0 6)y4y10 7)y 9ycos(25) 8)y3y9y13ye 2sin28 已知 y13，y 23 2， y33e 是二阶线性非齐次方程的解，则所求方程为_，通解为_9 已知函数 ye 2(1)e 是二阶常系数线性非齐次方程 yay byce 的一个特解，试确定常数 a _，b_，c_及该方程的通解为_10 设有微分方程 y2y()，其中 () 试求在(，)内的连续函数为_，yy()，使之
3、在( ，1)，(1，)内都满足所给方程，且满足条件 y(0)011 已知 y(e 2y)y30，若把 看成因变量，y 看成自变量，则方程化为_，并求此方程通解为_12 求分别满足下列关系式的 f() 1)f() 0(t)dt，其中 f()为连续函数； 2)f()f()13 设 f()连续，且 01f(t)dt f()，求 f() _14 设 f()在 0 上有定义，且对任意正实数 ，y f(y)f(y)yf()，f(1)2，试求 f()_ 15 设 ()连续，且 () 0(u)(u)due 2 01(u)du 试求 ()_16 设 f()在(0，)上可导，f(1)3 1yf(t)dt 1yf(
4、t)dty 1f(t)dt 求 f()_17 设(r，)为极坐标，r0，02，设 uu(r，)具有二阶连续偏导数，并满足0，求 u(r，)_ 18 设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 f u(u， v)f v(u，v)uv 求ye 2 f(，)所满足的一阶微分方程_，并求其通解为_19 设函数 f(t) ，且 f(t)连续，试求 f(t)_20 求方程 y(4)y0 的一个特解_，使其在 0 时与 3 为等价无穷小21 设对任意 0，曲线 yf()上点(，f() 处的切线在 y 轴上的截距等于 0f(t)dt，求 f()的一般表达式为_22 在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P
5、(，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 长度的导数(Q 是法线与 z 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 z 轴平行则该曲线为_23 以 yOz 坐标面上的平面曲线段 yf(z)(0zh)绕 z 轴旋转所构成的旋转曲面和Oy 坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为 16cm3，如果以 3cm3s 的速率把水注入容器，水表面的面积以 cm3s 增大，试求曲线 yf()的方程_考研数学二（常微分方程）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 常微分方程二、填空题2 【正确答案】 y【知识模块】 常微分方
6、程3 【正确答案】 y 2(ln C)【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 yC 1eC 2e22e 【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 1)e y e (C 2) 2)(csc(y) cot(y)C 3)y(C)cos 4)yC 1ln1C 2 5) 6)yC 1C 2e4 7)yC 1cos3 C2sin3 (25) 8)【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 所求方程为(2 2)y( 22)y2(1)y6(1) 通解为：yC 12C 2e3【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 a 3， b
7、2，c 1，yC 1e2C 2ee 【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 原方程化为 y e 2y，通解为：C 1eyC 2ey e2y【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 1)f() 0 2) arctan ln(1 2)C【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 C2【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 2ln，【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 e 2e 2e【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 3ln3【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 uC 1C 2nr【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 y2y 2e2 ，y【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 (4t 21)【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 y63e 3e 【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 f() C 1lnC 2【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 yf(z) 4【知识模块】 常微分方程
