1、考研数学二（微分方程）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2010 年试题，2) 设 y1，y 1 是一阶非齐次微分方程 y+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使 y1+y2 是该方程的解，y 1 一 y2 是该方程对应的齐次方程的解，则( )（A）（B）（C）（D）2 (2003 年试题，二) 已知 是微分方程 的解，则 的表达式为( )（A）（B）（C）（D）3 (1998 年试题，二) 已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 其中 是比x(x0)高阶的无穷小，且 y(0)=，则 y(1)=( )（A）（B）
2、 2（C） （D）4 (2011 年试题，一) 微分方程 y一 2y=ex+e-x(0)的特解形式为( )（A）a(e x+e-x)（B） ax(ex+e 一 -x)（C） x(aex+be-x)（D）x 2(aex+be-x)5 (2008 年试题，一) 在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是( )（A）y +y一 4y-4y=0（B） +y+4y+4y=0（C） -y-4y-4y=0（D） -y+4y-4y=06 (2006 年试题，二) 函数 y=C1ex+C2e-2x+xex 满足的一个微分方程是( )（A）y
3、一 y一 2y=3xex（B） y一 y一 2y=3ex（C） y+y一 2y=3xex（D）y 一 y一 2y=3ex7 (2004 年试题，二) 微分方程 y+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为( )（A）y *=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)（B） )y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)（C） y*=ax2+bx+c+Asinx（D）y *=ax2+bx+c+Acosx8 (2000 年试题，二) 具有特解 y1=e-x，y 2=2xe-x,y3=3ex 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )（A）y 一 y一 y+y=0（B） y+y一 y一 y=0
4、（C） y一 6y+11y一 6y=0（D）y 一 2y一 y+2y=0二、填空题9 (2012 年试题，二) 微分方程 ydx+(x 一 3y2)dy=0 满足条件 y x=1=1 的解为y=_10 (2011 年试题，二) 微分方程 y+y=e-x 满足条件 y(0)=0 的解为 y=_11 (2008 年试题，二) 微分方程(y+x 2e-x)dx 一 xdy=0 的通解是_12 (2006 年试题，一) 微分方程 的通解是_13 (2005 年试题，一) 微分方程 xy+2y=xlnx 满足 的解为_14 (2004 年试题，一) 微分方程(y+x 2)dx 一 2xdy=0 满足 的
5、特解为_15 (2001 年试题，一) 过点 且满足关系式 的曲线方程为_.16 (2002 年试题，一) 微分方程 xy+y12=0 满足初始条件 的特解是_.17 (2010 年试题，9) 三阶常系数线性齐次微分方程 y一 2y+y一 2y=0 通解为y=_.18 (2007 年试题，二) 二阶常系数非齐次线性微分方程 y一 4y+3y=2e2x 的通解为y=_.19 (1999 年试题，一) 微分方程 y一 4y=e2x 的通解为_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 (2002 年试题，六) 求微分方程 zdy+(x 一 2y)dx=0 的一个解 y=y(x)，使得
6、由曲线)，=y(x)与直线 x=1，x=2 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积最小21 (1999 年试题，五) 求初值问题 ，的解22 (1997 年试题，三(4)求微分方程 (3a2+2xy 一 y3)dx+(x3 一 2xy)dy=0 的通解23 (2010 年试题，17) 设函数 y=f(x)由参数方程 (t一 1)所确定，其中 (t)具有二阶导数，且 (1)=6，已知 ，求函数 (t)24 (2007 年试题，三(19) 求微分方程 y(x+y2)=y满足初始条件 y(1)=y(1)=1 的特解25 (2005 年试题，18) 用变量代换 x=cost(02)y
7、一 xy+y=0，并求其满足y x=0=1，y x=0=2 的特解26 (2003 年试题，六) 设函数 y=y(x)在(一 ，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数 (1)试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y (0)=的解27 (2001 年试题，七) 设函数 f(x)，g(x)满足 f(x)=g(x)，g (x)=2ex 一 f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2，求28 (1998 年试题，五) 利用代换 ycosx 一 2ysinx+3ycosx=ex 化简，并求出原
8、方程的通解29 (1997 年试题，三(5)已知 y1=xex+e2x，y 2=xex+e-x，y 3=xex+e2x 一 e-x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程考研数学二（微分方程）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 y1+y2 是齐次微分方程 y+p(x)y=0 的解，所以(y 1 一 y2)+p(x)(y1 一 y2)=0，即 (y1+p(x)y1)-(y2+p(x)y2)=0 又 y1，y 2，y 2 是一阶非齐次微分方程 y+p(x)y=q(x)的解，故有 ，联立上式得
9、 从而求得 ，故正确答案为 A【知识模块】 微分方程2 【正确答案】 A【试题解析】 由题设 ，则 同时由 知与题设所给微分方程比较，知 所以选 A评注本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系式结合起来，运用变量代换即可轻松求解【知识模块】 微分方程3 【正确答案】 A【试题解析】 由题设 ，且 a 是比x( x0) 高阶的无穷小，从而即 此为可分离变量的微分方程，则，两边积分得 Iny=arctanx+C 由已知 y(0)=，代入上式解得C=ln，于是 y=earctanx，因此 选 A评注根据导数定义，由知 由本题知，由微分与导数的定义可构造微分方程，从而可将微分或导数的定义与微分方程结合起来
10、构造综合题型【知识模块】 微分方程4 【正确答案】 C【试题解析】 原方程对应的齐次方程的特征方程 y2 一 2=0，解得 y1=,y2=一 ，则 y一 2y=ex的特解 y1=xexC1，y 一 2y=ex从的特解 y2=xe-xC2，故原方程的特解 y=x(C1ex+C2e-x)，故选 C【知识模块】 微分方程5 【正确答案】 D【试题解析】 由微分方程的通解可知，所求微分方程的特征根为 1=1， 2,3=2i，从而特征方程为( 一 1)(+2i)( 一 2i)=( 一 1)(2+4)=2 一 2+4 一 4=0，所以所求微分方程为 -y-4y-4y=0故应选 D 评注对于三阶或三阶以上的
11、常系数线性微分方程，同样应该掌握其特征方程与对应解之间的关系【知识模块】 微分方程6 【正确答案】 D【试题解析】 依题意，y=C 1ex+C2e-2x+xex 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的通解相应的齐次方程的特征根是 1=1， 2=一 2，特征方程应是( 一 1)(+2)=0，所以相应的齐次方程为 y+y一 2y=0 在 D 中，方程 y+y一 2y=3ex 有形如 y*=Axex的特解(e ax 中 a=1 是单特征根)通过验证知，y *=xex 是 y+y一 2y=3ex 的特解所以选 D【知识模块】 微分方程7 【正确答案】 A【试题解析】 由题设，原方程相应齐次方程的特征方程为
12、 2+1=0则特征值为=i，又原方程非齐次项有两部分： x2+1 和 sinx，与 x2+1 对应的特解形式为ax2+bx+c，而与 sinx 对应的特解形式(结合特征值为i)为 x(Asinx+Bcosx)，所以原方程特解形式为 y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)，选 A【知识模块】 微分方程8 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件，可知该微分方程存在的特征根为 1=一 1， 2=一1， 3=1，即特征方程为(+1) 2( 一 1)=0，展开得 3+2 一 一 1=0，因此所求微分方程必为 y+yy一 y=0，所以选 B. 评注已知齐次微分方程的特解，求微分方程，关键在
13、于掌握特征根与对应特解之间的关系，包括实单根、重根和复数根所对应的特解形式【知识模块】 微分方程二、填空题9 【正确答案】 由 ydx+(x 一 3y2)dy=0，得此即为 x 对于 y 的一阶线性微分方程，直接利用通解公式，可得 C 为常数由于已知 x=1 时，y=1，代入通解中，得C=0，所以方程的解为 x=y2，得(符合题意)，条件 y x=1=1 舍去【知识模块】 微分方程10 【正确答案】 由于 y(0)=0，则C=0，故 y=e-xslnx【知识模块】 微分方程11 【正确答案】 微分方程(y+x 2e-x)dx 一 xdy=0 经整理得 ydxxdy+x2e-xdx=0两边同除以
14、 x2 得 即 故微分方程的解为 其中 C 为任意常数，化简得 y=x(Ce-x)【知识模块】 微分方程12 【正确答案】 微分方程 是可变量分离的一阶方程，分离变量得积分得 lny=lnx一 x+C1，即y=e C1xe -x，所以，原方程的通解为 y=Cxe-x,C 为任意常数【知识模块】 微分方程13 【正确答案】 将原方程变形为 积分得因为 得 C=0，所以【试题解析】 本题也可如下求解：原方程化为 x2y+2xy=x2lnx，即(x 2y)=x2lnx，两边积分得 x2y= 再代入初始条件即可求得【知识模块】 微分方程14 【正确答案】 将题设所给方程化为如下形式： 则由一阶微分方程
15、之通解公式得 由已知x=1 时 ，代入上式可求得 C=1，所以【知识模块】 微分方程15 【正确答案】 由题设，原方程可化为 应用一阶线性非齐次方程通解公式，得 由已知曲线过点 则当 时，y=0，代入上式，得 ，所以曲线方程为即*【试题解析】 原方程变形为(yarcsix) =1，得)，arcsix=x+c【知识模块】 微分方程16 【正确答案】 由题设，令 y=u，则 代入原方程，得 由初始条件知 u0，所以化为 分离变量得 两边积分得 lnu=lnC 一lny，由已知 y=1 时 可解得 于是 ，即 将 y=u 代入上式有，分离变量并积分得 y2=x+C1，由初始条件 x=0，y=1，解得
16、 C1=1，所以y2=x+1，此即所求特解【试题解析】 对于不含 x 的可降阶方程 y=f(y，y )，可令 p=y进行变量代换，将原方程化为关于变量 P 与 y 的一阶方程【知识模块】 微分方程17 【正确答案】 齐次微分方程 y一 2y+y一 2y=0 对应的特征方程为 r3 一 2r2+r 一2=0，则可得(r 一 2)(r2+1)=0，即 r=2，i，从而通解为 y=C1e2x+C2cosx+C3sinx【知识模块】 微分方程18 【正确答案】 齐次线性微分方程 y一 4y+3=0 的特征方程为 r2 一 4r+3=0，两根为 r1,2=1，3，则其通解为 y=C1ex+C2e3x非齐
17、次线性微分方程 y一 4y+3y=22x 的一个特解为 y=一 2e2x(令 y=-2e2x 即可求得)，则此方程通解为 y=C1ex+C2e3x-2e2x(C1，C 2R)【知识模块】 微分方程19 【正确答案】 先求原方程相应齐次方程的通解，其特征方程为 2 一 4=0，解得特征值为 1=2， 2=一 2，从而齐次方程通解为 y=C1e-2x+C2e2x，设原方程特解为y*=Axe2x，代回原方程得 ，因此 所以原方程通解为【知识模块】 微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 由题设，将原微分方程化为 由一阶线性非齐次微分方程求通解的公式，得 由y=C
18、x2+x=1，x=2，y=0 所围平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积为为求极值点，令,得驻点 由 ，知 是唯一极小值点，因此也就是最小值点，所以所求曲线为【知识模块】 微分方程21 【正确答案】 由题设，将原方程化为 即令 从而 ，代入式(1)得 即 分离变量得 两边积分得 将 y x=1=0 代入上式，得 C=1，于是，即解得【知识模块】 微分方程22 【正确答案】 由题设，令 y=xu，则原方程化为 化简为可分离变量的形式式，得 两边积分得 u2 一 u 一 1=Cx-3，即 xy2-x2y一 x3=c【试题解析】 在求解齐次方程时，有时化为 进行求解会更简单：此时令有 方程化为 在此
19、将 x 看作函数，y 看作自变量【知识模块】 微分方程23 【正确答案】 依题意得从而(2t+2) (t)一 2(t)=6(t+1)2，即有 将 (t)看成一个函数，利用公式可得因为 (1)=(1+1)(3+C)=6，所以 C=0，即有 (t)=3t(t+1)从而 ， 故得 1C=0 从而得到【知识模块】 微分方程24 【正确答案】 令 P=y，则方程 y(x+y12)=y化为 解此线性方程得p(p+C)=x又 y(1)=1，则 C=0故 ，即 得 又 y(1)=1，则故函数【知识模块】 微分方程25 【正确答案】 由题意可知 故原方程化为 其通解为 y=C1cost+C2sint 当 x 为
20、自变量时，则 于是y(0)=C2=1C 2=1， 所以其特解为【试题解析】 考查求复合函数的一、二阶导数【知识模块】 微分方程26 【正确答案】 由题设，x=x(y)与 y=y(x)互为反函数，则 即 ，将此式两边对 x 求导，得 于是 将上式代入题设(1)中所给方程 得 化简得 y一 y=sinx，此为二阶常系数线性非齐次方程，先求其相应的齐次方程的通解，由特征方程 21=0 得特征值 1=1， 2=一 1，从而齐次方程通解为 y=C1ex+C2e-x 设非齐次方程特解为 y*=Acosx+Bsinx，代入原方程可求得 因此综上，非齐次方程通解为 y=C1ex+C2e-x 由已知条件 y(0
21、)=0，可解得 C1=1，C 2=一 1，于是【试题解析】 本题将反函数的求导方法与二阶线性常系数非齐次微分方程结合起来，考查考生的基本运算能力和综合运用知识的能力【知识模块】 微分方程27 【正确答案】 由题设已知此为关于 f(x)，g(x)的一阶常系数线性方程组，由式(1)两边对 x 求导，得 f(x)=g(x)，将其代入式(2)中，得：f (x)+f(x)=2ex 此为关于 f(x)的二阶常系数线性非齐次方程，先求其齐次方程的通解，由特征方程 2+1=0，可求得特征值为 1=i， 2=一 i，因此齐次方程通解为y=C1cosx+C2sinx，设原方程特解为 y*=Aex，代入原方程得 A
22、=1，从而 y*=ex，所以原方程有通解 y=C1cosx+C2sinx+ex 又由初始条件 f(0)=0 及 f(0)=g(0)=2，可求出 C1=一 1，C 2=1，所以 f(x)=一 cosx+sinx+ex，g(x)=cosx+sinx+e x 下面求定积分【试题解析】 上面计算定积分的过程中，也可先对后一部分进行分部积分，但与上面解法一样，无需将 f(x)与 g(x)的表达式代入被积函数【知识模块】 微分方程28 【正确答案】 题设所给方程为变系数方程，可由代换 将其化为关于 u 的二阶微分方程再求解，应先由 求得 y，y 与 u，u 的关系如下，将 y=usecx两边对 x 求导，
23、得 y=u8ecx+secx.tanx，(1)再由(1)式两边对 x 求导，得y=usecx+2usecx.tanx+usecx.tan2x+usec3x(2)将式(1)，式(2) 代入原方程，得u+4u=ex，该方程是关于 u 的二阶常系数线性非齐次方程，先求其相应的齐次方程的通解，由特征方程 2+4=0 求得特征值为 1=2i， 2=一 2i，从而齐次方程通解为y=C1cos2x+C2sin2x，设方程特解为 y*=Aex，代回方程 u+4u=ex，得 因此，因此非齐次方程通解为 其中 C1，C 2 为任意常数由代换 原方程通解为【试题解析】 本题在化简原方程时，也可由代换 u=ycosx
24、 两边对 x 求导，得u=ycosxysinx，(3)再由式(3)两边对 x 求导，得 u=ycosx 一 2ysinxycosx(4)式(3)，式(4)与式(1)，式(2) 是等价的，代入原方程都可得出同样的方程 u+4u=ex【知识模块】 微分方程29 【正确答案】 本题考查线性非齐次方程解的性质，由题设，y 1 一 y3=e-x 是对应齐次方程的解，y 1 一 y2=e2xe-x 也是对应齐次方程的解，从而 e-x+(e2x 一 e-x)也是对应齐次方程的解，因此 e-xe2x 是齐次方程的解，此外 ,xex 是非齐次方程的解由 e-x与 e2x 可判断出齐次方程两个特征值 ， 2=2，从而特征方程为(+1)( 一 2)=0，即 2 一 一 2=0，因此齐次方程为 y一 y一 2y=0，将 xex 代入该齐次方程，得 ex(12x)，综上可知所求非齐次微分方程为 y一 y一 2y=ex(12x)【试题解析】 对于二阶常系数线性齐次微分方程 y+py+gy=0，函数 Aeex 是其解的充要条件为 = 为其特征方程 2+p+q=0 的根；函数 Aeaxsinx，e axcos，或ex(Asinx+Bc0sx)为其解的充要条件为 = 为其特征方程 2+p+q=0 的根对于本题可先求齐次微分方程的解，再求对应的非齐次微分方程的特解【知识模块】 微分方程
