1、考研数学二（微分方程）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1999 年试题，二) 记行列式 为 f(x)，则方程 f(x)=0的根的个数为( ) （A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题2 (2010 年试题，14) 设 A， B 为三阶矩阵，且A=3，B=2，A -1+B=2，则A+B -1 =_3 (2006 年试题，一) 设矩阵 单位矩阵，矩阵 B 满足 BA=B+2E则B =_4 (2005 年试题，一) 设 a1，a 2，a 3 均为三维列向量，记矩阵 A=(a1，a 2，a 3)，B=(a1+a2+a3，a 1
2、+2a2+4a3， a1+3a2+9a3)如果A=1，那么B=_5 (2004 年试题，一) 设矩阵 ，矩阵 B 满足 ABA*=2BA*+E，其中 A*为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则B=_.6 (2003 年试题，一) 设三阶方阵 A*B 满足 A2B 一 AB=E，其中 E 为三阶单位矩阵，若 则B=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 (2012 年试题，三) 已知函数 f(x)满足方程 f(x)+f(x)一 2f(x)=0 及 f(x)+f(x)=2ex7 求 f(x)的表达式；8 求曲线 的拐点9 (2011 年试题，三) 设函数 y(x)具有二阶导数，且曲
3、线 l：y=y(x)与直线 y=x 相切于原点，记 为曲线 l 在点(x，y)外切线的倾角，若 的表达式10 (2009 年试题，三(20) 设 y=y(x)是区间(一 ，)内过点 的光滑曲线，当一 +y+x=0，求 y(x)的表达式11 (2004 年试题，三(6)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700kmh经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=6010 6)问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?(注：kg 表示千克，kmh
4、表示千米小时)11 (2003 年试题，九) 有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x=(y)(y0)绕 y 轴旋转而成的旋转曲面(如图 161)，容器的底面圆的半径为 2m，根据设计要求，当以3m3min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以,mn 2min 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)12 根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 (y)之间的关系式；13 求曲线 x=(y)的方程(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分)13 (2003 年试题，八) 设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 其上任一点 P(x，y)处的法线与)，轴的交点为 Q，且线段 PQ 被 x
5、轴平分14 求曲线 y=f(x)的方程；15 已知曲线)，=sinx 在0，上的弧长为 l，试用 l 表示曲线 y=f(x)的弧长 s16 (2001 年试题，九) 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 S 成正比，比例常数 k0假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 r0 的雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 ，问雪堆全部融化需要多少小时?17 (2001 年试题，八) 设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0) 到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点 (1)试求曲线L 的方程；(2)求 L 位于第一象限部分的一
6、条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围成图形的面积最小18 (2000 年试题，七) 某湖泊的水量为 V，每年排入湖泊内含污染物 A 的污水量为，流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖泊的水量为 已知 1999 年底湖中 A的含量为 5m0，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初起，限定排入湖泊中含 A 污水的浓度不超过 问至多需经过多少年，湖泊中污染物 A 的含量降至 m0 以内?(注:设湖水中 A 的浓度是均匀的)19 (1999 年试题，九) 设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y(x)0，y(0)=1通过曲线y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂
7、线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯：形面积记为S2，并设 2S1 一 S2 恒为 1，求此曲线)，=y(x)的方程20 (1998 年试题，十) 设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x ，y)处的曲率为 ，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为 y=x+1，求该曲线的方程，并求函数 y=y(x)的极值21 (1998 年试题，七) 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度)，( 从海平面算起)与下沉速度 v 之间的函数关系设仪器在重力的作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和
8、浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 B，海水密度为 p，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k(k0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v)22 (1997 年试题，五) 设曲线 L 的极坐标方程为 r=r()，M(r ，)为 L 上任一点，M0(2，0) 为 L 上一定点若极径 OM0，OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M0，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的方程考研数学二（微分方程）历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设，利用行列式
9、的性质，由第 2，3，4 各列减第一列并将第 2列加到第 4 列上得 则由此不难求得 x=0 和 x=1 是 f(x)=0 的两个根，所以选 B评注行列式的基本计算方法一般有三种，第一种：根据行列式的概念进行完全展开，即 n 阶行列式对于阶数比较低的行列式常用这种方法；第二种：行列式的性质和行列式的按行(列)展开定理；第三种：先用行列式的性质化出尽可能多的零元素，然后再用行(列)展开定理降阶，化为低阶行列式进行计算【知识模块】 行列式二、填空题2 【正确答案】 因为 A(A-1+B)B-1=(E+AB)B-1=A+B-1，所以A+B -1=A -1+B)B-1= AA -1+BB -1= 又A
10、=3，B=2，A -1+B=2 ，故A+B -1【知识模块】 行列式3 【正确答案】 由已知 BA=B+2E 有 B(AE)=2E，两边取行列式得BAB=4 因为 所以B=2【知识模块】 行列式4 【正确答案】 由题意，我们对矩阵 B 分块得 于是有所以B=2【试题解析】 本题作为填空题，可用特殊值法，令 A=E 即可很快求出B =2 实际上，很显然矩阵 B=1， 2， 3的行列向量可由矩阵 A 的列向量线性表示，即 1=1+2+22=-1+22+433=1+32+93 所以 B=1， 2， 3=1， 2,3【知识模块】 行列式5 【正确答案】 由题设， ，则A=30，从而由公式AA*=A*A
11、=AE 知 A*=AA -1=3A-1，则A *=3 3.3-1=9，将 ABA*=2BA*+E变形为(A 一 2E)BA*=E，则A 一 2EBA *=E，其中所以【试题解析】 本题含有 A 的伴随矩阵 A*，可利用伴随矩阵的性质A*A=AA*=AE ，以后在解题过程中，关于 A*的问题，通常会用到A*A=AA*=AE 【知识模块】 行列式6 【正确答案】 由题设所给方程 A2B 一 AB=E，得(A 2 一 e)B=A+E，即(A+E)(AE)B=A+E 又由已知 则 且A 一 E20，于是 B=(A 一 E)-1(A+E)-1(A+E)=(A 一 E)-1，因此【试题解析】 考查了矩阵的
12、运算和行列式的计算，这类题一般用方程的思想来解决，要先化简再计算【知识模块】 行列式三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 微分方程7 【正确答案】 齐次方程 f(x)+f(x)一 f(x)=0 的特征方程为 r2+r 一 2=0，得特征根为 r1=1，r 2=一 2，则有通解 f(x)=C1ex+C2e-2x，代入方程 f(x)+f(x)=2ex 得 2C1ex 一 e2-2x=2ex，则 c1=1，c 2=0因此 f(x)=ex【知识模块】 微分方程8 【正确答案】 由(1)知 f(x)=ex，则曲线 分别求它的一阶、二阶导数 令 y=0，得x=0又当 x0 时，y
13、 0；x 【知识模块】 微分方程9 【正确答案】 两边对 x 得 即(1+y 12)y=y，于是有 令 y=p，则 于是有 ，变量分离得两边积分得 得 ，代入得解出 面积分得：【知识模块】 微分方程10 【正确答案】 由题意，当一 即 ydy=一 xdx,则 y2=一 x2+C又代入 y2=一 x2+C 中，得 C=2，从而有 y2=一 x2+2又 y=y(x)是区间(一 ,)内过点 的光滑曲线，故 当 0x+y=0 的通解为y=C1cosx+C2sinx设 y+y+x=0 的特解为 y*=Ax+B，代入方程得(A+1)x+B=0，则A=一 1，B=0，即特解为 y=一 x故可知，微分方程 y
14、+y+x=0 的通解为y=C1cosx+C2sinxx因为 y=y(x)是区间(一 ，)内的光滑曲线，故其在 x=0 处连续且可导，且 所以根据y(0-)=y(0+)可得 C1=；根据 y-=(0)=y+(0)可得 C2=1 综上可知，y(x)的表达式为【知识模块】 微分方程11 【正确答案】 由题设，设飞机质量为 m=9000(kg)，着陆时的水平速度为vo=700(kmh)，并设从着陆点开始时的 t 时刻，飞机滑行距离为 x(t)，速度为 v(t)，则 由牛顿第二定律知关于式(1)，由即 dx= 积分上式得，由初始条件，当 t=0 时，x(0)=0，v(0)=v 0，知 C1= 所以令 v
15、=0，可解得 即飞机滑行的最长距离为105km关于式(2)，即 分离变量得 积分上式得同样由初始台条件 v(0)=v0,可解出 C2=v0，所以 从而即得到同样结果【试题解析】 方程(1)实际上是一个二阶常系数微分方程，即 mx+kx=0，相应特征方程为 ，可解得特征根为 1=0， 2= ，则通解为 由初始条件 x(0)=0，v(0)=v 0，得 C3=一 C4= 所以 当 t+时,同样可得出飞机滑行的最长距离为 105km【知识模块】 微分方程【知识模块】 微分方程12 【正确答案】 由题设，设 t 时刻时液面的高度为 y，则此时液面面积 S=(y)2，由已知 =，即得 S=t+S0=t+4
16、 因此 t+4=(y)2，从而 2(y)=4+t(1)此即 t与 (y)之间的关系式；当 t 时刻液面高度为 y 时，容器内液体体积为由已知，y=3t，则 将式(1)代入此式得【知识模块】 微分方程13 【正确答案】 将式(2)两边对)，求导，得 2(y)=6(y)(y)，即解此方程得 (y)= 由已知 (0)=2，则可推知 C=2，所以曲线x=(y)为【试题解析】 考查了应用定积分求旋转体的体积和微分方程的求解方法【知识模块】 微分方程【知识模块】 微分方程14 【正确答案】 由题设，曲线 y=f(x)上任一点 P(x，y)处的法线方程为令 x=0，得出该法线与 y 轴的交点 Q 的坐标为
17、又由已知 PQ 被 x 轴平分，则： 即 2yy+x=0，分离变量得 2ydy=一 xdx，积分得 ，即 又由已知 y=f(x)过点 ，则 于是曲线y=f(x)方程为 2y2+x2=1 且 x0，y0【知识模块】 微分方程15 【正确答案】 曲线 y=sinx 在0， 上弧长为 l，则由弧长公式知由前述已知，将曲线 y=f(x)的方程写为参数方程，则由此 y=f(x)的弧长为【试题解析】 因为曲线 y=f(x)位于第一象限，所以在求弧长进行积分时，积分限应从 0 到 ，而不是 0 到 2【知识模块】 微分方程16 【正确答案】 以半径 r 为未知函数，雪堆在时刻 t 的体积 ，侧面积s=2r2
18、，由题设知 化简上式即可得到以 r 为未知函数的微分方程 解之得 r=一 kt+C，由初始条件 r t=0=r0，可得出 C=r0，所以r=r0 一 kt 又由已知 从而 可求出= ，因此 r=r0 一 ，雪堆全部融化时 r=0，从而 ，得 t=6，即全部融化需6 小时解析二以雪堆体积 V 为未知函数，在时刻 ，侧面积-S=2r 2，即 S= ，由题设， 此即以 V，为未知函数的微分方程，分离变量得 两边积分得 由已知，当t=0 时， ；当 t=3 时， 代入上式分别得到联立此二式可解出从而有 令 V=0，则 t=6，即雪堆全部融化需 6 小时【试题解析】 本题为实际问题，可通过建立数学模型转
19、化为数学问题来解决，但要注意速度为失量，把“体积融化的速率与半球面面积 S 成正比”理解为【知识模块】 微分方程17 【正确答案】 由题设，设曲线 L 在点 P(x，y)的切线方程为 Yy=)y(X 一 x)，则该切线在 y 轴上的截距为 yyx，而点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离为，由已知 ，即有 令 ，则 分离变量得 两边积分后将 代入可得 又由已知曲线 L 经过点 代入上式得因此曲线 L 的方程为 曲线 L：在第一象限内点 P(x，y)处切线为即 它与x 轴及 y 轴交点分别为 因而所围成图形的面积为令 S(x)=0，得驻点 当 时 S(x) S(x)0，所以 是 s(x)的极小
20、值点，从而也就是最小值点，此时切线方程为 化简得【试题解析】 把实际问题通过建立微分方程的数学模型转化为数学问题，再对微分方程进行求解，这是解决实际问题的一种重要方法【知识模块】 微分方程18 【正确答案】 根据题意，设 t=0 代表 2000 年初，t 的单位为年，在 t 时刻湖中污染物 A 的总量为 m，则浓度 ，则在时间间隔t，t+dt内，排入湖中的 A 的量为，而流出湖泊的水中 A 的量为 所以此时间间隔内湖中污染物 A 的改变量为 此为可分离变量的一阶微分方程，即积分可得 ，由初始条件 m t=0=5m0 可求出 ，从而 在上式中令 m=m0，得 t=6ln3，所以至多经 6ln3
21、年，湖中污染物 A 的含量降至 m0 以内【试题解析】 这里采用的是建立数学模型的思想，把实际问题通过建立数学模型转化为数学问题，是解决实际问题的重要方法，应熟练掌握【知识模块】 微分方程19 【正确答案】 由题设，曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 y 一 y=y(x)(X一 x)，它与 x 轴的交点为 从而 又由已知，由条件 2S1 一 S2=1 知 将上式两边对 x 求导并化简得yy=y2令 p=y代入上式，则 ，分离变量得 ，积分解得 p=C1y，因此，于是 y=eC1x+C2；又由 y(0)=1，y (0)=1，可得 C1=1，C 2=0，所以所求曲线的方程是 y=e
22、x问题【试题解析】 本题是一道综合题，涉及切线问题、平面图形的面积公式、含变限积分的函数方程和微分方程问题，该题没有直接给出含变限积分的函数方程，而是由变化区间0，x 上的面积用变限积分 来表示，同样，以后在求变化区间上的体积、弧长等的时候，均可以转化为含有变限积分的函数方程【知识模块】 微分方程20 【正确答案】 由题设，曲线上凸，因而 y 化简得令 p=y，则 p=y，代入上式，得 ，此为可分离变量的方程，即，两边积分得 arctap=C1 一 x又由已知曲线上点 (0，1)处的切线方程为y=x+1，则曲线过点(0 ，1)，且该点处 y x=0=1，即 p x=0=1，代入上式，得 ，所以
23、 ，积分得 将点(0，1)代入上式，得综上得所求曲线为 又由 所以因为 lnx 是严格递增的，且 g(x)= 在 取极大值且 且 因而 y=y(x)无极小值，当 时取得最大值【试题解析】 主要考查曲率计算公式 和可降阶微分方程求解及函数极值问题，极值用极值的充分条件判定即可【知识模块】 微分方程21 【正确答案】 由题设，建立坐标系，取沉放点为坐标原点 O，Oy 轴竖直向下为正，由已知仪器重力为 mg，浮力为一 B，阻力为 ，根据牛顿第二定律，(1)令 代入式(1)，得 此为可分离变量的微分方程，分离变量得 两边积分得由初始条件 y y=0=0，可求出所以【试题解析】 该题思路比较简单，主要考查考生的计算能力【知识模块】 微分方程22 【正确答案】 根据题意，由面积与弧长的计算公式得将上式两边对 求导，得 ，即 ，此为可分离变量方程，从而 此式两边积分，得即 由已知 r(0)=2，代入上式得 ，故曲线 L 的方程为 ，由于 rcos=x，rsin0=y ，于是所求直线为【试题解析】 为查在极坐标下求面积和弧长的公式，及含有变限积分的函数方程问题转化为微分方程问题的方法，其中，面积公式 弧长公式：【知识模块】 微分方程
