1、考研数学二（微分方程）历年真题试卷汇编 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知函数 yy(x) 在任意点 x 处的增量 ，其中 是 x(Ax0)的高阶无穷小，且 y(0) ，则 y(1)等于（A） （B） 2 （C） （D） 2 已知 是微分方程 的解，则 的表达式为（A）（B）（C）（D）3 设 y1，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 yp(x)yq(x)的两个特解若常数 ，使 y1y 2 是该方程的解，y 1y 2 是对应的齐次方程的解，则（A）（B）（C）（D）4 具有特解 y1e x ，y 2 2xex ，y 33e x 的三阶常系数齐次
2、线性微分方程是（A）yy“y y0 （B） yy“yy0（C） y6y“11y6y0 （D）y2y“y 2y05 微分方程 y“yx 21 sinx 的特解形式可设为（A）y *ax 2bxc x(Asinx Bcosc)（B） y*x(ax 2bxc AsinxBcosx) （C） y*ax 2bxc Asinx（D）y *ax 2bxc Acosx6 函数 yC 1exC 2e2x xe x 满足的一个微分方程是（A）y“y“2y3xe x （B） y“y 2y3e x （C） y“y 2y3xe x （D）y“y 2y3e x 7 在下列微分方程中，以 yC 1exC 22cos2xC
3、3sin2x(C1，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是（A）y“y“4y4y0 （B） y“y“4y4y0（C） y“y“4y4y0 （D）y“y“4y4y0 8 微分方程 y“ 2ye x ex (0)的特解形式为（A）a(e xe x ) （B） ax(exe x )（C） x(aexbe x ) （D）x 2(aexbe x ) 二、填空题9 过点 且满足 的曲线方程为_10 微分方程(yx 2)dx2xdy0 满足 的特解为_11 微分方程 xy2yxlnx 满足 的特解为_12 微分方程 的通解是_13 微分方程(yx 2ex )dxxdy0 的通解是 y_14 微分方程 yye
4、 x cosx 满足条件 y(0)0 的解为_15 微分方程 ydx(x3y 2)dy0 满足条件 的解为 y_16 微分方程 y“4ye 2x 的通解为_17 二阶常系数非齐次线性微分方程 y“4y3y2e 2x 的通解为_18 三阶常系数线性齐次微分方程 y“2y“y2y0 的通解为 y_19 已知 y1e 3xxe 2x，y 2e xxe 2x，y 3xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程满足条件 y x0 0，y x0 1 的解为 y_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 求微分方程(3x 22xyy 2)dx 出(x 22xy)dy 0
5、的通解21 求初值问题 的解22 求微分方程 xdy(x2y)dx0 的一个解 yy(x)，使得由曲线 yy(x)与直线x1，x2 以及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积最小23 微分方程 yyy 20 满足初始条件 的特解是_24 求微分方程 y“(zxy 2)y满足初始条件 y(1) y(1)1 的特解25 设函数 yf(x)由参数方程 所确定，其中 (t)具有二阶导数，且 ，(1) 6，求函数(t)26 已知 y1xe xe 2x，y 2 xexe x ，y 3xe xe 2xe x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求该微分方程27 利用代换 将方程 y“cosx
6、2ysinx3ycosxe x 化简，并求出原方程的通解28 设函数 f(x)，g(x) 满足 f(x)g(x) ，g(x)2e 2xf(x)，且 f(0)0，g(0)2，求。29 设函数 yy(x) 在(，)内具有二阶导数，且 y0，xx(y)是 yy(x) 的反函数(1)试将 xx(y) 所满足的微分方程 变换为yy(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)0，的解30 用变量代换 xcost(0 t)化简微分方程(1x 2)y“xy y0，并求其满足的特解31 已知函数 f(x)满足方程 f“(x)f(x)2f(x)0 及 f“(x)f(x)2e x (1)求
7、 f(x)的表达式； (2)求曲线 yf(x 2)0xf(t 2)dt 的拐点32 设曲线 L 的极坐标方程为 rr() ，M(r，)为 L 上任一点，M 0(2，0)为 L 上一定点，若极径 OM0，OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M0、M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的方程33 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度 v 之间的函数关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用，设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k
8、0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 yy(v)34 设 yy(x) 是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 ，且此曲线上点(0，1) 处的切线方程为 yx1，求该曲线的方程，并求函数 yy(x)的极值35 设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y(x)0，y(0)1_过曲线 yy(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 yy(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1S 2 恒为 1，求此曲线 yy(X) 的方程36 某湖泊的水量为 V，每年排人湖泊内含污染物
9、A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖泊的水量为 已知 1999 年年底湖中 A 的含量为5m0，超过国家规定指标，为了治理污染，从 2000 年年初起，限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过 问至多需经过多少年，湖泊中污染物 A 的含量可降至m0 以内?(注：设湖水中 A 的浓度是均匀的)37 设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点 (1)试求曲线 L 的方程； (2)求 L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积最小38 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速
10、率与半球面面积 S 成正比，比例系数K0假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 r0 的雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 ，问雪堆全部融化需要多少小时?39 设位于第一象限的曲线 yf(x)过点 ，其上任一点 P(x，y)处的法线与y 轴的交点为 Q，且线段 PQ 被 x 轴平分 (1)求曲线 yf(x)的方程； (2)已知曲线ysinx 在0，上的弧长为 l，试用，表示曲线 yf(x)的弧长 s40 有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x(y)(y0)绕 y 轴旋转而成的旋转曲面(如图 161)，容器的底面圆的半径为 2m根据设计要求，当以 3m3min 的速率向容器内注入
11、液体时，液面的面积将以 m2min 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体) (1)根据 t 时刻液面的面积，写出t 与 (y)之间的关系式； (2)求曲线 x(y)的方程 (注：m 表示长度单位米，min表示时间单位分)41 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下现有一质量为 9 000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700kmh经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k6010 6)问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?(注：kg 表示千克， kmh 表示千米小时)42 设 yy(
12、x) 是区间(，) 内过点2046* 的光滑曲线当 x0 时，曲线上任一点处的法线都过原点；当 0x 时，函数 y(x)满足 y“yx0求函数 y(x)的表达式43 设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l：yy(x) 与直线 yx 相切于原点记 为曲线 l 在点(x，y) 处切线的倾角，若 ，求 y(x)的表达式考研数学二（微分方程）历年真题试卷汇编 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 分析 由题设可知函数 yy(x) 在点 x 处可微，根据微分与导数的关系，可得 ，解此可分离变量方程 详解 根据微分的定义，可知函数y
13、y(x)在点 x 处可微，且由微分与导数的关系，得 ，此为可分离变量方程，分离变量得业 ，两边积分得 lnyarctanxlnC，即yCe arctanx，代入 y(0) ，得 C，于是 ye arctanx， ，故应选(A) 评注 由 ，根据导数定义得 另外，从本题可知，由函数在任意点 x 处的微分或导数的定义，可构造微分方程这样可将微分或导数的定义与微分方程结合起来构造综合题型【知识模块】 微分方程2 【正确答案】 A【试题解析】 分析 将 代入微分方程，再令 的中间变量为 u，求出(u)的表达式，进而可求出 详解 将 代入微分方程，得 令lnxu，有 。故应选(A) 评注 本题巧妙地将微
14、分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性但问题本身并不复杂，只要仔细计算就可以找到正确选项【知识模块】 微分方程3 【正确答案】 A【试题解析】 分析 此题主要考查线性微分方程解的性质和结构详解 因y1y 12 是方程 yp(x)y0 的解，所以 (y 1y 2)p(x)(y 1y 2)0，即 y1p(x)y 1y 2p(x)y 20由已知得 ( )q(x)0，因为 q(x)0，所以 0，又 y1y 21 是非齐次方程 yp(x)yq(x)的解，故 (y 1y 2)p(x)(y1y 2)g(x) 即 y 1p(x)y 1y 2p(x)y 2q(x) 由已知得 ()q(x)g(x)因为
15、q(x)0，所以 u1，解得评注 此题属反问题，题目构造较新颖【知识模块】 微分方程4 【正确答案】 B【试题解析】 分析 由于常系数线性齐次微分方程由其特征方程唯一确定，因此可先由齐次方程的解得到对应的特征根，再由根与系数的关系确定特征方程，从而得到齐次微分方程 详解 由特解的形式可知，对应特征方程的根为 1 21， 31，于是特征方程为 (1) 2(1) 3 3 10，故所求方程为 yy“yy0，故应选(B) 评注 已知齐次微分方程的特解，求微分方程，关键在于掌握特征根与对应特解之间的关系，包括实单根、重根和复数根所对应的特解形式【知识模块】 微分方程5 【正确答案】 A【试题解析】 分析
16、 本题应注意方程的右端为两项之和，因此由叠加原理，方程y“ y x21sinx 的特解为方程 y“yx 21 的特解与方程 y“ysinx 的特解之和 详解 方程 y“ yx 21sinx 对应的齐次方程的特征方程为 210，特征根为 1，2 i ， 由于 a0 不是特征根，于是方程 y“yx 21 的特解可设为 y*1ax 2bxc， 而 i 是特征方程的根，于是方程 y“ysinx的特解可设为 y*1x(Asinxcosx)， 所以，由叠加原理得原方程的特解可设为 y*ax 2bx cx(AsinxBcosx) 故应选(A)【知识模块】 微分方程6 【正确答案】 D【试题解析】 分析 考虑
17、到本题的四个选项都是二阶方程，可先由yC 1exC 2e2x xe x 求出 y，y“，再从 y，y，y“中消去 C1，C 2，即可得到所求的二阶方程 详解 由 yC 1eC 2e2x xe x，得 yC 1ex2C 2e2x (x1)ex，y“C 1ex4C 2e2x(x2)e x，从 y，y，y“中消去 C1，C 2，得 y“ y2y3x x，故应选(D)【知识模块】 微分方程7 【正确答案】 D【试题解析】 详解 由通解表达式 yC 1exC 2cos2xC 3sin2x 可知其特征根为11， 2，3 2i可见对应特征方程为 (1)( 24) 3 24 4，故对应微分方程为 y“y“ 4
18、y4y0，应选(D) 评注 对于三阶或三阶以上的常系数线性微分方程，同样应该掌握其特征方程与对应解之间的关系【知识模块】 微分方程8 【正确答案】 C【试题解析】 分析 分别把自由项为 ex及 ex 的特解相加 详解 均是特征方程 r2 20 的根自由项为 ex及 ex 如的特解形式分别为 x(aex)及 x(bex )，所以微分方程 y“ 2ye xe x (0) 的特解形式为 x(aexbe x )故应选(C) 评注此题主要考查线性微分方程解的结构【知识模块】 微分方程二、填空题9 【正确答案】 应填 。【试题解析】 详解 原方程等价于 ，方程的通解为 评注 原方程变形为(yarcsinx
19、)1，得 yarcsinxxC【知识模块】 微分方程10 【正确答案】 应填 。【试题解析】 详解 所给方程为一阶线性微分方程，先化为一阶线性方程的标准形式 ，由一阶线性微分方程的通解公式，得通解为代入初始条件 ，得 C 1，于是所求特解为 。【知识模块】 微分方程11 【正确答案】 应填 。【试题解析】 分析 先将方程化为一阶线性微分方程的标准形式，再利用其通解公式求解详解 将原方程化为 ，于是通解为代入 ，得 C0，故所求特解为。 评注 本题也可如下求解：原方程可化为 x2y2xyx 2lnx，即 (x 2y)x 2lnx，两边积分得，再代入初始条件即可得所求解为【知识模块】 微分方程12
20、 【正确答案】 应填 yCre x 【试题解析】 分析 本方程为可分离变量方程先分离变量，然后两边积分详解 原方程化为 ，两边积分得通解为 lnylnxxC ，即 yCxe x 【知识模块】 微分方程13 【正确答案】 应填 yx(Ce x )【试题解析】 详解 原方程可改写为 ，于是通解为【知识模块】 微分方程14 【正确答案】 应填 e xsinx【试题解析】 分析 直接按一阶线性微分方程公式求解详解微分方程的通解为。由初值条件 y(0)0 得 C0所以应填 ex sinx【知识模块】 微分方程15 【正确答案】 应填 。【试题解析】 分析 求解本题的关键是把 x 看作未知函数，把 y 看
21、作自变量，从而化为一阶线性非齐次方程详解 由 ydx(x 一 3y2)dy0 有 ，所以 将代入得 C0，即解为 xy 2又 x1 ，y1，故 。【知识模块】 微分方程16 【正确答案】 应填 【试题解析】 详解 方程 y“4ye 2x 对应的齐次方程的特征方程为 240，特征根为 12 ， 22，故对应的齐次方程通解为 C1e2xC 2e2x 因为 2 为特征方程的一重根，因此原方程的特解可设为 yAxe 2x，代入原方程得 所以原方程的通解为 yC 1e2xC 2e2x 【知识模块】 微分方程17 【正确答案】 应填 yC 1exC 2e3x2e 2x【试题解析】 详解 特征方程为 243
22、0，解得 11， 23可见对应齐次线性微分方程 y“4y3y0 的通解为 yC 1exC 2e3x 设非齐次线性微分方程 y“ 4y3y2e 的特解为 yke 2x，代入非齐次方程可得 k2 故通解为yC 1exC 2e3x22e 2x【知识模块】 微分方程18 【正确答案】 应填 yC 1e2xC 1cosxC 3sinx。【试题解析】 分析 求特征方程的解，直接写出三阶常系数线性齐次微分方程的通解，属基础题型 详解y“2y“ y2y0 的特征方程为32 220， 即(2)( 21)0，解得 12， 2,3i，所以通解为 yC 1e2xC 2cos xC 3sin x 评注 虽然此题是三阶微
23、分方程，但是考试大纲明确要求会的内容【知识模块】 微分方程19 【正确答案】 应填 e3xe xxe 2x【试题解析】 详解 由已知条件有 y1y3e 3x，y 2y 3e x，显然 y1y 3，y 2y 3线性无关， 所以该二阶常系数非齐次线性微分方程方程的通解为 yC 1e3xC 2exxe 2x，C 1，C 2 为任意常数 由 y x0 O，有 C1C 20， 由y x0 1，有 3C1C 211， 解得 C11，C 11，故该方程满足条件y x0 0，y x0 1 的解为 ye 3xe xxe 2x【知识模块】 微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案
24、】 将方程化为 令，有 y 一xu，yuxu，代入方程并分离变量得两边积分得 ln1u u23ln xlnC，即1uu 2Cx 3 ，代入 ，得方程的通解为 x2xyy 2【试题解析】 分析 本题的方程是齐次方程，按齐次方程的方法进行求解即可评注 对于齐次方程，有时化为 进行求解会更简单：此时令，有 ，方程化为 ，这里将变量 x 看作函数，y 看作自变量【知识模块】 微分方程21 【正确答案】 将方程化为 ，令，有 yxu， ，代入方程并分离变量得 ，两边积分得 ，代入，得方程的通解为 代入初始条件 ，得 C1，于是所求解为【试题解析】 所给方程为齐次方程，按齐次方程的方法进行求解即可【知识模
25、块】 微分方程22 【正确答案】 原方程为 ，则所求旋转体的体积为令，得唯一驻点 又为最小值点，于是所求曲线方程为【知识模块】 微分方程23 【正确答案】 应填【试题解析】 详解 这是不显含 x 的可降阶方程，令 py，有 原方程化为 ，于是有 p0 或 ，显然 p0 不满足初始条件 ，因此必有 两边积分得 代入初始条件于是 ，即 2ydydx ，两边积分得y2xC，代入 得 C 21，故所求特解为 y2x1 或 (由初始条件 ，故取 )。评注 对于不显含 x 的可降阶方程y“ f(y，y)，令 py(这里 )对于该类型方程，通过变量代换 py，将原方程化为关于变量 p 与 y 的一阶方程。【
26、知识模块】 微分方程24 【正确答案】 令 yu，则原方程化为 u(xu 2)u即，利用uy(1)1，有 C0，于是 xu 2 或1890* ，代入初始条件 y(1)1，得，故满足初始条件y(1)y(1) 1 的特解为 。【试题解析】 本题为可降阶的二阶微分方程，作变量代换即可【知识模块】 微分方程25 【正确答案】 由参数方程确定函数的求导公式 可得。由题意知 ，从而 “(t)(t1)(t)3(t1) 2x。解微分方程 令 y(t)，则。所以。因为 y(1)(1)6，故 y3t(t1)，即 (t)3f(t 1)，故。又由。【试题解析】 此题是参数方程确定函数的导数与微分：疗程相结合的一道综合
27、题，有一定难度【知识模块】 微分方程26 【正确答案】 设所求方程为 y“pyqyf(x)，只需求出 p，q，f(x)即可 由线性方程解的性质，得 y1y 3e x ，(y 1y 2)(y 1y 3)e 2x 是对应的齐次方程y“ pyqy0 的两个线性无关的解，所以 11， 22 是特征方程2pq0 的根，由根与系数的关系，得 P1，q2将 y1xe xe 2x 代入方程 y“Pyqyf(x)，可得 f(x)(1 2x)ex所求方程为 y“ y 2y(12x)e【试题解析】 分析 由于二阶常系数线性齐次微分方程由其特征方程唯一确定，因此可先由齐次方程的解得到对应的特征根，再由根与系数的关系确
28、定特征方程，从而得到齐次微分方程 评注 1 对于二阶常系数线性齐次微分方程y“ pyqy 0，函数 Aex是其解的充要条件为 是特征方程 2pq0的根；函数 Aesinx，Be xcosx，或 ex(Asinx Bcosx)是其解的充要条件为 土 是特征方程 2 pq0 的根 评注 2 对于本题，由于y1y 3e x ， (y1y 21)(y 1y 3)e 2x 是对应的齐次方程 y“pyqy0 的两个线性无关的解，y 2(y 3y 1)xe x 是对应的非齐次方程的一个特解，所以，所求方程的通解为 yC 1e2x C 2e x xe x 评注 3 易求出y2C 1e2x C2ex xe xe
29、 x，y“4C 1e2xC 2ex xe x2e x，从 y，y，y“ 中消去C2，C 2，即可得到所求的二阶方程为 y“y2y(12x)e x【知识模块】 微分方程27 【正确答案】 在 uycosx 两边对 x 求导，得 u ycosxysinx，u“y“cosx2ysinxycosx，代入方程，原方程化为u“ 4ue x，易求得其通解为 代入 uycosx，得原方程的通解为【知识模块】 微分方程28 【正确答案】 详解 1 由题设条件，f(x)g(x)，g(x)2e xf(x) ，得解之得 f(x)sinxcosxe x所以详解 2 同详解1，f(x)sinxcosxe x【试题解析】
30、先由题设条件，得一微分方程，解出 f(x)后再求定积分【知识模块】 微分方程29 【正确答案】 (1)由反函数的求导公式知 ，于是有代入原微分方程得y“ y sinx(2)方程 所对应的齐次方程 y“y0 的通解为 yC 1exC 2e2设方程的特解为 y*Acosx Bsinx代入方程 ，求得 A0，从而 y“ysinx 的通解是yyy *C 1exC 2e2 由 y(0)0， ，得C11， C2 1故所求初值问题的解为【试题解析】 分析 ，关键在于：然后再代入原方程化简即可评注 反函数的求导法是一元函数的三个基本微分法之一，二阶线性常系数非齐次微分方程则是微分方程部分的重要内容本题将两部分
31、内容有机地结合在一起，除了能够考查考生的基本运算能力，还能考查他们综合运用知识的能力【知识模块】 微分方程30 【正确答案】 ，代入原方程，得 。解此微分方程，得 yC 1costC 2sintC 1xCz 2，将初始条件 代入，有 C12，C 21故满足条件的特解为 。【试题解析】 分析 先将 y，y“转化为 ，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可评注 本题的关键是将 y，y“转化为 ，而这主要是考查求复合函数的一、二阶导数【知识模块】 微分方程31 【正确答案】 (1)齐次线性微分方程 f“(x)f(x)2f(x)0 的特征方程为：r2r20，特征根为：r 11，r 22，因此齐次微分
32、方程的通解为：f(x)C 1exC 2e2x 于是 f(x)C 1ex2C 2e2x ，f(x) C 1ex4C 2e2x ， 代入 f“(x)f(x)2e x 得 2C1ex2C 1e2x 2e x，从而 C11， C20， 故 f(x)e x (2)因曲线方程为 yf(x 2)0xf(t 2)dte x20xet2 dt，所以 y2xe x20xet2 dt1， y“ 2ex20xedt4xee x20xet2 dt2x 2(12x 2)ex20xet2 dt2x 显然，y“(0) 0，且当 x0 时，y“0，当 x0 时，y“ 0故所求拐点为 (0，0)【知识模块】 微分方程32 【正确
33、答案】 由题设，有 ，两边对 求导，得 ，两边积分得 ，代入条件 r(0)2，得 ，故所求曲线L 的方程为 。【试题解析】 分析 在极坐标系中，由曲线 rr()及射线 ， 所围成的曲边扇形的面积为 ，曲线弧 rr()()的长度为评注 本题主要考查在极坐标系下求面积和弧长，以及将含有变限积分的函数方程问题转化为微分方程问题的方法【知识模块】 微分方程33 【正确答案】 取沉放点为原点 O，Oy 轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得由，于是原方程化为，分离变量得 ，两边积分得 ，代入初始条件，得 ，所以，所求函数关系为。【试题解析】 分析 根据牛顿第二定律，列出微分方程，再求解方程即可评注 本题的解
34、题思路比较简单。但因为含有多个宁母参数，所以计算比较繁琐，应注意计算能力的训练【知识模块】 微分方程34 【正确答案】 因曲线向上凸，故 y“0，又由已知，得，即 y”(1y 2)。由曲线经过点(0，1)处及切线方程yx1，可得初始条件 y(0)1，y(0)1令 py ，得 p(1p 2)，分离变量并积分得 arctanp C1x，即 arctanyC 1x，代入初始条件 y(0)1，y(0)1，得 ，有 ，两边积分得代入条件 y(0)1，得 ，所以所求曲线方程为 因是周期函数，故取其含 x0 在内且连续的一支为 当时，y，故函数无极小值，当 时，y 取到极大值，极大值为 。【试题解析】 分析
35、 由曲率的计算公式和已知条件建立一个二阶微分方程，由曲线经过点(0 ，1) 处及切线方程 yx1，可得初始条件 y(0)1，y(0)1评注 本题是一道综合题，主要考查曲率、可降阶微分方程求解及函数的极值问题，综合相关的知识点构造综合题型是考研命题的一大趋势【知识模块】 微分方程35 【正确答案】 曲线 yy(x)在点 P(x，y)处的切线方程为 Yyy(xx)，它与x 轴的交点为 由于 y(x)0，y(0) 1，因此 y(x)0(x0)，于是又 S 2 0xy(t)dt根据已知条件2S1S 21，有 ，代入 y(0)1，有 y(0)1方程两边对 x求导并化简得 yy“y 2，这是可降阶方程令
36、Py，则方程化为 ，分离变量得 ，两边积分得 PC 1y，即 yC 1y，代入初始条件 y(0)1，y(0)1，得 C 11，有 ，两边积分得 yC 2ex，代入 y(0)1，得C11，因此，所求曲线的方程为 ye x【试题解析】 分析 首先根据微积分的几何意义，求出 S1 和 S2，然后由关系式2S1S 21 得到一含有变限积分的函数方程问题，对方程两边求导，转化为微分方程问题 评注 1 本题将曲线切线问题、平面图彤的面积问题、含变限积分的函数方程问题以及微分方程问题综合起来，有一定的难度与计算量 评注 2 本题不是直接给出含变限积分的函数方程问题，而是由变化区间0，x上的面积用变限积分 S
37、2 0xy(t)dt 表示，转化为含有变限积分的函数方程问题类似地，由变化区间上的体积、弧长等定积分的应用问题，也可以转化为含有变限积分的函数方程问题【知识模块】 微分方程36 【正确答案】 设从 2000 年初(令此时 t0)开始，第，年湖泊中污染物 A 的总量为 m(t)浓度为 则在时间间隔t，tdt上，排入湖泊中 A 的量近似为，排出量近似为 ，因此在时间间隔t，tdt上 m(t)的改变虽为 这是可分离变量方程，分离变量并积分得 ，代入初始条件 m(0)5m 0，得 ，于是 令 mm 0，得 t6ln3，即至多需经过 6ln3 年，湖泊中污染物 A 的含量能降至 m0 以内【试题解析】
38、分析 如设 m(t)为自 2000 年后第 t 年湖泊中污染物 A 的含量，此时浓度为 在时间间隔t，tdt上，排入湖泊中的污染物 A 的量近似为，排出量近似为 的增量近似为，从而转化为微分方程问题 评注 本题属于用微分表示改变量，通过微元法建立微分方程的简单数学建模问题应熟练掌握这种简单的建模思想【知识模块】 微分方程37 【正确答案】 (1)设曲线 L 上过点 P(x，y)的切线方程为 Yyy(Xx)，令X0，得该切线在 y 轴上的截距为 yxy由题设有 ，此为一阶齐次微分方程，令 ，将此方程转化为 ，两边积分并代入 。由于 L 经过点，于是 L 的方程为。(2)设第一象限内曲线在点 P(
39、x，y)处的切线方程为，它与 x 轴及 y 轴的交点分别为 。于是所求面积为 ，令 S(x)0，得 ，容易验证 是函数 S(x)在 内的极小值点，且是唯一的极小值点，即为最小值点于是所求切线为 。【试题解析】 分析(1)先求出切线方程及其在 y 轴上的截距，由题设可得到与待求曲线对应的函数所满足的微分方程(2)由面积最小，可得曲线上的切点，从而求出对应的切线方程评注 本题是一道综合题，主要考查由实际问题建立微分方程的能力、微分方程的求解、导数与定积分的几何应用以及求函数的极值求曲线在任意点 P(x，y)处的切线方程时，由于任意点已用 x 和 y 表示，因此切线上任意点的坐标设为(X， Y)，以
40、示区别这是求解这类问题的一种习惯做法，应引起注意【知识模块】 微分方程38 【正确答案】 详解 1 设雪堆在时刻 t 的体积 ，表面积 S2r 2，r为时间 t 的函数，由题设得 ，解此方程得rKt C，由 r(0)r 0，得 rr 0Kt又由题设，从而 因雪堆全部融化时 r0，故得 t6，即雪堆全部融化需 6 小时 详解 2 设雪堆在时刻 t 的体积 ，表面积 S2r 2,r 为时间 t 的函数，从而 ，解此方程得 设 V(0)V 0，得 ，故有 ，于是 ，令 V0，得 t6，即雪堆全部融化需 6 小时【试题解析】 分析 先求 H半球体体积和半球面面积关于时间 t 的函数，再由题设即可建立微
41、分方程，比例系数 K 可通过题设条件确定注意雪堆全部融化意味着体积 y0 或球体半径 r0 评注 对于本题，不要将“体积融化的速率与半球面面积 S 成正比 ”理解为 ，事实上，由于体积减少，雪堆体积融化的速率应为 【知识模块】 微分方程39 【正确答案】 (1)曲线 yf(x) 在点尸(x，y)处的法线方程为，其中(X，Y)为法线上任意一点的坐标令 X0，则，故 Q 点的坐标为 由题设知 ，即 2ydyxdx0积分得 x 22y 2C(C 为任意常数)由 知 C1，故曲线 yf(x)的方程为 x 22y 21(2) 曲线 ysinx 在0，上的弧长为曲线 yf(x)的参数方程为故令 ，则【试题
42、解析】 分析(1)先求出法线方程与交点坐标 Q，再由题设线段 PQ 被 x 轴平分，可转化为微分方程，求解此微分方程即可得曲线 yf(x)的方程(2)将曲线yf(x)化为参数方程，再利用弧长公式 进行计算即可评注 注意：只在第一象限考虑曲线 yf(x) 的弧长，所以积分限应从 0 到 ，而不是从 0 到 2【知识模块】 微分方程40 【正确答案】 (1)设在 t 时刻。液面的高度为 y，则由题设知此时液面的面积为2(y)4 t，从而 t 2(y)4 (2) 液面的高度为 y 时，液体的体积为 0y2(u)du3t3 2(y)12上式两边对 y 求导，得 2(y)6(y)(y)，即 (y)6q(
43、y)解此方程，得 ，其中 C 为任意常数，由 (0)2 知C2，故所求曲线方程为 【试题解析】 分析 液面的面积将以 m2min 的速率均匀扩大，因此 t 时刻液面面积应为 22t，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出 t 与 (y)之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知 t 时刻的液体体积为 3t，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可 评注 作为应用题，本题比较好地综合考查了定积分在几何上的应用与微分方程的求解 【知识模块】 微分方程41 【正确答案】 详解 1 由题设，飞机的质量 m9 000kg，着陆时的水平速度v0700kmh从飞
44、机接触跑道开始记时，设 t 时刻飞机的滑行距离为 x(t)，速度为 v(t) 根据牛顿第二定律，得 ， 又 ，由以上两式得 ，积分得 ，由于 v(0)v 0，x(0)0，故得 ，从而 。当 v(t)0 时，。所以，飞机滑行的最长距离为105km 详解 2 根据牛顿第二定律，得 ，所以 。两端积分得通解 代入初始条件 解得 Cv 0，故。飞机滑行的最长距离为。或由，故最长距离为当 t时， 。 详解 3 根据牛顿第二定律，得，即 其特征方程为 ，解之得 10， ，故 ，由，得。当 t 时，所以，飞机滑行的最长距离为 105km 【试题解析】 分析 本题是标准的牛顿第二定律的应用，列出关系式后再解微分方程即可 评注 本题求飞机滑行的最长距离，可理解为 t或 v(t)0 的极限值，这种隐含的条件应引起注意【知识模块】 微分方程42 【正确答案】 当 x0 时，设(x ，y)为曲线
