1、考研数学二（微分方程）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 y“一 6y+8y=ex+e2x 的一个特解应具有形式( 其中 a，b 为常数) ( )（A）ae x+be2x（B） aex+bxe2x（C） axex+be2x（D）axe x+bxe2x2 微分方程 y“+2y+2y=e-xsinx 的特解形式为(其中 a，b 为常数) ( )（A）e -x(acosx+bsinx)（B） e-x(acosx+bxsinx)（C） xe-x(acosx+bsinx)（D）e -x(axcosx+bsinx)3 微分方程 的通解是(
2、其中 C 为任意常数) ( )（A）2e 3x+3ey2=C（B） 2e3x+3e-y2=C（C） 2e3x 一 3ey2=C（D）e 3x 一 e-y2=C4 微分方程 y“一 4y+4y=x2+8e2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b，c ，d 为常数)( )（A）ax 2+bx+ce2x（B） ax2+bx+c+dx2e2x（C） ax2+bx+cxe2x（D）ax 2+(bx2+cx)e2x5 微分方程 y“+2y+y=shx 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（A）ashx（B） achx（C） ax2e-x+bex（D）axe -x+bex二、填空题6 微分方
3、程 的通解是_7 微分方程 y“一 2y=x2+e2x+1 的待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是_8 以 y=7e3x+2x 为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是_9 微分方程 满足初值条件 y(0)=0，的特解是_.10 微分方程 3extanydx+(1 一 ex)Sec2ydy=0 的通解是 _11 微分方程 的通解是_12 微分方程的通解_(一定不一定)包含了所有的解13 微分方程(y 2+1)dx=y(y 一 2x)dy 的通解是_ 14 微分方程(1 一 x2)yxy=0 满足初值条件 y(1)=1 的特解是_15 微分方程 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明
4、过程或演算步骤。16 求微分方程 的通解17 求微分方程 y“一 2y一 e2x=0 满足条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解18 求微分方程 y“+2y+y=xex 的通解19 求微分方程 y“+4y+4y=e-2x 的通解20 求微分方程 y“+2y一 3y=e-3x 的通解21 求微分方程 y“+5y+6y=2e-x 的通解22 求微分方程(3x 2+2xyy2)dx+(x2 一 2xy)dy=0 的通解23 设 y(x)是方程 y(4)一 y“=0 的解，且当 x0 时，y(x)是 x 的三阶无穷小，求y(x)24 求一个以 y1=tet，y 2=sin2t 为其两个特解的四阶常系
5、数齐次线性微分方程，并求其通解25 从一艘破裂的油轮中渗漏出来的油，在海面上逐渐扩散形成油层设在扩散的过程中，其形状一直是一个厚度均匀的圆柱体，其体积也始终保持不变已知其厚度 h 的减少率与 h3 成正比，试证明：其半径 r 的增加率与 r3 成反比26 求解 y“=e2y+ey，且 y(0)=0，y(0)=2 27 求方程 的通解以及满足 y(0)=2 的特解28 求微分方程 的通解，并求满足 y(1)=0 的特解29 求方程 的通解30 求(y 3 一 3xy2 一 3x2y)dx+(3xy2 一 3x2yx3+y2)dy=0 的通解考研数学二（微分方程）模拟试卷 10 答案与解析一、选择
6、题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由原方程对应齐次方程的特征方程 r2 一 6r+8=0 得特征根r1=2，r 2=4又 f1(x)=ex， 1=1 非特征根，对应特解为 y1*=aex；f 2(x)=e2x， 2=2 为特征单根，对应特解为 y2*=bxe2x故原方程特解的形式为 aex+bxe2x，即选(B) 【知识模块】 微分方程2 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程，r 2+2r+2=0 即(r+1) 2=一 1，特征根为 r1,2=一 1i，而 f(x)=e-xsinx，i=一 1i 是特征根，故特解为 y*=xe-x(aco
7、sx+bsinx)【知识模块】 微分方程3 【正确答案】 C【试题解析】 原方程写成 yy+ey2+3x+=0，分离变量有 ye-y2dy+e3xdx=0积分得 2e 3x一 3e-y2=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程4 【正确答案】 B【试题解析】 对应特征方程为 r2 一 4r+4=0，特征根是 r1,2=2而 f1=x2， 1=0 非特征根，故 y1*=ax2+bx+c又 f2=8e2x， 2=2 是二重特征根，所以 y2*=dx2e2xy 1*与y2*合起来就是一个特解应具有的形式，选(B)【知识模块】 微分方程5 【正确答案】 C【试题解析】 对应特征方程为 r2+2
8、r+1=0，得 r=一 1 为二重特征根，而 f(x)=shx=故特解形式为 y*=ax2e-x+bex【知识模块】 微分方程二、填空题6 【正确答案】 y=C 1+C2x+C3x2+C4e-3x，其中 C1，C 2，C 3，C 4 为任意常数【试题解析】 特征方程 r4+3r3=0，即 r3(r+3)=0故通解如上【知识模块】 微分方程7 【正确答案】 y *=x(Ax2+Bx+C)+Dxe2x【试题解析】 特征方程为 r2 一 2r=0，特征根为 r1=0，r 2=2 对 f1=x2+1， 1=0 是特征根，所以 y1*=x(Ax2+Bx+C) 对 f2=e2x， 2=2 也是特征根，故有
9、y2*=Dxe2x从而 y*如上【知识模块】 微分方程8 【正确答案】 y“一 3y“=0【试题解析】 由特解 y=7e3x+2x 知特征根为 r1=3， r2=r3=0(二重根)，特征方程为r3 一 3r2=0，对应齐次线性微分方程为 y“一 3y“=0【知识模块】 微分方程9 【正确答案】 x=e y 一 e-y siny【试题解析】 由反函数的导数可知， 原方程可化为 x 关于 y 的二阶常系数线性方程将式代入原方程，原方程化为 解得 x 关于 y 的通解为 由 x=0 时，y=0，代入上式，得 0=C 1+C2 再将式两边对 y 求导，有 当 x=0 时， 代入上式，有 解得 C1=1
10、，C 2=一 1，于是得特解【知识模块】 微分方程10 【正确答案】 tany=C(e x 一 1)3，其中 C 为任意常数【试题解析】 方程分离变量得 积分得 ln|tany|=3ln|e x 一1|+lnC1 所以方程的通解为 tany=C(ex 一 1)3，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程11 【正确答案】 y=(C 1+C2x)ex+1，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 原方程为二阶常系数非齐次线性微分方程其通解为 y=y 齐 +y*，其中 y 齐 是对应齐次方程的通解，y *是非齐次方程的一个特解 因原方程对应齐次方程的特征方程为 r2 一 2r+1=0，即(r
11、一 1)2=0，特征根为 r1,2=一 1故 y 齐 =(C1+C2x)ex，其中 C1， C2 为任意常数根据观察，显然 y*=1 为原方程的一个特解故其通解如上所填【知识模块】 微分方程12 【正确答案】 不一定【试题解析】 例如方程(y 2 一 1)dx=(x 一 1)ydy，经分离变量有 得通解 y2 一 1=C(x 一 1)2，C0，但显然方程的全部解还应包括 y=1 和 x=1(实际上在分离变量时假定了 y2 一 10，x 一 10)【知识模块】 微分方程13 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 方法一 原方程化为 由通解公式得 方法二 原方程写为(y 2+1)dx+(
12、2xy)ydy=0，是全微分方程，再改写为 (y2+1)dx+xd(y2+1)一 y2dy=0，即dx(y2+1)=y2dy，积分得通解 【知识模块】 微分方程14 【正确答案】 【试题解析】 原方程化为 积分得通解 ln|y|=ln|C1x|一 x2，即由初值 y(1)=1 解出 便得如上所填【知识模块】 微分方程15 【正确答案】 其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 由 两边积分得 再积分得 【知识模块】 微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 变形和作适当代换后变为可分离变量的方程 方程两边同除以x，得 当 x0 时， 作变换有 即 解之得
13、arcsinu=lnCx再以代回，便得原方程的通解： 即 y=xsin(lnCx)，其中 C 为大于零的任意常数【知识模块】 微分方程17 【正确答案】 齐次方程 y“一 2y=0 的特征方程为 r22r=0，由此求得特征根r1=0，r 2=2对应齐次方程的通解为 Y=C1+C2e2x，设非齐次方程的特解为y*=Axe2x，则 y*=(A+2Ax)e2x，y *“=4A(1+x)e2x， 代入原方程，得 从而于是，原方程通解为 将y(0)=1 和 y(0)=1 代入通解求得 从而，所求特解为 【知识模块】 微分方程18 【正确答案】 特征方程 r2+2r+1=0 的两个根为 r1=r2=一 1
14、对应齐次方程的通解为 Y=(C 1+C2x)e-x 设所求方程的特解为 y*=(ax+b)ex，则 y *=(ax+a+b)ex，y“=(ax+2a+b)e x， 代入所给方程，有(4ax+4a+4b)e x=xex解得所以 最后得原微分方程的通解为其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微分方程19 【正确答案】 特征方程 r2+4r+4=0 的根为 r1=r2=一 2对应齐次方程的通解为 Y=(C1+C2x)e-2x 设原方程的特解 y*=Ax2e-2x，代入原方程得 因此，原方程的通解为 【知识模块】 微分方程20 【正确答案】 对应的齐次方程的通解为 Y=C 1ex+C2e-3x
15、设原方程的一个特解为y*=Axe-3x，代入原方程，得 所求通解为其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微分方程21 【正确答案】 所给微分方程的特征方程为 r 2+5r+6=(r+2)(r+3)=0， 特征根为 r1=一 2，r 2=一 3于是，对应齐次微分方程的通解为 Y=C 1e-2x+C2e-3x 设所给非齐次方程的特解为 y*=Ae-x将 y*代入原方程，可得 A=1由此得所给非齐次方程的特解 y*=e-x从而，所给微分方程的通解为 y=C 1e-2x+C2e-3x+e-x，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微分方程22 【正确答案】 方法一 原方程化为 3x2dx+
16、(2xy 一 y2)dx+(x2 一 2xy)dy=0，即 d(x 3)+d(x2y 一 xy2)=0，故通解为 x3+x2y 一 xy2=C，其中 C 为任意常数 方法二 令y=xu，则 即解得 u2 一 u 一 1=Cx-3x，即 y2 一 xy 一 x2=Cx-1 或 xy2 一x2yx3=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程23 【正确答案】 由泰勒公式 当 x0时，y(x)与 x3 同阶，即有 y(0)=0，y(0)=0，y“(0)=0，y“(0)=C，其中 C 为非零常数由这些初值条件，现将方程 y(4)一 y“=0 两边积分得 即 y“(x)一 Cy(x)=0，两边再积
17、分得 y“(x)一 y(x)=Cx 易知，它有特解 y*=一 Cx，因此它的通解是 y=C1ex+C2e-x 一 Cx 由初值y(0)=0，y(0)=0 得 C 1+C2=0，C 1+C2，即 因此最后得其中 C 为任意非零常数【知识模块】 微分方程24 【正确答案】 由 y1=tet 可知 y3=et 为其解，由 y2=sin2t 可知 y4=cos2t 也是其解，故所求方程对应的特征方程的根 1=3=1， 2=2i， 4=一 2i其特征方程为 (1)2(2+4)=0，即 4 一 23+52 一 8+4=0 故所求的微分方程为 y(4)一 2y“+5y“一8y+4y=0，其通解为 y=(C
18、1+C2t)et+C3COS 2t+C4sin2t，其中 C1，C 2，C 3，C 4 为任意常数【知识模块】 微分方程25 【正确答案】 把 V=r2h 看作隐式方程，其中 r，h 均为关于时间 t 的函数，两边同时对 t 求导 由于 和 V 都是常数，所以有 由题意条件(k1 为比例系数)，代入上式，可得 再将代入上式，可得 即半径 r 的增加率与 r3 成反比【知识模块】 微分方程26 【正确答案】 令 y=p(y)，则 代入方程，有 p2=e2y+2ey+C，即 y 2=e2y+2ey+C 又 y(0)=0，y(0)=2，有 C=1，所以 y 2=e2y+2ey+1=(ey+1)2 y
19、=e y+1(y(0)=20) y(0)=0 代入上式，得 C1=一 ln2，所以，该初值问题的解为 y=ln(1+e y)=xln2【知识模块】 微分方程27 【正确答案】 这是可分离变量方程当 y21 时，分离变量得 两边积分，得 去掉绝对值记号，并将e 2C1 记成 C，并解出 y，得 这就是在条件 y21下的通解此外，易见 y=1 及 y=一 1 也是原方程的解，但它们并不包含在式之中 将 y(0)=2 代入式中得 故 C=一 3于是得到满足 y(0)=2 的特解 【知识模块】 微分方程28 【正确答案】 此为齐次微分方程，按解齐次微分方程的方法解之 令 y=ux，原方程化为 得 当
20、x0 时，上式成为 两边积分得 将任意常数记成 lnC由上式解得 即有 当 x0，类似地可得 式与式其实是一样的，故得通解 将初值条件 y(1)=0 代入式 得 C=1，但由于 C0，故得相应的特解为 【知识模块】 微分方程29 【正确答案】 这是一阶线性方程，可以直接套通解公式解之套公式之前，应先化成标准形式： 由通解公式，得 当 x0 时， 当x0 时， 合并式，得通解 【知识模块】 微分方程30 【正确答案】 将原方程通过观察分项组合 (y 3 一 3xy2 一 3x2y)dx+(3xy2 一3x2yx3+y2)dy =(y3dx+3xy2dy)一 3xy(ydx+xdy)一(3x 2ydx+x2dy)+y2dy=0，即 所以通解为其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程
