1、考研数学二（微分方程）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)连续，且满足 则 f(x)= ( )（A）e xln 2（B） e2xln 2（C） ex+ln 2（D）e 2x+ln 22 微分方程 y“一 y=ex+1 的特解应具有形式 (其中 a，b 为常数) ( )（A）ae x+b（B） axex+b（C） aex+bx（D）axe x+bx3 设以下的 A，B，C 为常数，微分方程 y“+2y一 3y=exsin2x 有特解形式为 ( )（A）e x(A+Bcos2x+Csin2x)（B） ex(Ax+Bcos2x+C
2、sin2x)（C） ex(A+Bxcos2x+Cxsin2x)（D）xe x(A+Bcos2x+Csin2x)4 方程 y(4)一 2y“一 3y“=e-3x 一 2e-x+x 的特解形式(其中 a，b，c，d 为常数)是 ( )（A）axe -3x+bxe-x+cx3（B） ae-3x+bxe-x+cx+d（C） ae-3x+bxe-x+cx+dx2（D）axe -3x+be-x+cx3+dx5 已知 y1=xex+e2x 和 y2=xex+e-x 是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )（A）y“一 2y+y=e2x（B） y“一 y一 2y=xex（C） y“一 y一
3、2y=ex 一 2xex（D）y“一 y=e2x6 微分方程 y“一 2y+y=ex 的特解形式为(其中 A，B，C，D 为常数) ( )（A）Ae x(A0)（B） (A+Bx)ex(B0)（C） (A+Bx+Cx2)ex(C0)（D）(A+Bx+Cx 2+Dx3)ex(D0)二、填空题7 特征根为 r1=0， 的特征方程所对应的三阶常系数齐次线性微分方程为_8 满足 f(x)+xf(一 x)=x 的函数 f(x)=_9 已知 则 f(x)=_10 微分方程 xdyydx=ydy 的通解是_11 微分方程 y“+4y=2x2 在原点处与直线 y=x 相切的特解为_12 设 y1=xex+2e
4、2x，y 2=xex+3e-x，y 3=xexe2x 一 e-x 为某二阶常系数线性非齐次方程的 3 个特解，设该方程的 y“前的系数为 1，则该方程为_13 设 exsin2x 为某 n 阶常系数线性齐次微分方程的一个解，则该方程的阶数 n 至少是_，该方程为_14 微分方程 的通解是 y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求微分方程 y“(3y2 一 x)=y满足初值条件 y(1)=y(1)=1 的特解16 求微分方程 的通解17 求微分方程 的通解18 求 y“一 y=e|x|的通解19 利用变换 y=f(ex)求微分方程 y“一(2e x+1)y+e2xy=e3
5、x 的通解20 (1)用 x=et 化简微分方程 为 (2)求解20 设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点21 试求曲线 L 的方程；22 求 L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积最小23 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及到 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1 一 S2恒为 1，
6、求此曲线 y=y(x)的方程24 位于上半平面的凹曲线 y=y(x)在点(0，1)处的切线斜率为 0，在点(2 ，2)处的切线斜率为 1已知曲线上任一点处的曲率半径与的乘积成正比，求该曲线方程25 一长为 l(米) 、线密度为 (千克米)的链条，两端各系一个质量为 m(千克)的物体 A 与 B开始时，仅 A 下垂，其余部分平置于桌面上，假设物体、链条与桌面的摩擦均略而不计问从开始算起经过多少时间，链条全部从桌面上滑下26 设 f(x)在( 一，+)内有定义，且对于任意 x 与 y 均有 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex 成立，又设 f(0)存在且等于 a(a0)求 f(x)27 设 f
7、(x)在区间(一，+)上连续且满足 求 f(x)28 设 f(x)在区间(一，+)上连续，且满足 求f(x)的表达式29 求连接两点 A(0，1) 与 B(1，0)的一条可微曲线，它位于弦 AB 的上方，并且对于此弧上的任意一条弦 AP，该曲线与弦 AP 之间的面积为 x4，其中 x 为点 P 的横坐标30 设 y=y(x)是区间 (一 ，)内过点 的光滑曲线(y(x)的一阶导数连续)当一 x0 时，曲线上任一点处的法线都过原点；当 0x 时，函数 y(x)满足 y“+y+x=0求函数 y(x)的表达式考研数学二（微分方程）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个
8、选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 原方程求导得 f(x)=2f(x)，即 积分得 f(x)=Ce2x，又 f(0)=ln2，故 C=ln2，从而 f(x)=e2xln2【知识模块】 微分方程2 【正确答案】 B【试题解析】 根据非齐次方程 y“一 y=ex+1 可得出对应的齐次方程 y“一 y=0，特征根为 1=一 1， 2=1，非齐次部分分成两部分 f1(x)=ex，f 2(x)=1，可知 y“一y=ex+1 的特解形式为 axex+b【知识模块】 微分方程3 【正确答案】 B【试题解析】 对应齐次方程的通解为 Y=C 1ex+C2e-3x， 自由项为 所对应的特解形式为
9、y1*=Axex；自由项为所对应的特解形式为 y2*=ex(Bcos2x+Csin2x)因此本题所对应的特解形式为 y *=y1*+y2*=ex(Ax+Bcos2x+Csin2x) 选(B)【知识模块】 微分方程4 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程 r2(r2 一 2r 一 3)=0，特征根为 r1=3，r 2=一 1，r 3=r4=0，对f1=e-3x， 1=一 3 非特征根，y 1*=ae-3x；对 f2=一 2e-x， 2=一 1 是特征根，y 2*=bxe-x；对 f3=x， 3=0 是二重特征根，y 3*=x2(cx+d)，所以特解 y*=y1*+y2*+y3*=ae-3x+b
10、xe-x+cx3+dx2【知识模块】 微分方程5 【正确答案】 C【试题解析】 非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解，由 y1 一 y2=e2x 一e-x 及解的结构定理知对应齐次方程通解为 y=C1e2x+C2e-x，故特征根 r1=2，r 2=一1对应齐次线性方程为 y“一 y一 2y=0 再由特解 y*=xex 知非齐次项 f(x)=y *“一y*一 2y*=ex 一 2xex， 于是所求方程为 y“一 y一 2y=ex 一 2xex【知识模块】 微分方程6 【正确答案】 C【试题解析】 因为方程右边 ex 指数上的 1 是二重特征根，故特解形式为y*=Ax2ex(A0)，即(C)
11、 中 C0 的形式故应选(C)【知识模块】 微分方程二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 特征方程为即其对应的微分方程即所答方程【知识模块】 微分方程8 【正确答案】 ln(1+x2)+xarctanx+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 在原方程中以一 x 代替 x 得 f(一 x)一 xf(x)=一 x，与原方程联立消去 f(一 x)得 f(x)+x2f(x)=x+x2，所以 积分得其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程9 【正确答案】 Cx+2 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 将所给方程两边同乘以 x，得 令 u=tx，则上式变为两边对 x 求导得 用一阶非齐次线性微分方程
12、通解公式计算即得 f(x)=Cx+2，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程10 【正确答案】 【试题解析】 方法一 原方程化为 是齐次型，令 y=xu，则dy=xdu+udx，方程再化为 积分得 代入y=xu 即得通解 方法二 原方程变形为 积分即得通解【知识模块】 微分方程11 【正确答案】 【试题解析】 由题意，在原点处切线的斜率为特征方程r2+4=0，对应齐次微分方程的通解为 C1cos2x+C2sin2x 又微分方程的一个特解为因而非齐次方程的通解为 将代入上式，得特解为 【知识模块】 微分方程12 【正确答案】 y“一 y一 2y=(1-2x)ex【试题解析】 非齐次方程的两个
13、解的差为对应齐次方程的解，故 Y 1=y1 一 y2=2e2x一 3e-x， Y 2=y1 一 y3=3e2x+e-x， 为对应的齐次方程的两个解于是又可推知 Y1+3Y2=11e2x，3Y 12Y2=一 11e-x， 也是对应的齐次方程的两个解所以 r=2，r=一 1 是特征方程两个根，特征方程为 (r 一 2)(r+1)=r2 一 r 一 2=0， 对应齐次方程为 y“-y一 2y=0 设该非齐次方程为 y“-y一 2yf(x) 将已知的一个特解代入，求得 f(x)=(12x)ex，故所求的非齐次方程如上所填【知识模块】 微分方程13 【正确答案】 3；y“-3y“一 7y一 5y=0【试
14、题解析】 由于 所以方程至少有 3 个特征根：1，1+2i，1-2i特征方程为 (r 一 1)r-(1+2i)r 一(12i)=0，即 r 3 一 3r2+7r 一5=0 故对应的微分方程为 y“-3y“+7y一 5y=0【知识模块】 微分方程14 【正确答案】 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 此为欧拉方程题中含有 lnx，故知 x0作变换 x=et，从而有 于是原方程变成 按二阶常系数线性非齐次方程常规方法解之，得通解为 C1，C2 为任意常数【知识模块】 微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 这是不显含 y 型的二阶微分方程 y“=f(x，y)
15、 ，按典型步骤去做即可 令 y=p，有 原方程化为 化为 3p 2dp 一(xdp+pdx)=0，这是关于 P 与 x 的全微分方程，解之得 p 3 一 xp=C1，以初值条件：x=1 时， p=1 代入，得 1 1=C1，即 C1=0从而得 p3 一 xp=0分解成 p=0 及p3=x，即 又 不满足初值条件 y(1)=1，弃之解 得 将 x=1 时，y=1 代入，得故得特解【知识模块】 微分方程16 【正确答案】 这是 y“=f(y，y) 型的可降阶二阶方程，按典型步骤去做即可 令y=p，有 原方程化为 即 解得 以下进行讨论y0 显然是原方程的一个解以下设 y0，于是式可改写为 当 C1
16、0 时，由式得 当C1=0 时，由式得 x+C 2=一 y-1；当 C10 时，由式 得 综上所述即得原方程的通解【知识模块】 微分方程17 【正确答案】 应先用三角公式将自由项写成 e -x+e-xcosx，然后再用叠加原理和待定系数法求特解 对应的齐次方程的通解为 Y=(C 1cosx+C2sinx)e-x 为求原方程的一个特解，将自由项分成两项：e x，e -xcosx，分别考虑 y“+2y+2y=e -x， 与 y“+2y+2y=e-xcosx 对于式 ，令 y 1*=Ae-x，代入可求得 A=1，从而得 y1*=e-x 对于式，令 y 2*=xe-x(Bcosx+Csinx)，代入可
17、求得 B=0， 从而得由叠加原理，得原方程的通解为 y=Y+y 1*+y2*=e-x(C1cosx+C2sinx)+e-x+ xe-xsinx，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微分方程18 【正确答案】 当 x0 时，方程为 y“-y=e x， 求得通解 当 x0 时，方程为 y“一 y=e-x， 求得通解 因为原方程的解 y(x)在 x=0 处连续且 y(x)也连续，则有 解得 于是得通解： 其中C1，C 2 为任意常数此 y 在 x=0 处连续且 y连续又因 y“=y+e|x|，所以在 x=0 处y“亦连续，即是通解【试题解析】 自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间
18、(一，0)，0，+) 分成两个方程，分别求解由于 y“=y+e|x|在 x=0 处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在 x=0 处拼接成二阶导数连续，便得原方程的通解【知识模块】 微分方程19 【正确答案】 令 t=ex，则 y=(t)，y=f(t)e x=tf(t)， y“=tf(t) x=exf(t)+tf“(t)e x=tf(t)+t2f“(t)， 代入方程得 t2f“(t)+tf(t)一(2t+1)tf(t)+t 2f(t)=t3，即 f“(t)一2f(t)+f(t)=t， 解得 f(t)=(C1+C2t)et+t+2，所以原方程的通解为 y=(C 1+C2 ex)eex+ex+2，其
19、中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微分方程20 【正确答案】 本题考查在已有提示下化简微分方程，二阶常系数线性微分方程的求解，是一道具有一定计算量的综合题(1)令 x=et，则代入原方程得 即 (2)齐次方程y“+2y+5y=0 的特征方程为 r2+2r+5=0，解得 r1,2=一 12i，故齐次方程的通解 Y=e -t(C1cos2t+C2sin2t) 令 y*(t)=(at+b)et 代入得 a=2，b=一 1，故原方程的通解 y=e -t(C1cos2t+C2sin2t)+(2t1)et，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微分方程【知识模块】 微分方程21 【正确答案】
20、 设曲线 L 过点 P(x，y)的切线方程为 Yy=y(Xx)令 X=0，则该切线在 y 轴上的截距为 yxy 由题设知 令 则此方程可化为 解之得 由 L 经过点于是 L 方程为【知识模块】 微分方程22 【正确答案】 设第一象限内曲线 在点 P(x，y) 处的切线方程为 即 它与 x轴及 y 轴的交点分别为 则所求面积为上式对 x 求导，得令 S(x)=0，解得 当 时，S(x)0；当 时，S(x)0，因而是 S(x)在 内的唯一极小值点，即最小值点，于是所求切线为 即 【知识模块】 微分方程23 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Yy=y(x)(X 一 x
21、)，它与 x 轴的交点为 由于 y(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是 又 由条件 2S1 一 S2=1，知 式两边对 x 求导得 即 yy“=(y)2令 p=y，则上述方程可化为 解得 p=C1y，即 于是 Y=eC1x+C2 注意到y(0)=1，并由 式得 y(0)=1由此可得 C1=1，C 2=0，故所求曲线的方程是 y=ex【知识模块】 微分方程24 【正确答案】 由已知，有 y(0)=1，y(0)=0 ，y(2)=2 ，y(2)=1 又 即 (因为 y(x)是凹曲线，所以y“ 0) 令 y=p，y“=pp ，有即代入 y(0)=1，y(0)=0 ，y(2)=2 ，y(2)=
22、1 ，得k=2，C=0，有 代入 y(0)=1，C 1=0，即 所以【知识模块】 微分方程25 【正确答案】 设以开始下垂点作为坐标原点，向下为 x 轴正向设在 t(秒)时，物体 A 已下垂 x(米) ，则此时使该系统向下的力为(x-m)g，整个运动系统的质量为+2m，于是由牛顿第二定律，有 即其中 初始条件是 x(0)=0，x(t)=0 解之得通解 再由初始条件得特解 令 x=，解得 【知识模块】 微分方程26 【正确答案】 由 f(0)存在，设法去证对一切 x，f(x)存在，并求出 f(x) 将 y=0代入 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得 f(x)=f(x)+f(0)e x，
23、所以 f(0)=0 令x0，得 f(x)=f(x)+exf(0)=f(x)+aex，所以 f(x)存在解此一阶非齐次线性微分方程，得 因 f(0)=0，所以 C=0，从而得 f(x)=acex【知识模块】 微分方程27 【正确答案】 由 有 f(0)=1对第一个积分作变量代换 4xt=u，有 两边求导 两边求导 f“(x)一 4f(x)=4e2x，此为二阶常系数线性非齐次微分方程，按常规方法解之，得通解： f(x)=C 1e2x+C2e-2x+xe2x 再由初始条件 f(0)=1，f(0)=2 得特解： 【知识模块】 微分方程28 【正确答案】 令 有 F(0)=1，且 F(x)=e xf(x
24、)，f(x)=e -xF(x) 从而 e-xF(x)F(x)=x+1这是关于 F(x)的一个变量可分离的微分方程，分离变量得 F(x)F(x)=(x+1)e x， (*) 两边积分得 F 2(x)=2(x+1)exdx=2xex+C 因 F(0)=1，所以 C=1，从而得 F2(x)=2xex+1 以下证明：当 x(一，+)时 2xex+10令(x)=2xex+1，有 (x)=2(x+1)e x， 令 (x)=0 得唯一驻点 x0=一 1当 x一 1 时(x)0，当 x一 1 时 (x)0故唯一驻点为 (x)的最小值点，于是有 (x)(一 1)=一 2e-1+10 从而 (开方取“+”原因是
25、F(0)=1)， 所以 【知识模块】 微分方程29 【正确答案】 如图 161 所示，点 A(0，1)， B(1，0)，曲线 AB 的方程为y=f(x)，点 P(x，f(x)由直线方程的两点式知，弦 AP 的方程为 其中(X，Y)为弦 AP 上流动点的坐标由题设条件知，图中阴影部分的面积为 x，即 两边求导，化为常微分方程： 即 xf(x)一 f(x)=一 8x3一 1 初始条件为 f(1)=0 按一阶非齐次线性微分方程通解公式得 又由 f(1)=0，得 C=3得 f(x)=一 4x3+3x+1【知识模块】 微分方程30 【正确答案】 当一 由题意，法线斜率为 所以有 分离变量，解得 x2+y2=C，由初始条件 得 C=2，所以 当0x1cosx+C2sinxx， y= 一 C1sinx+C2cosx 一 1 因为曲线 y=y(x)光滑，所以 y(x)连续且其导函数也连续，由 式知 代入， 式，得C1=，C 2=1，故 y=cosx+sinxx，0x 综上，知【知识模块】 微分方程
