1、考研数学二（微分方程）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 y“+y+y= 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )2 设 y=f(x)是微分方程 y“一 2y+4y=0 的一个解，若 f(x0)0，且 f(x0)=0，则函数f(x)在点 x0 ( )（A）取得极大值（B）取得极小值（C）某个邻域内单调增加（D）某个邻域内单调减少3 微分方程 y“+2y+y=sh x 的一个特解应具有形式 (其中 a，b 为常数) ( )（A）ash x（B） ach x（C） ax2e-x+bex（D）axe -x+bex4 设 f
2、(x)连续，且满足 +ln 2，则 f(x)= ( )（A）e xln 2（B） e2xln 2（C） ex+ln 2（D）e 2x+ln 25 设 f(x)，f(x)为已知的连续函数，则方程 y+f(x)y=f(x)f(x)的通解是 ( )（A）y=f(x)+Ce -f(x)（B） y=f(x)+1+Ce-f(x)（C） y=f(x)一 C+Ce-f(x)（D）y=f(x)一 1+Ce-f(x)6 方程 y(4)一 2y“一 3y“=e-3x 一 2e-x+x 的特解形式(其中 a，b，c，d 为常数)是 ( )（A）axe -3x+bxe-x+cx3（B） ae-3x+bxe-x+cx+d
3、（C） ae-3x+bxe-x+cx3+dx2（D）axe -3x+be-x+cx3+dx7 已知 y1=xex+e2x 和 y2=xex+e-x 是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )（A）y“一 2y+y=e2x（B） y“一 y一 2y=xex（C） y“一 y一 2y=ex 一 2xex（D）y“一 y=e2x8 微分方程 y“一 y=ex+1 的特解应具有形式 (其中 a，b 为常数) ( )（A）ae x+b（B） axex+b（C） aex+bx（D）axe x+bx二、填空题9 设一阶非齐次线性微分方程 y+p(x)y=Q(x)有两个线性无关的解 y1，y
4、2，若y1+y2 也是该方程的解，则应有 +=_10 微分方程 y“一 7y=(x 一 1)2 的待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是_11 以 y=cos 2x+sin 2x 为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是_12 微分方程 的通解是_13 微分方程(1 一 x2)yxy=0 满足初值条件 y(1)=1 的特解是_14 微分方程 的通解为_15 微分方程 y“一 2y=x2+e2x+1 的待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是_16 特征根为 r1=0， 的特征方程所对应的三阶常系数线性齐次微分方程为_17 满足 f(x)+xf(一 x)=x 的函数 f(x)=_18
5、已知 01f(tx)dt= f(x)+1，则 f(x)=_19 微分方程 xdyydx=ydy 的通解是_20 微分方程 的通解是_21 以 y=7e3x+2x 为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 求一个以 y1=tet，y 2=sin 2t 为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解23 一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉子 8 m，另一端离开钉子 12 m，试分别在以下两种情况下求链条滑离钉子所需要的时间：(1)不计钉子对链条的摩擦力；(2)若摩擦力为常力且其大小等于 2 m 长的链条所受到的重力24 从一艘破裂的
6、油轮中渗漏出来的油，在海面上逐渐扩散形成油层设在扩散的过程中，其形状一直是一个厚度均匀的圆柱体，其体积也始终保持不变已知其厚度 h 的减少率与 h3 成正比，试证明：其半径 r 的增加率与 r3 成反比25 汽艇以 27(kmh) 的速度，在静止的海面上行驶，现在突然关闭其动力系统，它就在静止的海面上作直线滑行，设已知水对汽艇运动的阻力与汽艇运动的速度成正比，并已知在关闭其动力后 20(s)汽艇的速度降为了 108(km h)试问它最多能滑行多远?26 求解 y“=e2y+ey，且 y(0)=0，y(0)=2 27 求方程 =(1 一 y2)tanx 的通解以及满足 y(0)=2 的特解28
7、求微分方程 =xdy 的通解，并求满足 y(1)=0 的特解29 求方程 一 y=一 x2 的通解30 求(y 3 一 3xy2 一 3x2y)如+(3xy 2 一 3x2yx3+y2)dy=0 的通解31 求微分方程 y“(3y2 一 x)=y满足初值条件 y(1)=y(1)=1 的特解32 求微分方程 的通解33 求微分方程 y“+2y+2y= 的通解34 求 y“一 y=e|x|的通解35 设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(2)=1，且函数 满足求 z 的表达式36 设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x 一 2y，x+3y)满足求 z=z(u，v)的一般表达式37
8、利用变换 y=f(ex)求微分方程 f“一(2e x+1)y+e2xy=e3x 的通解38 求二阶常系数线性微分方程 y“+y=2x+1 的通解，其中 为常数39 (1)用 x=et 化简微分方程40 设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点 (1)试求曲线 L 的方程； (2)求L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积最小41 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及到 x 轴的垂线，上述两直线与
9、 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1 一 S2恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程42 位于上半平面向上凹的曲线 y=y(x)在点(0，1)处的切线斜率为 0，在点(2 ，2)处的切线斜率为 1已知曲线上任一点处的曲率半径与 的乘积成正比，求该曲线方程考研数学二（微分方程）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程 r2+r+1=0，特征根为i= 是特征根，所以特解的形式为【知识模块】 微分方程2 【正确答案】 A【试题解析】 由
10、 f(x0)=0 知 x0 为驻点，且 f“(x0)+4f(x0)=0，又因 f(x0)0，故f“(x0)=一 4f(x0)0，所以在 x0 处函数取极大值【知识模块】 微分方程3 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程为 r2+2r+1=0，r=一 1 为二重特征根，而 f(x)=sh x=，故特解为 y*=ax2e-x+bex【知识模块】 微分方程4 【正确答案】 B【试题解析】 原方程求导得 f(x)=2f(x)， 积分得 f(x)=Ce2x，又 f(0)=ln 2，故 C=ln 2，从而 f(x)=e2xln 2【知识模块】 微分方程5 【正确答案】 D【试题解析】 由一阶线性方程的通
11、解公式得 y=e -f(x)dxC+f(x)f(x)ef(x)dxdx =e-f(x)C+f(x)def(x)=Ce-f(x)+f(x)一 1(其中 C 为任意常数)【知识模块】 微分方程6 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程 r2(r2 一 2r 一 3)=0，特征根为 r1=3，r 2=一 1，r 3=r4=0，对f1=e-3x， 1=-3 非特征根， y1*=ae-3x；对 f2=一 2e-x， 2=一 1 是特征根，y 2*=bxe-x；对 f3=x， 3=0 是二重特征根，y 3*=x2(cx+d)，所以特解 y*=y1*+y2*+y3*=ae-3x+bxe-x+cx3+dx2【
12、知识模块】 微分方程7 【正确答案】 C【试题解析】 非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解，由 y1 一 y2=e2x-e-x及解的结构定理知对应齐次方程通解为 y=C1e2x+C2e-x，故特征根 r1=2，r 2=一1对应齐次线性方程为 y“一 y一 2y=0 再由特解 y*=xex 知非齐次项 f(x)=y*“一y*一 2y*=ex 一 2xex， 于是所求方程为 y“ 一 y2y=ex 一 2xex【知识模块】 微分方程8 【正确答案】 B【试题解析】 根据非齐次方程 y“一 y=ex+1 可得出对应的齐次方程 y“一 y=0，特征根为 1=一 1， 2=1，非齐次部分分成两部分
13、 f1(x)=ex，f 2(x)=1，可知 y“一y=ex+1 的特解可设为 axex+b【知识模块】 微分方程二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 由 y1+P(x)y1=Q(x)及 y2+P(x)y2=Q(x)得(y 1+y2)+P(x)(y1+y2)=(+)Q(x)又因 y1+y2 满足原方程，故应有(+)Q(x)=Q(x)，即 +=1【知识模块】 微分方程10 【正确答案】 y*=x(Ax 2+Bx+C)【试题解析】 原方程对应齐次方程的特征方程为 r27r=0，特征根r1=7，r 2=0而 f(x)=x2 一 2x+1，=0 是特征根，所以特解如上所答【知识模块】 微分方程11
14、 【正确答案】 y“+4y=0【试题解析】 由特解 y=cos 2x+sin 2x 知特征根为 r1,2=2i，特征方程是 r2+4=0，其对应方程即 y“+4y=0【知识模块】 微分方程12 【正确答案】 y=C 1+C2x+C3x2+C4e-3x，其中 C1，C 2，C 3，C 4 为任意常数【试题解析】 特征方程 r4+3r3=0，即 r3(r+3)=0故通解如上【知识模块】 微分方程13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微分方程14 【正确答案】 ，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 由 y“= 积分一次得 y= 再积分得【知识模块】 微分方程15 【正确答案】 y*
15、=x(Ax 2+Bx+C)+Dxe2x【试题解析】 特征方程为 r22r=0 特征根 r1=0，r 2=2 对 f1=x2+1， 1=0 是特征根，所以 y1*=x(Ax2+Bx+C) 对 f2=e2x， 2=2 也是特征根，故有 y2*=Dxe2x从而y*如上【知识模块】 微分方程16 【正确答案】 【试题解析】 特征方程为其相应的微分方程即所答方程【知识模块】 微分方程17 【正确答案】 ln(1+x2)+xarctanx+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 在原方程中以(一 x)代替 x 得 f(-x)一 xf(x)=一 x，与原方程联立消去f(一 x)项得 f(x)+x2f(x)=x
16、+x2，所以 f(x)= 积分得 f(x)= ln(1+x2)+xarctan x+C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程18 【正确答案】 Cx+2 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 将所给方程两边同乘以 x，得 01f(tx)d(tx)= xf(x)+x令 u=tx，则上式变为 0xf(u)du= +x两边对 x 求导得用线性方程通解公式计算即得 f(x)=Cx+2，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程19 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 原方程变形为 积分即得通解 其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程20 【正确答案】 y=C 1x5+C2x3+C3
17、x2+C4x+C5，C 1，C 2，C 3，C 4，C 5 为任意常数【试题解析】 ，则方程降阶为 u 的一阶方程 其通解为u=Cx，从而 积分四次即得上述通解【知识模块】 微分方程21 【正确答案】 y“一 3y“=0【试题解析】 由特解 y=7e3x+2x 知特征根为 r1=3， r2=r3=0(二重根)特征方程为 r3一 3r2=0，相应齐次线性方程即 y“一 3y“=0【知识模块】 微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 由 y1=tet 可知 y3=et 亦为其解，由 y2=sin 2t 可得 y4=cos 2t 也是其解，故所求方程对应的特征方
18、程的根 1=3=1， 2=2i， 4=一 2i其特征方程为 (一 1)2(2+4)=0，即 4 一 23+52 一 8+4=0故所求的微分方程为 y(4)一 2y“+5y“一8y+4y=0，其通解为 y=(C 1+C2t)et+C3cos 2t+C4sin 2t，其中 C1，C 2，C 4，C 4 为任意常数【知识模块】 微分方程23 【正确答案】 (1)在时刻 t 时，链条下滑路程为 x(t)(m)，以 表示链条的长度密度，由牛顿第二定律 F=ma，得 =g(12+x)一(8 一 x)，整理得微分方程：及初值条件 x(0)=0，x(0)=0 ，解方程得(2)链条下滑路程 x(t)满足方程：【
19、知识模块】 微分方程24 【正确答案】 把 V=r3h 看作隐式方程，两边同时对 t 求导，由于 和 V 都是常数，所以有 代入上式，【知识模块】 微分方程25 【正确答案】 设汽艇的质量为 m(kg)，关闭动力后 t(s)，汽艇滑行了 x(m)，根据牛顿第二运动定律，有 其中 上述方程是二阶常系数线性齐次方程，其通解为 x=C1+C2e-t由 x(x)=0，x(0)=可确定出 C1= 从而可得方程的特解，即汽艇的运动方程为 根据条件 ，可确定此特解中的另一个待定常数 对应地有 由于其速度从理论上说这艘汽艇是永远也不会停下来的，但是由于，所以，可得最大滑行距离为 1637m 【知识模块】 微分
20、方程26 【正确答案】 p2=e2y+2ey+C，即 y2=e2y+2ey+C 又 y(0)=0，y(0)=2 ，有 C=1，所以 y 2=e2y+2ey+1=(ey+1)2， y=ey+1(y(0)=20)， y-ln(ey+1)=x+C1代入 y(0)=0，得 C1=一 ln 2，所以，该初值问题的解为 yln(1+e y)=xln 2【知识模块】 微分方程27 【正确答案】 这是变量可分离方程当 y21 时，分离变量得去掉绝对值记号，并将e 2C1，记成 C，并解出 y，得 这就是在条件 y21 下的通解此外，易见 y=1 及 y=一 1 也是原方程的解，但它们并不包含在式之中以y(0)
21、=2 代入式 中得 故 C=一 3于是得到满足 y(0)=2 的特解【知识模块】 微分方程28 【正确答案】 此为齐次微分方程，按解齐次微分方程的方法解之令 y=ux，原方程化为 当 x0 时，上式成为两边积分得 其中 C0，将任意常数记成 ln C 由上式解得 当 x0，类似地仍可得其中 C0式与式其实是一样的，故得通解其中 C0 为任意常数将初值条件 y(1)=0 代入 得 C=1，但由于 C0，故得相应的特解为【知识模块】 微分方程29 【正确答案】 这是一阶线性方程，可以直接套通解公式解之套公式之前，应先化成标准型： 由通解公式，得当 x0 时，当 x0 时，合并之，得通解其中 x0，
22、C 为任意常数【知识模块】 微分方程30 【正确答案】 将原给方程通过观察分项组合 (y 3 一 3xy2 一 3x2y)dx+(3xy2 一3x2y 一 x3+y2)dy =(y3dx+3xy2dy)一 3xy(ydx+xdy)一(3x 2ydx+x3dy)+y2dy =0，即【知识模块】 微分方程31 【正确答案】 这是不显含 y 型的二阶微分方程 y“=f(x，y)，按典型步骤去做即可令 ，原方程化为 化为 3p 2dp 一(xdp+pdx)=0这是关于 P 与 x 的全微分方程，解之得 p 3 一 xp=C1 以初值条件：x=1 时，p=1代入，得 11=C 1，C 1=0从而得 p
23、3 一 xp=0分解成 p=0 及 p2=x，即【知识模块】 微分方程32 【正确答案】 这是 y“=f(y，y) 型的可降阶二阶方程，按典型步骤去做即可命y=P，有 原方程化为以下进行讨论y0 显然是原方程的一个解以下设 y0，于是式可改写为(1)当 C10 时，由式得 (2)当 C1=0 时，由式得 x+C 2=一 y-1； (3)当 C10 时，由式得综合(1)，(2) ，(3)便得原方程的通解【知识模块】 微分方程33 【正确答案】 应先用三角公式将自由项写成 e-x+e-xcos x，然后再用叠加原理用待定系数法求特解 对应的齐次方程的通解为 Y=(C 1cos x+C2sin x)
24、e-x为求原方程的一个特解，将自由项分成两项：e -x，e -xcos x，分别考虑 y“+2y+2y=e -x， 与 y“+2y+2y=e-xcos x 对于 ，令 y 1*=Ae-x，代入可求得 A=1，从而得 y1*=e-x 对于，令 y2*=xe-x(Bcos x+Csin x)，代入可求得 B=0， 由叠加原理，得原方程的通解为 y=Y+y1*+y2*=e-x(C1cos x+C2sin x)+e-x+ 其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微分方程34 【正确答案】 自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间(一，0)0，+)分成两个方程，分别求解由于 y“=y+e|x
25、|在 x=0 处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在 x=0 处拼接成二阶导数连续，便得原方程的通解当 x0 时，方程为 y“y=e x 求得通解 y=C 1ex+C2e-x+ 当 x0 时，方程为 y“ 一 y=e-x，求得通解 y=C 3ex+C4e-x- 因为原方程的解 y(x)在 x=0 处连续且 y(x)也连续，据此，有其中C1，C 2 为任意常数此 y 在 x=0 处连续且 y连续又因 y“=y+e|x|，所以在 x=0 处y“亦连续，即是通解【知识模块】 微分方程35 【正确答案】 将 代入式，注意到 f 中的变元实际是一元，所以最终有可能化为含有关于 f(u)的常微分方程代入题
26、中式，得 f(u)(1 一 u2)+2f(u)=u一 u3， 其中 且 u0由式 有初值条件是 u=2时 f=1微分方程的解应该是 u 的连续函数，由于初值条件给在 u=2 处，所以 f 的连续区间应是包含 u=2 在内的一个开区间 解式得通解再以f(2)=1 代入，得 C=一 3，从而得【知识模块】 微分方程36 【正确答案】 以 z=z(u，v)，u=x 一 2y，v=x+3y 代入式，得到 z(u，v)应满足的微分方程，也许这个方程能用常微分方程的办法解之代入式，化为它可以看成一个常微分方程(其中视 v 为常数) ，解得 其中 (v)为具有连续导数的 v 的任意函数再由 其中 (u)为具
27、有连续导数的 u 的任意函数，(v)为具有二阶连续导数的 v 的任意函数，其中 u=x一 2y，v=x+3y【知识模块】 微分方程37 【正确答案】 令 t=ex， y=f(t)得 y=f(t).ex=tf(t)， y“=(tf(t) x=exf(t)+tf“(t).ex=tf(t)+t2f“(t)，代入方程得 t2f“(t)+tf(t)-(2t+1)tf(t)+t2f(t)=t3，即 f“(t)一 2f(t)+f(t)=t解得f(t)=(C1+C2t)et+t+2，所以 y“-(2ex+1)y+e2xy=e3x 的通解为 y=(C 1+C2ex) +ex+2，其中 C1， C2 为任意常数【
28、知识模块】 微分方程38 【正确答案】 对应齐次方程 y“+y=0 的特征方程 r2+r=0 的特征根为 r=0 或 r=一 (1)当 0 时，y“+y=0 的通解为 y=C1+C2e-x 设原方程的特解形式为y*=x(Ax+B)，代人原方程，比较同次幂项的系数，解得 ，故原方程的通解为 y=C1+C2e-x+ 其中 C1，C 2 为任意常数 (2) 当 =0 时，y“=2x+1，积分两次得方程的通解为 其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微分方程39 【正确答案】 (2)齐次方程 y“+2y+5y=0 ;2+2+5=0;1,2=一 12iy 齐通 (t)=e-t(C1cos 2t+C
29、2sin 2t)，令 y*(t)=(at+b)et 代入得 a=2 ，b= 一 1，故 y 通 (t)=e-t(C1cos 2t+C2 sin 2t)+(2t 一1)et，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微分方程40 【正确答案】 (1)设曲线 L 过点 P(x，y)的切线方程为 Yy=y(X-x)令 X=0，则得该切线在 y 轴上的截距为 yxy【知识模块】 微分方程41 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Yy=y(x)(X-x)，它与x 轴的交点为 由于 y(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是注意到 y(0)=1，并由式得 y(0)=1由此可得 C1=1，C 2=0，故所求曲线的方程是y=ex【知识模块】 微分方程42 【正确答案】 由已知，有 y(0)=1，y(0)=0 ，y(2)=2 ，y(2)=1，代入 y(0)=1， y(0)=0y(2)=2，y(2)=1，得 k=2，C=0，有【知识模块】 微分方程
