1、考研数学二（微分方程）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 yy()为微分方程 2yd( 21)dy 0 满足初始条件 y(0)1 的解，则y()d为( )（A）ln3（B） ln3（C） ln3（D） ln32 微分方程 yy6y(1)e 2 的特解形式为( )（A）(ab)e 2（B） a2e2（C） (a2b)e 2（D） 2(ab)e 23 微分方程 y4y 2 的通解为( ) （A）(C 1C 2)e2（B） (C1C 2)e2 （C） C1e2 C 2e2 （D）C 1e2 C 2e2二、填空题4 设连续函数 f()满足 f
2、() 02f( )dte ，则 f()_5 微分方程(23)y4y的通解为_6 yy1y 2满足初始条件 y(0)1，y(0) 0 的解为_7 微分方程 y4y48 的通解为_8 设 yy()过原点，在原点处的切线平行于直线 y2 1，又 yy()满足微分方程 y6y9ye 3，则 y()_9 微分方程 2y3y 2 满足初始条件 y(2)1，y(2)1 的特解为_10 微分方程 y y( 0)的通解为_ 11 设二阶常系数非齐次线性微分方程 yyqyQ()有特解y3e 4 23 2，则 Q()_，该微分方程的通解为_12 以 yC 1e2 C 2ecos 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程
3、为_13 设 y3yay 5e 的特解形式为 Ae ，则其通解为 _14 设 f()可导，且 01f()f(t)dt 1，则 f()_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求微分方程 y4y4y0 的通解16 求微分方程 yy2y0 的通解17 设二阶常系数齐次线性微分方程以 y1e 2，y 22e 3e 2为特解，求该微分方程18 求微分方程 y2y3y(21)e 的通解19 求 y2ye 20 满足初始条件 y(0)1，y(0)1 的特解20 求微分方程 y4y4ye a的通解21 求微分方程 yy3cos 的通解22 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v t0 v
4、 0已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问为多少时此质点的速度为 ?并求到此时刻该质点所经过的路程23 设 f()在0，)上连续，且 f(0)0，设 f()在0，上的平均值等于 f(0)与f()的几何平均数，求 f()24 设曲线 L 位于 Oy平面的第一象限内， L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MAOA，且 L 经过点( )，求 L 的方程25 在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 z 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 轴平行26 一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正
5、比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为 r。的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 ，求全部融化需要的时间27 设 f()在0，1上连续且满足 f(0)1，f()f()a(1)yf()，0，1，y0 围成的平面区域绕 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f()28 设 f()在( 1，)内连续且 f() 0tf(t)dt1( 1)，求 f()29 求微分方程 y2y 的满足初始条件 y(0)1 的特解30 设位于第一卦限的曲线 yf()上任一点 P(，y)的切线在 轴上的截距等于该点法线在 y 轴上截距的相反数，且曲线经过点(1，0)，求该曲线31 求 yy 21 满足 y(0)y(0
6、) 0 的特解32 求微分方程 yy2y(21)e 2 的通解33 设 f()连续，且 f()4 0tf(t)dte ，求 f()考研数学二（微分方程）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 2yd (21)dy0 得 0，积分得 ln 2 1 lnylnC，从而 y ， 由 y(0)1 得 C1，于是 y， 故 ， 因此选 D【知识模块】 微分方程2 【正确答案】 C【试题解析】 因为原方程的特征方程的特征值为 12， 23，而2 为其中一个特征值，所以原方程的特解形式为 (ab)e 2 ，选 C【知识模块】
7、 微分方程3 【正确答案】 D【试题解析】 微分方程 y4y0 的特征方程为 240，特征值为2，2，则方程 y4y0 的通解为 C1e2 C 2e2显然方程 y4y2 有特解，选 D【知识模块】 微分方程二、填空题4 【正确答案】 2e 2e 【知识模块】 微分方程5 【正确答案】 y C136C 129C 1C 2【试题解析】 令 yp ，则 ，两边积分得 lnp ln(2 3)2lnC 1，或 yC 1(23) 2， 于是 y C136C 129C 1C 2【知识模块】 微分方程6 【正确答案】 lny 【试题解析】 令 yp ，则 YP 1p 2，即 ，解得 ln(1p 2)lny 2
8、lnC 1， 则 1p 2C 1y2，由 y(0)1，y(0)0 得 y ， InyC 2，由 y(0)1 得 C20，所以特解为 lny 【知识模块】 微分方程7 【正确答案】 yC 1cos2C 2sin2 2【试题解析】 微分方程两个特征值为 12i， 22i， 则微分方程的通解为yC 1cos2C 2sin2 2【知识模块】 微分方程8 【正确答案】 2e 3 2e3【试题解析】 由题意得 y(0)0，y(0) 2， y6y9ye 3的特征方程为2690，特征值为 1 23， 令 y6y 9ye 3的特解为 y0()a 2e3，代入得 a ， 故通解为 y(C 1C 2)e3 2e3
9、由 y(0)0，y(0)2 得 C10，C 22，则 y()2e 3 2e3【知识模块】 微分方程9 【正确答案】 【知识模块】 微分方程10 【正确答案】 arcsin lnC【试题解析】 由 y ，得 y ， 令 u，则 u，解得 arcsinulnC， 则原方程通解为arcsin ln C【知识模块】 微分方程11 【正确答案】 Q() 1223419；yC 1e4 C 2e3 232(其中C1，C 2 为任意常数 )【试题解析】 显然 4 是特征方程 2q0 的解，故 q12， 即特征方程为 2120，特征值为 14， 23 因为 332 为特征方程 yy12yQ()的一个特解， 所以
10、 Q()22312( 232)12 23419， 且通解为 yyC 1e4 C 2e3 232(其中 C1，C 2 为任意常数)【知识模块】 微分方程12 【正确答案】 yy2ysin3cos【试题解析】 特征值为 12， 21，特征方程为 220， 设所求的微分方程为 yy2yQ()，把 ycos 代入原方程，得 Q()sin 3cos，所求微分方程为 yy2ysin 3cos【知识模块】 微分方程13 【正确答案】 yC 1e C 2e4e 【试题解析】 因为方程有特解 Ae ，所以1 为特征值，即 (1) 23( 1)a0 a4，所以特征方程为 23 40 11， 24，齐次方程y3ya
11、y0 的通解为 yC 1e C 2e ，再把 Ae 代入原方程得 A1，原方程的通解为 yC 1e C 2e4e 【知识模块】 微分方程14 【正确答案】 e 【试题解析】 由 01f()f(t)dt 1 得 01f()dt 01f(t)d(t)1， 整理得 f() 0f(u)du 1，两边对 求导得 f() f()0，解得 f()Ce ，因为 f(0)1，所以 C1，故 f()e 【知识模块】 微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 特征方程为 24 40，特征值为 1 22，则原方程的通解为 y(C 1C 2)e2 【知识模块】 微分方程16 【正确答
12、案】 特征方程为 2 20，特征值为 则原方程的通解为【知识模块】 微分方程17 【正确答案】 因为 y1e 2，y 22e 3e 2为特解，所以 e2，e 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 11， 22，特征方程为( 1)(2)0即 220，所求的微分方程为 yy2y0【知识模块】 微分方程18 【正确答案】 特征方程为 22 30，特征值为 11， 23，则 y2y3y0 的通解为 yC 1eC 1e3 令原方程的特解为 y0(ab)e ，代入原方程得 ， 所以原方程的通解为 yC 1eC 2e3 (22)e 【知识模块】 微分方程19 【正确答案】 原方程化为 y2ye 2
13、特征方程为 220，特征值为10， 22， y2y0 的通解为 yC 1C 2e2 设方程 y2ye 2的特解为 y0Ae 2，代入原方程得 A ， 原方程的通解为 yC 1C 2e2 2 由y(0)1，y(0)1 得 解得 ， 故所求的特解为y 【知识模块】 微分方程20 【正确答案】 特征方程为 24 40，特征值为 1 22，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为 y(C 1C 2)e2 (1)当 a2 时，因为 a 不是特征值，所以设原方程的特解为 y0()Ae a，代入原方程得 A ，则原方程的通解为 y(C 1C 2)e2 ； (2)当 a2 时，因为 a2 为二重特征值，所以设原方
14、程的特解为 y0()A 2e2 ， 代入原方程得 A ，则原方程的通解为y(C 1C 2)e2 2e 2【知识模块】 微分方程21 【正确答案】 特征方程为 210，特征值为 1i， 2i， 方程 yy0 的通解为 yC 1cosC 2sin 对方程 yy 23，特解为 y1 21； 对方程 yycos，特解为 sin，原方程的特解为 21 sin， 则原方程的通解为 yC 1cosC 2sin 21 sin【知识模块】 微分方程22 【正确答案】 设 t 时刻质点运动的速度为 v(t)，阻力 Fma ，则有解此微分方程得 v(t)v 0et 由 v0et 得 tln3 ，从开始到tln3 的
15、时间内质点所经过的路程为 S 0ln3v0et dt v0【知识模块】 微分方程23 【正确答案】 根据题意得 ， 令 a ，则有 0f(t)dta ， 两边求导得 f() ， 即， 令 z ，则有 解得f() (C0)【知识模块】 微分方程24 【正确答案】 设点 M 的坐标为(，y)，则切线 MA：Yyy(X ) 令X0，则 Yyy ，故 A 点的坐标为(0，yy) 由MAOA，得yy 即 2yy y2 ，或者 ， 则 y2 ( C)， 因为曲线经过点( )，所以 C3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为 y(0 3)【知识模块】 微分方程25 【正确答案】 设所求曲线为 yy()，该曲线在
16、点 P(，y)的法线方程为 Yy (X)(y0) 令 Y0，得 Xyy，该点到 轴法线段 PQ 的长度为由题意得 ，即yy1y 2 令 yp，则 yp ，则有 yp 1p 2，或者， 两边积分得 yC 1 ， 由 y(1)1，y(1)0 得 C11，所以 y ， 变量分离得 d，两边积分得 ln(y ) C2， 由 y(1)1 得 C2 1， 所以 ln(y )(1)，即， 又 ，所以， 两式相加得 y ch(1)【知识模块】 微分方程26 【正确答案】 设 t 时刻雪堆的半径为 r，则有 2kr 2，V(t) r3，则， 于是有 rktC 0， 由 r(0)r 0，r(3) ，得C0r 0，
17、k ， 于是 r tr 0， 令 r0 得 t6，即 6 小时雪堆可以全部融化【知识模块】 微分方程27 【正确答案】 由 f()f() a(1)得 f()a(1)e 1d dCed Ce a， 由 f(0)1 得 C1，故 f()e a由 V(a)(2 )0得 a3，因为 V(a) 0，所以当 a3 时，旋转体的体积最小，故 f()e 3【知识模块】 微分方程28 【正确答案】 由 f() tf(t)dt1 得(1)f() 1tf(t)dt1， 两边求导得 f()(1)f() f()1， 整理得 f() ，解得由 f(0)1 得 C3，故 f() 【知识模块】 微分方程29 【正确答案】 由
18、一阶非齐线性微分通解公式得 y， 由 y(0)1 得 C1，故y( 1) 【知识模块】 微分方程30 【正确答案】 切线为 Yyy(X) ，令 Y 0 得 X ； 法线为Yy (X)，令 X0 得 Yy ， 由题意得 ，解得令 u ，代入得 u ，变量分离得，即积分得 ln(u21)arctanulnC， 初始条件代入得C0，所求曲线为 ln【知识模块】 微分方程31 【正确答案】 令 yp，则 yp ，代入得 p p 22y，整理得2dy，积分得 lnP 212ylnC 1，即 p21Ce 2y ， 由初始条件得 C 1，即 ，变量分离得， 积分得 ln(ey ) C2， 由初始条件得 C0
19、，从而 ey e ，解得 y 【知识模块】 微分方程32 【正确答案】 特征方程为 2 20，特征值为 11， 22， 令 yy2y(21)e (1) yy2y2 (2) 令(1)的特解为 y1(a 2b)e ，代入(1)得 ； 显然(2) 的一个特解为 y21， 故原方程通解为yC 1eC 2e2 ( )e1【知识模块】 微分方程33 【正确答案】 0tf( t)dt 0f(u)du 0uf(u)du，原方程两边求导得 f()4 0(u)due ，再求导得 f() 4f()e ， 解方程得 f()C 1e2 C 2e2 e， 由 f(0)1，f(0)1 得 C1 ，C 21， 故 f()【知识模块】 微分方程
