1、考研数学（数学三）模拟试卷 272 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 时，曲线 y=xsin 1/x( )（A）有且仅有水平渐近线（B）有且仅有铅直渐近线（C）既有水平渐近线，也有铅直渐近线（D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线2 当 x0 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量?( )（A）x 2（B） 1-cosx（C）（D）x-tanx3 设 f(x)在 x=0 处满足 f(0)=f(0)=f(n)(0)=0，f (n+1)(0)0，则( )（A）当 n 为偶数时，x=0 是 f(x)的极大值点（B）当 n 为偶数时
2、，x=0 是 f(x)的极小值点（C）当 n 为奇数时，x=0 是 f(x)的极大值点（D）当 n 为奇数时，x=0 是 f(x)的极小值点4 已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 f(0)=0， ，则在点 x=0 处f(x)( )（A）不可导（B）可导，且 f(0)0（C）取得极大值（D）取得极小值5 设 A 是 n 阶方阵，线性方程组 AX=0 有非零解，则线性非齐次方程组 ATX=b 对任意 b=(b1，b 2，b n)T( )（A）不可能有唯一解（B）必有无穷多解（C）无解（D）或有唯一解，或有无穷多解6 已知 a1=(-1，1，a，4) T，a 2=(-2，1，5，a) T
3、，a 3=(a，2，101) T 是四阶方阵 A 的属于三个不同特征值的特征向量，则 a 的取值为( )（A）a5（B） a-4（C） a-3（D）a-3 且 a-47 设 X，Y 是两个随机变量，且 PX1，Y1=4/9，PX1=PY1=5/9 ，则Pmin(X，Y)1=( ) 8 设(X 1，X 2，X n)为取自正态总体 XN( ， 2)的样本，则 2+2 的矩法估计量为( )二、填空题9 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)=1，则 f(2)=_10 设 f(x)=xex，则 f(n)(x)的极小值为 _11 设二元函数 z=xex+y+(x+
4、1)ln(1+y)，则 dz (1，0) =_12 设 ，其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是_13 设矩阵 A= ，且秩 r(A)=3，则 k=_14 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 09，若 Z=X-04，则 Y 与 Z 的相关系数为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 将函数 展开成 x 的幂级数，并求级数 的和16 现在甲工厂生产某商品，年销售量为 100 万件，每批生产需要增加准备费 1000元，而每件商品的年库存费为 005 元如果销售率是均匀的，且上一批售完，立即生产下一批，每批数量相同，问全年应组织几批生产使得生产准备费与库存费用之和为最小17
5、 已知函数 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明： ()存在 (0，1)，使得 f()=1-； () 存在两个不同的点 ， (0，1)，使得 f()f()=118 设函数 f(x)在0，1上连续， (0，1)内可导，且 32/31f(x)dx=f(x)，证明在(0 ，1)内存在一点，使 f(C)=0.19 设函数 f(x)在a，b上满足 af(x)b，f (x)q1，令 un=f(un-1)，n=1，2 ，3， ，u 0a，b，证明： (un+1-un)绝对收敛20 设向量组 a1，a 2，a 3 线性相关，向量组 a2，a 3，a 4 线性无关，问
6、： ()a 1 能否由a2，a 3，线性表出?证明你的结论 ()a 4 能否由 a1，a 2，a 3 铴线性表出? 证明你的结论21 设线性方程组 的系数矩阵为 A，三阶矩阵 B0，且 AB=0，试求 值22 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2)，Y N(0 ， 2)，求23 设随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从均值为 1、标准差(均方差)为 的正态分布，而 Y 服从标准正态分布试求随机变量 Z=2X-Y+3 的概率密度函数考研数学（数学三）模拟试卷 272 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 只有间
7、断点 x=0，有水平渐近线 y=1，应选(A)2 【正确答案】 D【试题解析】 当 x0 时，3 【正确答案】 D【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 利用极限的同号性可以判定 f(x)的正、负号：由 1-cosx0，有 f(x)0，即 f(x)在 x=0 取极小值，应选 (D)5 【正确答案】 A【试题解析】 因为 AX=0 有非零解，而 A 为 n 阶方阵，所以A =A T=0因此 r(AT)n于是线性非齐次方程组 ATX=b 在 r(ATb=r(A T)时有无穷多解；在r(AT b)r(A T)时无解故对任何 b，A TX=b 不可能有唯一解所以选 A6 【正确答案】 A【试题
8、解析】 因为 a1，a 2，a 3 是 A 的属于三个不同特征值的特征向量，所以它们必线性无关， 知其秩为 3 时a5故选(A)7 【正确答案】 C【试题解析】 Pmin(X，Y)1=PX1Y18 【正确答案】 D【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 2e 3【试题解析】 已知 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，f (x)=ef(x)，所以 f(x)在 x=2 的同一邻域内可导，即在该邻域内函数 f(x)二阶可导，且 f(x)=ef(x)=f(x)ef(x)=e2f(x) 于是 f(x)也在 x=2 的同一邻域内可导，即在该邻域内函数 f(x)三阶可导，且 f(x)= e2f(x)=2f
9、(x)e2f(x)=2e3f(x)，将 f(2)=1 代入可得 f(2)=2e310 【正确答案】 -(1/e n+1)【试题解析】 f(x)=xe x， f(n)x=(n+x)ex， f (n+1)x=(n+1+z)ex， f (n+2)x=(n+2+z)ex， 令f(n+1)(x)=0，解得 f(n)(x)的驻点 x=-(n+1)， 又 f(n+2)-(n+1)=n+2-(n+1)e-(n+1)=e-(n+1)0， 故 x=-(n+1)为 f(n)(x)的极小值点，f (n)-(n+1)=-(1/en+1)11 【正确答案】 2edx+(e+2)dy【试题解析】 因为 dz=ex+ydx+
10、xdex+y+ln(1+y)d(+1)+(x+1)dln(1+y) =ex+ydx+xex+yd(x+y)+ln(1+y)dx+ln(1+y)dx+(x+1)dy/1+y =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+(x+1)dy /1+y， 所以 dz (1，0) =edx+e(dx+ay)+2dy=2edx+(e+2)dy12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 -3【试题解析】 由题设，r(A)=3 ，则A=0，即则 r(A)=1，与已知矛盾，所以 k=-314 【正确答案】 0.9【试题解析】 本题考查相关系数的定义由题设，D(Z)=D(X)，cov(Z，
11、Y)=cov(X-04，Y)=E(X-0 4)-E(X-04)(Y-E(Y) =E(X-E(X)(Y-E(Y)=cov(X，Y)，因此三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 因为 f(x)简单，先求 f(x)的展开式，然后逐项积分得 f(x)的展开式16 【正确答案】 设批量为 q，总费用为 C，则成本函数为求得唯一临界点 q=5，并且 C(5)为最小值，即应分五批生产17 【正确答案】 18 【正确答案】 要对 f(x)在0 ，1上使用罗尔中值定理，问题在于证明 f(x)在0，1上有两个等值点由积分中值定理，从而 f(x0)=f(0)，又由罗尔中值定理，1
12、9 【正确答案】 20 【正确答案】 (1)a 1 能由 a2，a 3 线性表示 因为已知 a2，a 3，a 4 线性无关，所以a2，a 3 线性无关，又因为 a1，a 2，a 3 线性表出， 设 a4=k1a1+k2a2+k3a3，由(1)知，可设 a1=2a2+3a3， 那么代入上式整理得 a4=(k12+k2)a2+(k13+k3)a3 即 a4 可以由a2，a 3 线性表出，从而 a2，a 3，a 4 线性相关，这与已知矛盾 因此，a 4 不能由a1，a 2，a 3 线性表出21 【正确答案】 设 B=(1， 2， 3)，其 i(i=1，2，3)为三维列向量， 由于 B0，所以至少有一个非零的列向量，不妨设 10， 由于 AB=A(1， 2， 3)=(A1，A 2，A 3)=0， A1=0，即 1 为齐次线性方程组 AX=0 的非零解，于是系数矩阵的列阵的行列式必为零，即A= =5(-1)=0，解得 =122 【正确答案】 23 【正确答案】 由于独立的正态变量 X 与 Y 的线性组合仍服从正态分布，且 EZ=2EX-EY+3=5DZ=4DX+DY=9因此 Z 的概率密度函数为
