1、考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1998 年) 已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 且当x0 时， 是 x 的高阶无穷小，y(0)=，则 y(1)等于( )（A）2（B） （C）（D）2 (2016 年) 若 是微分方程y+p(x)y=q(x)的两个解，则 q(x)=( )（A）3x(1+x 2)（B）一 3x(1+x2)（C）（D）3 (2008 年) 在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是( )（A）y“+y“一
2、4y一 4y=0（B） y“+y“+4y+4y=0（C） y“一 y“一 4y+4y=0（D）y“一 y“+4y一 4y=04 (2015 年) 设 是二阶常系数非齐次线性微分方程y“+ay+by=cex 的一个特解，则( )（A）a= 一 3，b=2，c=一 1（B） a=3，b=2，c=一 1（C） a=一 3，b=2，c=1（D）a=3 ，b=2，c=1二、填空题5 (2006 年) 微分方程 的通解是_。6 (2008 年) 微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y=_。7 (2014 年) 微分方程 xy+y(lnxlny)=0 满足 y(1)=e3 的解为 y=_
3、。8 (2005 年) 微分方程 xy+2y=zlnx 满足 的解为_。9 (2011 年) 微分方程 y+y=e-xcosx 满足条件 y(0)=0 的解为 y=_。10 (2000 年)微分方程 xy“+3y=0 的通解为_。11 (2002 年) 微分方程 xy“+y2=0 满足初始条件 的特解是_。12 (1999 年)y“一 4y=e2x 的通解为 y=_。13 (2001 年) 设 y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C 2 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_。14 (2007 年) 二阶常系数非齐次线性方程 y“一 4y+3y=2e2x 的通
4、解为y=_。15 (2009 年) 若二阶常系数齐次线性微分方程 y“+ay+by=0 的通解为 y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程 y“+ay+by=x 满足条件 y(0)=2，y(0)=0 的解为 y=_。16 (2012 年) 若函数 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)一 2f(x)=0 及 f(x)+f(z)=2ex，则 f(x)=_。17 (2016 年) 设函数 f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)zy 2=x2f(xz，y)确定，则dz|(01) =_。18 (2017 年)微分方程 y“+2y+3y=0 的通解为_。19 (2013 年) 已知 y1=e3
5、xxe2x，y 2=ex 一 xe2x，y 3=一 xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为 y=_。20 (2004 年) 欧拉方程 的通解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 (2010 年) 求微分方程 y“一 3y+2y=2xex 的通解。22 (2003 年) 设函数 y=y(x)在(一 ，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数。 (I)试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为y=y(z)满足的微分方程； ()求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，的解。23 (2006 年) 设函数 f(u)在
6、 (0，+)内具有二阶导数，且 满足等式(I)验证 ()若 f(1)=0，f(1)=1，求函数 f(u)的表达式。24 (2012 年) 已知曲线 L： 其中函数 f(t)具有连续导数，且 f(0)=0， 若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为 1，求函数 f(t)的表达式，并求以曲线 L 及 x 轴和 y 轴为边界的区域的面积。25 (2014 年) 设函数 f(u)具有二阶连续导数， z=f(excosy)满足 =(4z+excosy)e2x。若 f(0)=0，f(0)=0，求 f(u)的表达式。26 (2015 年) 设函数 f(x)在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的
7、x0I，由线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线与直线 x=x0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且 f(0)=2，求 f(x)的表达式。27 (1999 年) 设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y(x) 0，y(0)=1。过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1 一S2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程。28 (1998 年)从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)
8、 与下沉速度 v 之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k0)。试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v)。29 (2004 年) 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下来。 现有一质量为 9 000 kg的飞机，着陆时的水平速度为 700 kmh。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=6010 6)。问从着陆点算起
9、，飞机滑行的最长距离是多少? 注：kg 表示千克，kmh 表示千米小时。考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 令x0，得 是x 的高阶无穷小，则 即 分离变量，得 两边积分，得 ln|y|=arctanx+C，即y=C1earctanx。代入初始条件 y(0)=，得 C1=。 所以 y=earctanx，【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 A【试题解析】 分别将 代入微分方程 y+p(x)y=q(x)，两式作差，可得 两式作和，并且将代入，可得 q(x)=3x(1+x2)
10、。【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 D【试题解析】 由 y=C 1ex+C2cos2x+C3 sin2x， 可知其特征根为 1=1， 2,3=2i， 故对应的特征方程为 ( 一 1)(+2i)( 一 2i)=( 一 1)(2+4) =3+4 一 2 一 4=3 一2+44， 所以所求微分方程为 y“一 y“+4y一 4y=0。 应选 D。【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 A【试题解析】 由方程的右端可知， 为二阶常系数齐次微分方程y“+ay+by=0 的解，所以 2，1 为特征方程 r2+ar+b=0 的根，从而 a=一(1+2)=一3，b=12=2，原方程变为 y“一 3y+
11、2y=cex。 又由题意可知 y=xex 是原方程的一个特解。 再将特解 y=xex 代入得 c 一 1。故选 A。【知识模块】 常微分方程二、填空题5 【正确答案】 y=Cxe -x(x0)，其中 C 为任意常数【试题解析】 分离变量， 【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 【试题解析】 两边积分，得 ln|y|=一 ln|x|+C。代入条件 y(1)=1，得 C=0，所以【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 ze 2x+1【试题解析】 方程的标准形式为 这是一个齐次方程，设原方程化为 u+xu=ulnu，分离变量解方程，得到通解为y=xeCx+1，将初始条件 y(1)=e3 代入，
12、可得 C=2，因此特解为 y=xe2x+1。【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 【试题解析】 原方程等价为 于是通解为 由 得 C=0，故所求解为 【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 e -xsinx【试题解析】 原方程的通解为 由y(0)=0，得 C=0，故所求解为 y=e-xsinx。【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 【试题解析】 令 p=y，有 原方程化为： 分离变量 两端积分 记 C2=eC1 是大于零的任意常数，上式可写成 便得方程的通解 p=C3x-3，即 其中 C3 是任意常数。 对上式再积分，得： 所以原方程的通解为【知识模块】 常微分方程11 【正确答案
13、】 【试题解析】 方法一：令 y=P(y)，则 代入原方程得即 (当 P=0 时，其不满足初始条件 )。分离变量得 积分得 ln|P|+ln|y|=C1，即 由 x=0，有 y=1，2ydy=dx，积分得 y2=x+C2。 又由y|x=0=1 得 C2=1，因此所求特解为 方法二：将 yy“+y2=0 改写为(yy)=0，从而得 yy=C1。把初始条件 y(0)=1, 代入，有 所以得 即 2yy=1，改写为(y 2)=1。解得 y2=x+C2，y= 再代入初值， 所以应取“+”且 C2=1。于是特解【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 原方程
14、对应齐次方程 y“一 4y=0 的特征方程为： 2 一 4=0，解得1=2， 2=一 2，故 y“一 4y=0 的通解为 y1=C1e-2x+C2e2x，由于非齐次项为 f(x)=e2x，因此原方程的特解可设为 y*=Axe2x，代入原方程可求得 故所求通解为 【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 y“一 2y+2y=0【试题解析】 因为二阶常系数线性齐次微分方程 y“+py+qy=0 的通解为y=ex(C1sinx+C2cosx)时，则特征方程 r2+pr+q=0 对应的两个根为一对共轭复根：1,2=i，所以根据题设 y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1， C2 为任意常数)为
15、某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，知：=1，=1，特征根为 1,2=一 1i，从而对应的特征方程为 一(1+i) 一(1 一 i)=2 一 2+2=0， 于是所求二阶常系数线性齐次微分方程为 y“一 2y+2y=0。【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 C 1ex+C2e3x 一 2e2x，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 特征方程为 2 一 4+3=0， 解得 1=1， 2=3。 可见对应齐次线性微分方程 y“一 4y+3y=0 的通解为 y=C 1ex+C2 e3x。 设非齐次线性微分方程 y“一4y+3y=2e2x 的特解为 y *=ke2x 代入非齐次方程可得 k=一
16、 2，故通解为 y=C1ex+C2e3x 一 2e2x。【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 x(1 一 ex)+2【试题解析】 由 y“+ay+by=0 的通解为 y=(C1+C2x)ex 可知，y 1=ex，y 2=xex 为其线性无关解。因此 =1 是其特征方程 2+a+b=0 的根，从而 a=一 2，b=1。 微分方程为 y“一 2y+y=x。设特解 y*=Ax+B，可得一 2A+Ax+B=x，故 A=1，一2+B=0，B=2，故特解 y*=x+2，且 y=(C1+C2x)ex+x+2。把 y(0)=2，y(0)=0 代入，得 C1=0，C 2=一 1。 因此所求为 y=x(1
17、一 ex)+2。【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 e x【试题解析】 特征方程为 r2+r 一 2=0，特征根为 r1=1，r 2=一 2，齐次微分方程f“(x)+f(x)一 2f(x)=0 的通解为 f(x)=C1ex+C2e-2x。再由 f(x)+f(x)=2ex 得 2C1ex 一 C2e-2x=2ex，可知 C1=1，C 2=0。故 f(x)=ex。【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 2dy 一 dx【试题解析】 当 x=0，y=1 时，z=1。由一阶微分形式不变性可得 zdx+(x+1)dz 一2ydy=2xf(xz，y)dx+x 2f1(xz，y)(dxdz)+x
18、 2f2(xz，y)dy，将 x=0，y=1，z=1代入上式得 dx+dz 一 2dy=0，所以 dz|(0,1)=2dydx。【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 微分方程 y“+2y+3y=0 的特征方程为 2+2+3=0，解得所以通解为 其中 C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 C 1e3x+C2ex 一 xe2x，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 显然 y1 一 y3=e3x 和 y2 一 y3=ex 是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，且 y*=一 xe2x 是非齐次微分方程
19、的一个特解。由解的结构定理可知，该方程的通解为 y=C 1e3x+C2e2 一 xe2x，其中 C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 令 x=et，有 则 代入原方程整理得 此式为二阶齐次线性微分方程，对应的特征方程为 r2+3r+2=0，所以特征根为 r1=一 1，r 2=一 2，通解为 y=C2e-t+C2e-2t。 又因为x=et，所以 代入上式得【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 齐次方程 y“一 3y+2y=0 的特征方程为 r2 一 3r+2=0，由
20、此得r1=2，r 2=1，对应齐次方程的通解为 Y=C1e2x+C2ex。 设非齐次方程的特解为 y*=(ax+b)xex， 则 y *=ax2+(2a+b)x+bex， y *“=ax2+(4a+b)x+2a+2bex， 代入原方程得 a=一 1，b=一 2，从而所求解为 y=C 1e2x+C2ex 一 x(x+2)ex，其中 C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 (I)将题中的 变换成以 x 为自变量 y 为因变量的导数来表示(即通常所说的反函数变量变换)，有 代入原方程，得 y“一 y=sinx。 (*) ()方程(*)所对应的齐次方程为 y“一 y=0，
21、特征方程为 r2 一 1=0，根 r1,2=1，因此通解为 Y=C1 ex+C2e-x。 设方程(*)的特解为y*=Acosx+Bsinx，则 y *=一 Asinx+Bcosx，y *“=一 AcosxBsinx，代入方程(*)，得 一 Acosx 一 BsinxAcosx 一 Bsinx=一 2Acosx 一 2Bsinx=sinx，解得 A=0，从而 y“一 y=sinx 的通解为 由 y(0)=0， 得 C1=1，C 2=一 1。故变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)= 的解为 且 y(x)的导函数 满足题设 y0 条件。【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 (I
22、)设 则 ()令 f(u)=p，则 两边积分得 lnp= 一 lnu+lnC1，即亦即 由 f(1)=1 可得 C1=1。所以有 两边积分得f(u)=lnu+C2。 由 f(1)=0，可得 C2=0，故 f(u)=lnu，u0。【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 曲线 L 在任一点(x，y)的切线斜率为 过该点的切线为 令 y=0，得 X=f(t)cott+f(t)。由于曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为 1。故有 f(t)cott+f(t)一 f(t)2+cos2t=1，又因为所以 两边同时取不定积分可得 f(t)=ln|sect+tant|sint+C，又由于 f(0
23、)=0，所以 C=0。故函数 f(t)=In|sect+tant|sint。 曲线 L 与 x 轴和 y 轴所围成的无界区域的面积为 【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 设 u=excosy，则 z=f(u)=f(excosy)，对其求导得 由已知条件 可知 f“(u)=4f(u)+u。这是一个二阶常系数非齐次线性方程。对应齐次方程的通解为 f(u)=C1e2u+C2e-2u，其中 C1，C 2 为任意常数，对应非齐次方程特解为 故非齐次方程通解为 将初始条件 f(0)=0，f(0)=0 代入，可得所以 f(u)的表达式为 【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 先写出切线方程：y
24、=f(x 0)(xx0)+f(x0)，令 y=0，则可以得到 所以(x 0，0)到切线与 x 轴交点的距离为(x0，0)与切点距离为 f(x0)，可以得到切线与 x=x0，x 轴所围成的直角三角形面积为 整理得微分方程 f2(x0)=8f(x0)，解该微分方程得 又因为 f(0)=2，可以计算出【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 如图，曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Yy(x)=y(x)(Xx)，所以切线与 x 轴的交点为 由于 y(x)0，y(0)=1，因此 y(x)0(x0)，于是 根据题设 2S1 一 S2=1，即两边对 x 求导并化简得 yy“=(y)2，这
25、是可降阶得二阶常微分方程，令 p=y，则 则上述方程可化为分离变量得 解得 p=C1y,即 从而有 y=e C1x+C2 根据y(0)=1，y(0)=1，可得 C1=1，C 2=0，故所求曲线得方程为 y=ex。【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 先建立坐标系，取沉放点为原点 O，铅直向下作为 Oy 轴正向，探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用，其中重力大小：mg ，浮力的大小：F 浮 =B；阻力：一 kv，则由牛顿第二定律得 再根据初始条件 v|y=0=0，即 故所求y 与 v 函数关系为 【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 方法一：由题设，飞机的质量 m=9 000 kg，着陆时的水平速度v0=700 km h。从飞机接触跑道开始记时，设 t 时刻飞机的滑行距离为 x(t)，速度为 v(t)。 由牛顿第二定律，得 综合以上两式可得 积分得 又 v(0)=v0，x(0)=0 ，故得从而 当 v(t)0 时， 因此，飞机滑行的最长距离为 105 km 。 方法二：根据牛顿第二定律，有 所以 两端积分得通解代入初始条件 解得 C=v0，故 飞机滑行的最长距离为 或由知 所以最长距离为：当 t时，x(t) =105(km)。 方法三：根据牛顿第二定律，得其特征方程为 解之得 1=0，因此，飞机滑行的最长距离为 105 km。【知识模块】 常微分方程
