1、考研数学一（常微分方程）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 y+y+y= 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )2 方程(3+2y)xdx+(x 2-2)dy=0 的类型是 ( )（A）只属于可分离变量型（B）属于齐次型方程（C）只属于全微分方程（D）兼属可分离变量型、一阶线性方程和全微分方程3 微分方程 y+2y+y=shx 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（A）ashx（B） achx（C） ax2e-x+bex（D）axe -x+bex4 设 f(x)连续，且满足 ，则 f(x)= (
2、)（A）e xin 2（B） e2xln2（C） ex+ln2（D）e 2x+ln25 设 f(x)，f(x)为已知的连续函数，则方程 y+f(x)y=f(x)f(x)的通解是( )（A）y=f(x)+Ce -f(x)（B） y=f(x)+1+Ce-f(x)（C） y=f(x)-C+Ce-f(x)（D）y=f(x)-1+Ce -f(x)6 方程 y(4)-2y-3y=e-3x-2e-x+x 的特解形式(其中 a，b，c ，d 为常数)是 ( )（A）axe -3x+bxe-x+cx3（B） ae-3x+bxe-x+cx+d（C） ae-3x+bxe-x+cx3+dx2（D）axe -3x+be
3、-x+cx3+dx7 已知 y1=xex+e2x 和 y2=xex+e-x 是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )（A）y-2y+y=e 2x（B） y-y-2y=xex（C） y-y-2y=ex-2xex（D）y-y=e 2x二、填空题8 以 y=cos2x+sin2x 为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是_9 微分方程(1-x 2)y-xy=0 满足初值条件 y(1)=1 的特解是_10 微分方程 的通解为_11 微分方程 y-2y=x2+e2x+1 的待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是_12 特征根为 r1=0， 的特征方程所对应的三阶常系数线性齐次微分方
4、程为_13 已知 ，则 f(x)=_14 微分方程 的通解是_15 以 y=7e3x+2x 为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 求微分方程 的通解17 求微分方程 y+2y+2y=2e-xcos2 的通解18 求方程 的通解19 求 y-y=ex 的通解20 设函数 f(u)有连续的一阶导数 f(2)=1，且函数 满足求 z的表达式21 设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(z-2y，x+3y)满足求z=z(u，v) 的一般表达式22 利用变换 y=f(ex)求微分方程 y-(2ex+1)y+e2xy=e3x 的通解2
5、3 用 x=el 化简微分方程24 求解25 求解微分方程25 设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点26 试求曲线 L 的方程；27 求 L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积最小28 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及到 z 轴的垂线，上述两直线与 z 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1-S2 恒为1，求此曲线
6、y=y(x)的方程29 位于上半平面向上凹的曲线 y=y(x)在点(0，1)处的切线斜率为 0，在点(2 ，2)处的切线斜率为 1已知曲线上任一点处的曲率半径与 及(1+y 2)的乘积成正比，求该曲线方程考研数学一（常微分方程）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程 r2+r+1=0，特征根为，r 1,2=是特征根，所以特解的形式为【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 D【试题解析】 原方程关于 x 和 y 不齐次但极易分离变量，也可化为 y 的一阶线性方程又满足全微分方程条件 Py=2x=Qx故选
7、项(A)，(B)，(C) 均不正确，而(D)正确【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程为 r2+2r+1=0，r=-1 为二重特征根，而，故特解为 y*=ax2e-x+bex【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 B【试题解析】 原方程求导得 f(x)=2f(x)，即 ，积分得 f(x)=Ce2x，又 f(0)=ln2，故 C=ln2，从而 f(x)=e2xln2【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 D【试题解析】 由一阶线性方程的通解公式得 y=e -f(x)dxC+f(x)f(x)ef(x)dx =e-f(x)C+f(x)def(x)=Ce-f(x)+f(
8、x)-1，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程 r2(r2-2r-3)=0，特征根为 r1=3，r 2=-1，r 3=r4=0，对于f1=e， 1=-3 非特征根，y* 1=ae-3x；对于 f2=-2e-x， 2=-1 是特征根，y* 2=bxe-x；对于f3=x， 3=0 是二重特征根，y* 3=x2(cx+d)，所以特解 y*=y*1+y*2+y*3=ae-3x+bxe-x+cx3+dx2【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 C【试题解析】 非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解，由 y1-y2=e2x-e-x 及解的结构定理知对
9、应齐次方程通解为 y=C1e2x+C2e-x，故特征根 r1=2，r 2=-1对应齐次线性方程为 y-y-2y=0 再由特解 y*=xex 知非齐次项 f(x)=y*-y*-2y*=ex-2xex，于是所求方程为 y-y-2y=ex-2xex【知识模块】 常微分方程二、填空题8 【正确答案】 y+4y=0【试题解析】 由特解 y=cos2x+sin2x 知特征根为 r1,2=2i，特征方程是 r2+4=0，其对应方程即 y+4y=0【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 【试题解析】 原方程化为 积分得通解由初值 y(1)=1 解出 C= 得特解【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 ，
10、其中 C1，C 2为任意常数【试题解析】 【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 y*=x(Ax 2+Bx+C)+Dxe2x【试题解析】 特征方程为 r2-2r=0，特征根 r1=0，r 2=2 对 f1=x2+1， 1=0 是特征根，所以 y*1=x(Ax2+Bx+C) 对 f2=e2x， 2=2 也是特征根，故有 y*2=Dxe2x从而y*如上【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 【试题解析】 特征方程为即 r3-r2+ =0其相应的微分方程即所答方程【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 Cx+2 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 将所给方程两边同乘以 x，得 令u=tx
11、，则上式变为 两边对 x 求导得用线性方程通解公式计算即得 f(x)=Cx+2，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 y=C 1x5+C2x3+C3x2+C4x+C5，其中 C1，C 2，C 3，C 4，C 5 为任意常数【试题解析】 令 u= 则方程降阶为 u 的一阶方程，积分四次即得上述通解【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 y-3y=0【试题解析】 由特解 y=7e3x+2x 知特征根为 r1=3， r2=r3=0(二重根)特征方程为 r3-3r2=0，相应齐次线性方程即为 y-3y=0【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
12、步骤。16 【正确答案】 这是 y=f(y，y)型的可降阶二阶方程，按典型步骤去做即可令y=p，有 ，原方程化为以下进行讨论y0 显然是原方程的一个解以下设 y0，于是式可改写为当 C10 时，由式得 当C1=0 时，由式得 x+C 2=-y-1；当 C10 时，由式 得x+C 2=综上即得原方程的通解【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 应先用三角公式将自由项写成 e-x+e-xcosx，然后再用叠加原理用待定系数法求特解 对应的齐次方程的通解为 y=(C 1cosx+C2sinx)e-x为求原方程的一个特解，将自由项分成两项：e -x -，e -xcosx，分别考虑 y+2y+2y=
13、e -x， 与 y+2y+2y=e-xcosx 对于，令 y* 1=Ae-x，代入可求得 A=1，从而得 y*1=e-x 对于，令 y* 2=xe-x(Bcosx+Csinx)，代入可求得 B=0，C= 由叠加原理，得原方程的通解为 y=Y+y*1+y*2=e-x(C1cosx+C2sinx)+e-x+ xe-xsinx，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 此为欧拉方程，按解欧拉方程的办法解之设 x0，令 x=et，有t=lnx，经计算化原方程为 得通解为设 x0，令 x=-u，原方程化为 y 关于 u 的方程合并两种情形得原方程的通解为【知识模块】 常微
14、分方程19 【正确答案】 自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间(-，0)0，+)分成两个方程，分别求解由于 y=y+ex 在 x=0 处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在 x=0 处拼接成二阶导数连续，便得原方程的通解当 x0 时，方程为 y-y=e x，求得通解 当 x0 时，方程为 y-y=e -x，求得通解 因为原方程的解 y(x)在 x=0 处连续且y(x)也连续，据此，有此 y 在 x=0 处连续且 y连续又因 y=y+ex ，所以在 x=0 处 y亦连续，即是通解【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 将 z= 代入式 ，注意到厂中的变元实际是一元，所以最终有可能
15、化为含有关于 f(u)的常微分方程代入题中式，得 f(u)(1-u 2)+2f(u)=u-u3， 其中 f(u)=u，当 u1 初值条件是 u=2 时 f=1微分方程的解应该是 u 的连续函数，由于初值条件给在 u=2 处，所以 f 的连续区间应是包含 u=2 在内的一个开区间解式得通解再以 f(2)=1 代入，得 C=-3，从而得【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 以 z=z(u，v)，u-x-2y，v=x+3y 代入式，得到 z(u，v)应该满足的微分方程，也许这个方程能用常微分方程的办法解之它可以看成一个常微分方程(其中视 v 为常数)，解得 ，其中 (v)为具有连续导数的 v
16、的任意函数再由其中 (u)为具有连续导数的 u 的任意函数，(v) 为具有二阶连续导数的 v 的任意函数，其中 u=x-2y，v=x+3y【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 令 t=ex， y=f(t) y=f(t).ex=tf(t)，y=tf(t) x=exf(t)+tf(t).ex=tf(t)+t2f(t)，代入方程得 t2f(t)+tf(t)-(2t+1)tf(t)+t2f(t)=t3，即 f(t)-2f(t)+f(t)=t解得 f(t)=(C+C2t)et+t+2，所以 y-(2ex+1)y+e2xy=e3x 的通解为 y=(C1+C2ex) +ex+2，其中C1，C 2 为任
17、意常数【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 本题考查在已有提示下化简微分方程、二阶常系数线性微分方程的求解，是一道具有一定计算量的综合题【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 齐次方程 y+2y+5y=0=e-t(C1cos2t+C2sin2t) 令 y*(t)=(at+b)et，代入，得 a=2，b=-1 故 y 通 (t)=e-t(C1cos2t+C2sin2t)+(2t-1)et，其中C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 欲求解的方程是欧拉方程，令 1+x=et，则由复合函数的求导法则有 把它们代入原方程，则原方程化为常系数线性齐次微分方程 其特征
18、方程为 r3-6r2+11r-6=0，特征根 r1=1，r 2=2，r 3=3，则 y(t)=C1et+C2e2t+C3e3t因 1+x=et，故原方程的通解为 y(x)=C1(1+x)+C2(1+x)2+C3(1+x)3【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 设曲线 L 过点 P(x，y)的切线方程为 Y-Y=y(X-x)令 X=0，则得该切线在 y 轴上的截距为 y-xy由题设知由 L经过点 于是 L 方程为【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 设第一象限内曲线 y= -x2 在点 P(x，y)处的切线方程为令 S(x)=0，解得 当 0x内的唯一极小值点
19、，即最小值点，于是所求切线为 Y= 即【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Y-y=y(x)(X-x)，它与 x轴的交点为 N 由于 y(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是两边对 x 求导得 ，即 yy=(y)2令 p=y，则上述方程可化为 注意到 y(0)=1，并由 式得 y(0)=1由此可得 C1=1，C 2=0，故所求曲线的方程是 y=ex【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 由已知，有 y(0)=1，y(0)=0 ，y(2)=2 ，y(2)=1 ，又即 (因为曲线向上凹，所以，y 0)令 y=p，y=pp，有代入 y(0)=1， y(0)=0，y(2)=2，y(2)=1，得 k=2， C=0，有代入 y(0)=1，C 1=0，即【知识模块】 常微分方程
