1、考研数学一（常微分方程）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 =cosy+x，y 2dx 一(y 2+2xy 一 y)dy=0 中，属于一阶线性微分方程的是( )（A）。（B） 。（C） 。（D）均不是。2 已知微分方程 y“一 4y+4y=0，函数 C，C2xe 2x(C1，C 2 为任意常数) 为( )（A）方程的通解。（B）方程的特解。（C）非方程的解。（D）是解，但不是通解也不是特解。3 设 1(x)， 2(x)， 3(x)为二阶非齐次线性方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关的解，则该方程的通解
2、为( )（A）C 11(x)+2(x)+C23(x)。（B） C11(x)一 2(x)+C23(x)。（C） C11(x)+2(x)+C21(x)一 3(x)。（D）C 11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C1+C2+C3=1。4 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex，则该微分方程为( )（A）y“一 y“一 y+y=0。（B） y“+y“一 y一 y=0。（C） y“一 6y“+11y一 6y=0。（D）y“一 2y“一 y+2y=0。5 如果 y=cos2x 是微分方程 y+P(x)y=0 的一个特解，则该方程满足初始条件 y(0)
3、=2的特解为( )（A）y=eos2x+2。（B） y=cos2x+1。（C） y=2cosx。（D）y=2cos2x。6 设 y=y(x)是二阶线性常系数非齐次微分方程 y“+Py+Qy=3e2x 满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则极限 =( )7 方程 y“+2y“=x2+xe-2x 的特解形式为( )。（A）y=ax 2+bx+c+x(dx+e)e-2x。（B） y=x2(ax2+bx+c)+x2e-2x。（C） y=(ax2+bx+c)+(dx+e)e-2x。（D）y=x 2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e-2x。二、填空题8 设 y=ex(C1sinx+C2cos
4、x)(C1，C 2 为任意常数) 为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_。9 微分方程 y“一 y一 2y=e2x 的通解为一_。10 微分方程 y+y=e-xcosx 满足条件 y(0)=0 的解为 y=_。11 微分方程 y“一 2y+2y=ex 的通解为_ 。12 设 y=y(x)可导， y(0)=2，令 y=y(x+x)一 y(x)，且 y= x+，其中 是当x0 时的无穷小量，则 y(x)=_。13 设 y(x)为微分方程 y“一 4y+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解，则01y(x)dx=_。14 方程(xy 2+x)dx+(yx2y)dy=0
5、 的通解是_。15 微分方程 yy“+(y)2=0 满足条件 y(0)=1，y(0)= 的解是_。16 微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为 y=_。17 设连续函数 f(x)满足 f(x)=02xf( )dt+ex，则 f(x)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设单位质点在水平面内做直线运动，初速度 v t=0=v0。已知阻力与速度成正比(比例常数为 1)，问 t 为多少时，此质点的速度为 ，并求到此时刻该质点所经过的路程。19 已知 y1=xex+e2x，y 2=xex 一 e-x，y 3=xex+e2x+e-x 为某二阶线性常系数非齐次微分方程的特解，
6、求此微分方程。20 求解二阶微分方程满足初始条件的特解21 设 f(x)连续，且满足 0xf(t)dt=x+0xtf(x 一 t)dt，求 f(x)。22 设函数 y=y(x)在( 一，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y) 是 y=y(x)的反函数。()试将 x=x(y)所满足的微分方程 =0 变换为 y=y(x)满足的微分方程； () 求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)= 的解。23 设函数 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(exsiny)满足 =e2xz，求 f(u)。24 设有连接两点 A(0，1)与 B(1，0)且位于弦 AB 上方的一条上凸的曲线，P(x
7、 ，y)为曲线上任一点。已知曲线与弦 AP 之间的面积为 P 点横坐标的立方，求曲线方程。25 求微分方程 xy“+3y=0 的通解。26 设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0 ，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)。27 设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 ，且此曲线上点(0，1) 处的切线方程为 y=x+1，求该曲线方程。28 设函数 f(x)，g(x) 满足 f(x)=g(x)，g(x)=2e x 一 f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2，试求。考研数学一（常微分方程）模拟试卷 15 答案与解析
8、一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 可直接观察出方程不是一阶线性微分方程。对于方程 ，将其变形为 将 x 看成未知函数，y 为自变量，则该方程就是一阶线性微分方程。故应选 C。【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)=C1C2xe2x，C 1、C 2 为任意常数，将 f(x)，f(x) 及 f“(x)代入已知微分方程，经计算，满足方程 y“一 4y+4y=0，故 C1C2xe2x 是方程的解，因为含有任意常数，所以不是特解，又因为 C1C2 实质上是一个任意常数，而方程是二阶微分方程，由通解的结构知应含有
9、两个任意常数，故 C1C2xe2x 不是通解，故选D。【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1(x)， 2(x)， 3(x)为方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以 1(x)一 3(x)， 2(x)一 3(x)为所对应齐次方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=0 的两个线性无关解。根据非齐次线性方程通解的结构，方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的通解为 C 11(x)一 3(x)+C22(x)一 3(x)+3(x)， 即 C11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C3=1 一 C1C2 或 C1+C2+C3=1，故
10、选 D。【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 B【试题解析】 由三个特解的形式知 1，2，3 =一 1，一 1，1 为所求齐次线性微分方程对应特征方程的 3 个根，即(+1) 2( 一 1)=3+2 一 一 1。因此微分方程形式为y“+y“一 y一 y=0，应选 B。【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 y=cos2x 是微分方程 y+P(x)y=0 的一个特解。将其代入微分方程，得 一 2sin2x+P(x)cos2x=0，所以得 P(x)=2tan2x。则原微分方程为 y+2tan2xy=0，这是一个变量可分离的微分方程，分离变量得 =一2tan2xdx，等式
11、两边积分，得 =一 2tan2xdx，即 lny=ln cos2x+lnC，于是得 y=Ccos2x。由 y(0)=2，得 C=2故所求特解为 y=2cos2x。【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 B【试题解析】 在微分方程 y“+Py+Qy=3e2x 中，取 x=0 得 y“(0)+Py(0)+Qy(0)=3，由已知条件 y(0)=y(0)=0，得 y“(0)=3。 则由等价无穷小代换及洛必达法则故选 B。【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 D【试题解析】 原方程对应的齐次微分方程 y“+2y“=0 的特征方程为 3+22=0。 其特征根为 =0，=一 2，因此方程 y“+2y“
12、=x2 特解的形式为 x2(ax2+bx+c)，方程 y“+2y“=xe-2x 特解的形式为 xe-2x(dx+e)，由叠加原理可知方程 y“+2y“=x2+xe-2x 的特解形 式为 y=x 2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e-2x， 故选 D。【知识模块】 常微分方程二、填空题8 【正确答案】 y“一 2y+2y=0【试题解析】 由 y=ex(C1sinx+C2cosx)，等式两边对戈求一阶、二阶导数，得 y=ex(C1sinx+C2cosx)+ex(C1cosxC2sinx)， y“=2e x(C1cosxC2sinx)， 联立上述三式消去 C1，C 2，得 y“一 2y+2y=0
13、。【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 y=C 1e-x+C2e2x+ e2x，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 对应齐次方程的特征方程为 2 一 一 2=0，特征根为 1=一1， 2=2，因 =2 是特征方程的一个单根，故令特解为 y*=Axe2x，代入原方程得 A=。则通解为 y=C 1e-x+C2e2x+ xe2x，其中 C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 e -xsinx【试题解析】 由一阶线性微分方程通解公式，原方程的通解为 y=e -1dxe-xcosx e1dxdx+C=e-xcosxdx+C=e-x(sinx+C)， 由 y(0)
14、=0，得 C=0，故所求特解为y=e-xsinx。【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 y=e x(C1cosx+C2sinx)+ex，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 原方程对应的齐次方程的特征方程为 22+2=0，特征根为1，2 =1i，故对应的齐次方程的通解为 Y=ex(C1cosx+C2sinx)。 由于 =1 不是特征根，可设特解形式为 y*=Aex，代入原方程可得 A=1。故原方程的通解为 y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex，其中 C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 【试题解析】 由y= +(其中 是当x0 时的无穷小量)
15、，得 y=0，由一阶线性微分方程的通解公式得 y=，再由 y(0)=2，得 C=2，所以 y= 。【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 (e21)【试题解析】 经计算得，微分方程 y“一 4y+4y=0 的通解为 y=(C+C2x)e2x。 且由初始条件 y(0)=1，y(0)=2 得 C1=1，C 2=0，即 y=e2x。于是 01y(x)dx=(e2 一 1)。【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 y 2+1=C(x2 一 1)，C 为任意常数【试题解析】 此为可分离变量的微分方程，由题干可得 (y 2+1)xdx+(1 一 x2)ydy=0，分离变量得所以通解为y2+1=C(
16、x2 一 1)，C 为任意常数。【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 y 2=x+1【试题解析】 原微分方程可以变形为(yy)=0，两边同时积分可得 yy=C1，此为可分离变量的微分方程。分离变量得 ydy=C 1dx， 两边同时积分得 y2=C1x+C2， 代入初值条件 y(0)=1，y(0)= 。所以满足初值条件的解是 y2=x+1。【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 (x+C)cosx，C 为任意常数【试题解析】 此一阶线性微分方程的 p(x)=tanx，q(x)=cosx，则由通解公式 y=e -p(x)dxq(x)ep(x)dxdx+C =e-tanxdxcosxeta
17、nxdxdx+C =cosxcosx +C =(x+C)cosx， C 为任意常数。【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 2e 2xex【试题解析】 因 02xf( )dt=20xf(t)dt，所以 f(x)=02xf( )dt+ex 可化为 f(x)=20xf(t)dt+ex，两边求导数得 f(x)一 f(x)=ex，解此一阶微分方程得 f(x)=exe 2dxdx+Ce-2dx=(一 e-x+C)e2x=Ce2xex。 因为 f(0)=1，所以有 f(0)=C 一 1=1，即 C=2，于是f(x)=2e2xex。【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
18、。18 【正确答案】 设该单位质点的速度为 v，则加速度为 v。根据题意可知，该质点受到的阻力 F=一 v(负号表示阻力的方向与运动方向相反)。由牛顿第二定律F=ma 可得 一 v=v， 结合初值条件 v t=0=v0。解此方程，得 v=v0e-t。 由 v0e-t= 解得，t=ln3。 到此时刻该质点所经过的路程 s= 0ln3v0e-tdt= v0。【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 因 y1，y 3 线性无关，则 y3 一 y1=e-x 为对应齐次方程的解，那么y2+e-x=xex 为非齐次解， 而 y0xex=e2x 为齐次解。 则齐次方程的特征方程为(+1)( 一 2)=0，
19、即 2 一 一 2=0。故齐次方程为 y“一 y 一 2y=0。 设所求的二阶线性非齐次方程为 y“一 y一 2y=f(x)。 将 y=xex，y=e x+xex 及 y“=2ex+xex 代入该方程得f(x)=ex(12x)。 故所求方程为 y“一 y一 2y=ex(12x)。【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 令 u= =uu，则原方程化为 ucosyu+u 2siny=u。当u=0，y=c 不符合初始条件，舍去。 当 u0 时，得到 u+utany= ，解为 u=e -tanydy etanydydy+C=cosy(C+tany)， y=cosy(C+tany)， 由 y(一 1
20、)=，得 C=0。因此 y=siny。 解方程 =siny 得 lncscycoty=x+C 2，由 y(一 1)= ，则所求微分方程满足初始条件的解为【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 令 x 一 t=u，则 0xtf(x 一 t)dt=0x(x 一 u)f(u)du =x0xf(u)du 一 0xuf(u)du， 所以有 0xf(t)dt=x+x0xf(u)du 一 0xuf(u)du，在等式两端求导得 f(x)=1+ 0xf(u)du+xf(x)一 xf(x)， 即 f(x)=1+ 0xf(u)du， 等式两端再次求导 f(x)=f(x)。 解此微分方程得 f(x)=Ce x。
21、又由 f(0)=1，得 C=1，故 f(x)=ex。【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 () 由反函数求导法则， 将以上两式代入所给微分方程得 y“一 y=sinx。 ( )由( )中结果，则对应齐次方程的特征方程为 2 一 1=0，特征根为 1，2 =1。 由于 i 不是特征方程的根，故设非齐次待定特解为 y*=Acosx+Bsinx，并将 y*，(y *)及(y *)“代入 y“一 y=sinx，得 A=0，B=一 。则非齐次方程通解为 y=C1ex+C2e-x 一 sinx。 又由 y(0)=0，y(0)= ，可得C1=1，C 2=一 1。 则所求特解为 y=ex 一 e-x 一
22、 sinx。【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 由复合函数求导法则， =f(u)excosy。 故 =f“(u)e2xsin2y+f(u)exsiny， =f“(u)e2xcos2yf(u)exsiny。 代入原方程，得 f“(u)e 2x=e2xf(u)， 即有 f“(u)一 f(u)=0，其特征方程为 21=0，特征根为1，2 =1，因此其通解为 f(u)=C 1eu+C2eu，其中 C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 如图 81，设曲线方程为 y=f(x)，则弦 AP 的方程为由一阶线性微分方程通解公式，得 f(x)= =Cx 一6x2+1。 由
23、 f(1)=0，得 C=5，因此所求曲线方程为 f(x)=一 6x2+5x+1。【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 令 y=p，则 y“= =0。解得 p=C1+C2)其中 C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 因曲线上凸，故有 y“0。由曲率计算公式，得即 y“=一(1+y 2)，这是不显含 x 也不显含 y 的可降价方程。令 p=y，则 y“=p，上述微分方程可化为 p= 一(1+p 2)，解此可分离变量的微分方程可得 arctanp=C1 一 x，即 arctany=C1 一 x。 由曲线过点 (0，1)
24、，且在该点切线方程为 y=x+1，可得初始条件 y(0)=1，y(0)=1。故由 y(0)=1，得 C1= ，因此 arctany=一 x，即 y=tan( 一 x)，等式两端积分可得 y=lncos( 一 x)+C 2。 由 y(0)=1，得 C2=1+ ln2。因此所求曲线方程为 y=ln ln2。【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 由 f(x)=g(x)可得 f“(x)=g(x)，则 f“(x)+f(x)=2e x， 显然该方程有特解 ex。该微分方程的特征方程为 2+1=0，解得 =i，故设微分方程的通解为 f(x)=C1sinx+C2cosx+ex， 再由 f(0)=0，f(0)=g(0)=2 ，解得 C1=1，C 2=一 1，故 f(x)=sinxcosx+ex，则【知识模块】 常微分方程
