1、考研数学一（常微分方程）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设可微函数 f(x，y)在点(x o，y o)取得极小值，则下列结论正确的是（A）f(x o，y)在 y=yo 处的导数等于零（B） f(xo，y)存 y=yo 处的导数大于零（C） f(xo，y)在 y=yo 处的导数小于零（D）f(x o，y)在 y=yo 处的导数不存在2 设非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y1(x)，y 2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是（A）Cy 1(x)-y2(x)（B） y1(x)+Cy1(x)-y2(x)（C）
2、Cy1(x)+y2(x)（D）y 1(x)+Cy1(x)+y2(x)3 y1，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使y1+y2 是该方程的解，y 1-y2 是该方程对应的齐次方程的解，则（A）=1/2,=1/2.（B） =-1/2,=-1/2.（C） =2/3,=1/3.（D）=2/3,=2/3.4 微分方程 yy“+y2=0 满足初始条件 y 丨 x=0=1， y丨 x=0=1/2 的特解是_.5 设 A 与 B 均为 n,阶矩阵，且 A 与 B 合同，则( )（A）A 与 B 有相同的特征值（B） det A=det（C） A 与 B 相似（D
3、）r(A)=r(B)6 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=3x12+cx22+x32-2x1x2+2x1x3-2x2x3 的秩为 2，则 c 的值为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）37 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+3x32-4x1x2+2x1x3+8x2x3 的秩等于( )。（A）0（B） 1（C） 2（D）3二、填空题8 当 x0 时，f(x)=x-sinax 与 g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则 a=_,b=_.9 已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinx-sin3x 与 cxk 是等价无穷小，则k=_,c=_.10 设二元函数 z
4、=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则 dz 丨 (1，0) =_.11 设 z=(x+ey)x，则 z/x 丨 (1，0) =_.12 设函数 z=(1+x/y)x/y,则 dz 丨 (1，1) =_.13 设 z=f(xy,x/y)+g(y/x)，其中 f,g 均可微，则 z/x=_.14 设函数 f(u)可微，且 f(0)=1/2，则 z=f(4x2-y2)在点(1，2)处的全微分 dz 丨 (1，2)=_.15 初值问题 的解_16 当 k=_时，向量 =(1，k，5)能由向量 1=(1，-3，2)， 2=(2，-1，1)线性表示17 已知 =(3，5，7，9) ，=(-1，5，2
5、，0)，x 满足 2+3x=，则 x=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 求微分方程 x2y+xy=y2 满足 y 丨 x=1=1 的特解19 设 f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f(0)=1，且xy(x+y)-f(x)ydx+f(x)+x 2ydy=0为一全微分方程，求 f(x)及此全微分方程的通解20 设向量组 1， 2， s 线性无关，作线性组合1=1+1s， 2=2+2s， s-1=s-1+s-1s，则向量组 1， 2， s-1 线性无关，其中 s2， i 为任意实数考研数学一（常微分方程）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有
6、一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 B【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 A【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 D【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 B【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 D【知识模块】 常微分方程二、填空题8 【正确答案】 1,-1/6【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 3,4【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 2edx+(e+2)dy【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 2ln2+1【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 -(2ln2+1
7、)【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 yf 1+(1/y)f2-(y/x2)g【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 4dx-2dy【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 y=1/2(x 2-1).【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 -8【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 (-7/3 ， -5/3，-4,-6)【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 所给方程可写成 y=(y/x)2-y/x，为齐次方程，令 y/x=，方程化为x+=2-.分离变量得 +C1 即（-2）/=Cx 2，以 =y/x 代入上式得 y-
8、2x=Cx2y代入 y 丨 x=1=1，得 C=-1故所求特解为 y=2x/(1+x)2【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 由全微分方程的条件，有即 x2+2xy-f(x)=f“(x)+2xy，亦即 f“(x)+f(x)=x2因而 f(x)是初值问题 的解，从而解得 f(x)=2cosx+sinx+x2-2原方程化为 xy2+2y-(2cosx+sinx)ydx+(x2y+2x-2sinx+cosx)dy=0先用凑微分法求左端微分式的原函数：(1/2y 2dx2【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 证明 设存在 k 1， k 2， k s-1，使得 k11+k22+ks-1s-1=，即k1(1+1s)+k2(2+2s【知识模块】 常微分方程
