1、考研数学三（大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X1，X 2，X 3，X 4 是来自正态总体 N(0，2 2)的简单随机样本，记 Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2，其中 sa，b 为常数已知 Y 2(n)，则（A）n 必为 2（B） n 必为 4（C） n 为 1 或 2（D）n 为 2 或 42 设 X1，X 2，X n 是来自标准正态总体的简单随机样本， 和 S2 为样本均值和样本方差，则3 设随机变量 Xt(n)(n1) ，Y= ，则（A）Y 2(n)（B） Y 2(n
2、-1)（C） YF(n，1)（D）YF(1，n)4 设随机变量 X 服从 n 个自由度的 t 分布，定义 t满足 PXt=1-(01)若已知 PXx=b(b0)，则 x 等于5 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本， 与 S2 分别是样本均值与样本方差，则6 设 X1，X n，X n+1，X 2n，X 2n+1，X 3n 是取自正态分布总体 N(， 2)的一个简单随机样本(n2)，记则一定有二、填空题7 已知 X1，X 2，X 3 相互独立且服从 N(0， 2)，则 服从的分布及参数为_.8 已知(X，Y)的联合概率密度为 则 服从参数为_的_分布9 设总体
3、X 的密度函数 f(x)= 分别为取自总体 X 容量为 n的样本的均值和方差，则EX=_； =_；ES 2=_10 设 X1，X 2，X 9 是来自总体 XN( ，4)的简单随机样本，而 是样本均值，则满足 =095 的常数 =_(196)=0975)11 假设 X1，X 2，X 16 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本， 为其均值，S 为其标准差，如果 =095，则参数 =_(t 0.05(15)=17531)12 设总体 X 服从参数为 p 的 0-1 分布，则来自总体 X 的简单随机样本X1，X 2，X n 的概率分布为_.13 假设总体 X 服从标准正态分布，X 1，X 2，X
4、 n 是取自总体 X 的简单随机样本，则统计量 Y1= 都服从 _分布，其分布参数分别为_和_14 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，而 X1，X 2，X 15 是取自总体 X 的简单随机样本，则 服从_分布，分布参数为_15 设总体 X 与 Y 独立且都服从正态分布 N(0， 2)，已知 X1，X m 与Y1，Y n 是分别来自总体 X 与 Y 的简单随机样本，统计量=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 X1，X 2，X n 是来自标准正态总体 N(0，1)的简单随机样本，其均值和方差分别为 试求：E(T) 与 E(T2)的值17 已知总体 X 的数学期望
5、EX=，方差 DX=2，X 1，X 2，X 2n 是来自总体 X容量为 2n 的简单随机样本，样本均值为 ，求EY18 已知总体 X 与 Y 相互独立且都服从标准正态分布，X 1，X 8 和 Y1，Y 9是分别来自总体 X 与 Y 的两个简单随机样本，其均值分别为，求证： 服从参数为 15的 t 分布19 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 X 的简单随机样本，EX=，DX=4，试分别求出满足下列各式的最小样本容量 n：20 ()设 X 与 Y 相互独立，且 X-N(5，15)，Y- 2(5)，求概率 PX-5 ()设总体 XN(25，6 2)，X 1，X 2，X 3，X 4，X 5 是
6、来自 X 的简单随机样本，求概率P(13X35)(63S 296) 21 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其均值和方差分别为 与S2，且 XB(1，p)，0P1()试求：22 设正态总体 XN(， 2)，X 1，X 2，X n 为来自 X 的简单随机样本，求证：23 设 X1，X 2，X 10 是来自正态总体 XN(0，2 2)的简单随机样本，求常数a，b，c，d，使 Q= +b(X2+X3)2+c(X4+X5+X6)2+d(X7+X8+X9+X10)2 服从 2 分布，并求自由度 m24 设总体 X 和 Y 相互独立，分别服从 X 1，X 2，X m 和Y1，Y 2
7、，Y n 是分别来自 X 和 Y 的简单随机样本，其样本均值分别为，求 EZ.25 已知 X1，X n 是来自总体 X 容量为 n 的简单随机样本，其均值和方差分别为与 S2()如果 EX=，DX= 2，试证明：()如果总体 X 服从正态分布N(0， 2)，试证明：协方差 Cov(X1，S 2)=026 设 XN(， 2)，从中抽取 16 个样本，S 2 为样本方差， 2 未知，求27 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n(n=16)是来自 X 的简单随机样本，求下列概率：28 设 都是来自正态总体 N(， 2)的容量为 n 的两个相互独立的样本均值，试确定 n，使得两个样本均值之差
8、的绝对值超过 的概率大约为 001考研数学三（大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 依题意 XiN(0 ，2 2)且相互独立，所以 X1-2X2N(0，20)，3X 3-4X4N(0 ，100)，故 且它们相互独立由 2 分布的典型模式及性质知(1)当 a= 时，Y- 2(2)；(2)当 a=时，Y- 2(1)由上可知， n=1 或 2，即应选(C)【知识模块】 数理统计的基本概念2 【正确答案】 D【试题解析】 显然，(n-1)S 2 服从自由度为 n-1 的 2 分
9、布，故应选(D)其余选项不成立是明显的：对于服从标准正态分布的总体， 由于 X1，X 2，X n 相互独立并且都服从标准正态分布，可见 服从自由度为n 的 2 分布【知识模块】 数理统计的基本概念3 【正确答案】 C【试题解析】 根据 t 分布的性质，如果随机变量 Xt(n) ，则 X2F(1 ，n) ，又根据 F 分布的性质，如果 X2F(1，n)，则 ，故应选(C)【知识模块】 数理统计的基本概念4 【正确答案】 D【试题解析】 根据 t 分布的对称性及 b0，可知 x0从而 PXx=1-PXx=根据题设定义 PXt=1-，可知 应选(D)【知识模块】 数理统计的基本概念5 【正确答案】
10、D【试题解析】 根据正态总体抽样分布公式知应选(D)【知识模块】 数理统计的基本概念6 【正确答案】 D【试题解析】 由于 分别是取自正态总体 N(， 2)的一个容量为 n 的简单随机样本，根据正态总体的抽样分布知，对 i=1，2，3，有因此选项(A)、(B)、(C)均不成立，应选 (D) 进一步分析，因X1，X n，X n+1，X 2n，X 2n+1，X 3n 相互独立，因此 也相互独立又因 ，所以根据 F 分布的典型模式可得同理 F2= F(n-1，n-1) ，即 F1与 F2 同分布【知识模块】 数理统计的基本概念二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 记 Y1=X2+X3，Y 2=X
11、2-X3，则 Y1N(0 ，2 2)，Y 2N(0，2 2)由于Cov(Y1，Y 2)=E(Y1Y2)-E(Y1)E(Y2)=E(X2+X3)(X2-X3)所以 Y1 与 Y2 相互独立，且与 X1 独立又由X1+X2+X3=X1+Y1N(0，3 2)，可知，且 X1+X2+X3 与 X2-X3 相互独立，于是按 t 分布定义有【知识模块】 数理统计的基本概念8 【正确答案】 【试题解析】 由题设知(X，Y)服从二维正态分布且密度函数为故 XN(0，2 2)，YN(1 ，3 2)，X 与 Y 相关系数 =0，所以 X 与 Y 独立， 根据 F 分布典型模式知【知识模块】 数理统计的基本概念9
12、【正确答案】 0，【试题解析】 由于 ，ES 2=DX，由题设有【知识模块】 数理统计的基本概念10 【正确答案】 1.3067【试题解析】 由条件知【知识模块】 数理统计的基本概念11 【正确答案】 -0.4383【试题解析】 由于总体 XN(， 2)，故与 S2 独立，由 t 分布典型模式得由此知 4 为 t(15)分布上 095 分位数，即 4=t0.95(15)=-t1-0.95(15)=-t0.05(15)=-17531，=-04383【知识模块】 数理统计的基本概念12 【正确答案】 【试题解析】 总体 X 的概率分布为 ，此概率分布也可以表示为于是样本 X1，X 2，X n 的概
13、率分布为【知识模块】 数理统计的基本概念13 【正确答案】 t，2，n-1【试题解析】 根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X n 相互独立同服从分布N(0，1)，所以 X1-X2 与 也相互独立，且有即 Y1与 Y2 都服从 t 分布，分布参数分别为 2 和 n-1【知识模块】 数理统计的基本概念14 【正确答案】 N(0， 2)，【试题解析】 根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X 15 相互独立且都服从分布N(0， 2)，所以 ，因此【知识模块】 数理统计的基本概念15 【正确答案】 【试题解析】 依题意 XiN(0 ， 2)，Y iN(0， 2)且相互独立，所以U 与 V 相互
14、独立，由 t 分布典型模式知【知识模块】 数理统计的基本概念三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 由正态总体的性质知， 与 S2 相互独立；由样本数字特征的性质知， =E(X)=0， ，E(S 2)=D(X)=1；由正态总体的样本方差的分布知，(n-1)S 2 2(n-1)；由 2 分布的性质知，D 2(n-1)=2(n-1)，从而 Dn-1)S2=(n-1)2D(S2)=2(n-1)，即 D(S2)= 于是【知识模块】 数理统计的基本概念17 【正确答案】 由于总体分布未知，我们只好将 Y 化简，应用数字特征性质计算EY由于【知识模块】 数理统计的基本概念18
15、 【正确答案】 应用 t 分布的典型模式证明已知 XiN(0 ，1)，Y iN(0 ，1)且相互独立，因此样本均值【知识模块】 数理统计的基本概念19 【正确答案】 依题意，查标准正态分布函数表可得 165， n1089()解不等式01， n40()令 U= 易见 UN(0，1)，于是【知识模块】 数理统计的基本概念20 【正确答案】 ()=P2(4)07-P 2(4) 1067=0 95-090=005于是所求概率为p=0317 9005=00159【知识模块】 数理统计的基本概念21 【正确答案】 () 由于 XB(1，p)，故 X 的概率分布为B(n，p)于是【知识模块】 数理统计的基本
16、概念22 【正确答案】 根据简单随机样本的性质，X 1， X2，X n 相互独立与 X 同分布且 与 S2 相互独立，于是【知识模块】 数理统计的基本概念23 【正确答案】 由于 Xi 独立同分布，则有 X 1N(0 ，4)，X 2+X3N(0 ，8)，X4+X5+X6N(0，12)，X 7+X8+X9+X10N(0，16).于是(X7+X8+X9+X10)相互独立都服从标准正态分布 N(0，1) 由 2 分布的典型模式可知【知识模块】 数理统计的基本概念24 【正确答案】 由于与 也相互独立因此【知识模块】 数理统计的基本概念25 【正确答案】 () 由于总体分布未知，因此只能应用定义与性质证明因为X1，X n 相互独立且与总体 X 同分布，故()由于总体XN(0 ， 2)，故 EXi=0，DX i=2【知识模块】 数理统计的基本概念26 【正确答案】 查 2 分布的上分位数表，得知 P2(15)3058=0 01，因此【知识模块】 数理统计的基本概念27 【正确答案】 【知识模块】 数理统计的基本概念28 【正确答案】 由于 相互独立，则查标准正态分布表，得=258， n=1 33因此 n 至少应为 14【知识模块】 数理统计的基本概念
