1、考研数学三（微积分）模拟试卷 212 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 x=f(x，y)= ，则 f(x，y) 在点(0，0)处（A）可微（B）偏导数存在，但不可微（C）连续，但偏导数不存在（D）偏导数存在，但不连续2 设 z=f(x，y)= 则 f(x，y)在点(0，0) 处（A）偏导数存在且连续（B）偏导数不存在，但连续（C）偏导数存在，可微（D）偏导数存在，但不可微3 设 f(x，y)=x 一 y(x，y)，其中 (x，y)在点 (0，0)处连续且 (0，0)=0 ，则f(x，y)在点(0，0)处（A）连续，但偏导数不存在（B）不连续，但偏
2、导数存在（C）可微（D）不可微4 已知(axy 3 一 y2cosx)dx+(1+bysinx+3x2y2)dy 为某二元函数 f(x，y)的全微分，则常数（A）a= 一 2，b=2（B） a=2，b=一 2（C） a=一 3，b=3（D）a=3 ，b=一 3二、填空题5 已知函数 z=f(x，y)在(1，1)处可微，且 f(1，1)=1， =3设 (x)=fx，f(x，x)，则3(x)=_6 设 f(x)= D=(x，y) 一x+，一y+ ，则 f(y)f(x+y)dxdy=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 计算下列函数指定的偏导数：7 设 u=f(2xy)+g(x，x
3、y) ，其中 f 具有二阶连续导数，g 具有二阶连续偏导数，求；8 设 u=u(x，y)由方程 u=(u)+yxP(t)dt 确定，其中 可微，P 连续，且 (u)1，求P(x) ；9 设 z3 一 2xz+y=0 确定 z=z(x，y)，求 z 的三个二阶偏导数10 已知函数 z=u(x，y)e ax+by，其中 u(x，y)具有二阶连续偏导数，且11 设函数 f(x)二阶可导，g(y) 可导，且 F(x，y)=fx+g(y)，求证：12 设函数 f(x，y)= ，且 g 有二阶导数，求证： ，且 r012 已知函数 f(x，y，z)=x 3y2z 及方程 x+y+z 一 3+e-3=e-(
4、x+y+z) (*)13 如果 x=x(y，z)是由方程(*)确定的隐函数满足 x(1，1)=1，又 u=f(x(y，z)，y，z) ，求 ；14 如果 z=z(x，y)是由方程(*)确定的隐函数满足 z(1，1)=1 ，又 w=f(x，y，z(x ，y)，求 15 设 z=f(x，y，u)，其中 f 具有二阶连续偏导数，u(x，y)由方程 u55xy+5u=1 确定求 16 设 u=f(x， y，z)，(x 2，e y，z)=0，y=sinx 确定了函数 u=u(x)，其中 f， 都有一阶连续偏导数，且 17 设 y=f(x， t)，且方程 F(x，y，z)=0 确定了函数 t=t(x，y)
5、，求 18 设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，函数 g(y)连续可导，且 g(y)在 y=1 处取得极值 g(1)=2求复合函数 z=f(xg(y)，x+y) 的二阶混合偏导数 在点(1，1)处的值19 设 f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且 fy(a，b)0，证明由方程f(x，y)=0 在 x=a 的某邻域所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值 b=(a)的必要条件是： f(a，b)=0，f x(a，b)=0 ， 且当 r(a，b)0 时，b=(a)是极大值；当 r(a，b)0 时，b=(a)是极小值，其中 r(a ，b)= 20 求使得不等式 ln(x
6、2+y2)A(x2+y2)在区域 D=(x，y)x0，y0 内成立的最小正数 A 与最大负数 B21 试求多项式 p(x)=x2+ax+b，使积分 -11p2(x)dx 取最小值21 某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 x 和 y(单位：吨)时的总收益函数为 R(x，y)=42x+27y 一 4x22xyy2，总成本函数为 C(x，y)=36+8x+12y(单位：万元)除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费 2 万元，1 万元22 在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少吨时总利润最大?总利润是多少?23 当限制排污费用支出总额为 8 万元的条件下，甲
7、、乙两种产品的产量各为多少时总利润最大? 最大总利润是多少 ?24 生产某种产品需要投甲、乙两种原料，x 1 和 x2(单位：吨)分别是它们各自的投入量，则该产品的产出量为 Q=2xx(单位：吨)，其中常数 0，0 且 +=1如果两种原料的价格分别为 p1 与 p2(单位：万元吨)试问，当投入两种原料的总费用为 P(单位：万元)时，两种原料各投入多少可使该产品的产出量最大 ?25 已知三角形的周长为 2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形26 证明不等式： 。考研数学三（微积分）模拟试卷 212 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
8、1 【正确答案】 C【试题解析】 设z=f(x，y)一 f(0，0)，则可知 z= z=0这表明f(x，y)= 在点(0， 0)处连续 因 f(x，0)=0 f(x，0) x=0=0，同理 fy(0，0)=0 令 =z 一fx(0，0) x 一 fy(0，0) y= ，当(x，y)沿 y=x趋于点(0 0)时【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 由偏导数定义可知这说明 fx(0， 0)存在且为 0，同理 fy(0，0)存在且为 0所以 f(x，y)在点(0，0)处可微分故选 C【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 直接按可微性定义f(x，y)在(x 0，y 0)
9、可微，即 f(x，y)在(x 0，y 0)满足 f(x0+x，y 0+y)一 f(x0，y 0)=Ax+By+()(= 0)，其中 A，B是与x， y 无关的常数易知 A= 特别是，若有 f(x0+x，y 0+y)一 f(x0，y 0)=()，则 f(x，y) 在(x 0，y)可微( 且=0)这里，由于(x，y)=(0，0)=0，即 f(x，y)=()(0)，故 f(x，y)在点(0，0)处可微，选C【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 依题设由 df(x，y)=f x(x，y)dx+f y(x，y)dy =(axy3 一 y2cosx)dx+(1+bysinx+3x2y2)d
10、y， 可知 f x(x，y)=axy 3 一 y2cosx，f y(x，y)=1+bysinx+3x2y2， 所以 f“ xy(x，y)=3axy 22ycosx，f“ yx(x，y)=bycosx+6xy 2 由f“xy(x，y)和 f“yx(x，y)的表达式可知它们都是连续函数，根据当混合偏导数连续时与求导次序无关的定理即得 f“xy(x，y)f“ yx(x，y)从而 a=2，b=一 2故应选 B【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 51【试题解析】 又 =f1+f2(f 1+f2)， (1)=f(1，1)=1，所以 =312+3(2+3)=51【知识模块】 微积分6 【正确答案
11、】 【试题解析】 由于故在区域D1=(x，y)0y1 ，一 yx1 一 y(如图 42)上 f(y)=y，f(x+y)=x+y，在 D1 的外部 f(y)=0，f(x+y)=0 于是【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 =2f+g1+yg2， =一 2f“+xg“12+g2+xyg“22【知识模块】 微积分8 【正确答案】 在 u=(u)+yxP(t)dt 两边分别对 x，y 求偏导数可得【知识模块】 微积分9 【正确答案】 在方程两边分别对戈求偏导数得 (3z 22x) 一 2z=0， (*)即将(*)式再对 x 求偏导数
12、，得【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分13 【正确答案】 依题意， 为 fx(y，z) ，y，z对 y 的偏导数，故有 =2x3yz 因为题设方程(*) 确定 x 为 y，z 的隐函数，所以在(*)两边对 y 求导数时应将 z 看成常量，从而有【试题解析】 f 是 x，y，z 的函数，而 x 和 z 又分别是 y，z 和 x，y 的函数，所以在( )中把 x 看成中间变量，在() 中把 z 看成中间变量【知识模块】 微积分14 【正确答案】 同() 一样，求得 在题设方
13、程(*)中将 x 看成常量，对 y 求导，可得 =一 1，故有【知识模块】 微积分15 【正确答案】 将方程 u5 一 5xy+5u=1 两端对 x 求导数，得 5u4ux 一 5y+5ux=0，解得 ux= ，故 zx=f1+f3ux=f1+ f3 在上式对 x 求导数时，应注意其中的 f1，f 3 仍是 x，y，u 的函数，而 u 又是 x，y 的函数，于是【试题解析】 z 是 x，y， u 的函数，而 u 是由方程 u5 一 5xy+5u=1 所确定的 x，y的隐函数，所以本题是隐函数的复合函数求偏导数的问题【知识模块】 微积分16 【正确答案】 由复合函数求导法知 其中上式中的表示由方
14、程 (x2，e sinx，z)=0 所确定的函数 z=z(x)的导数 由 (x2，e sinx，z)=0两端对 x 求导得 12x+2esinxcosx+3 (2x1+2esinxcosx)将dz 代入式即得 (2x1+2eycosx)【试题解析】 将 y=sinx 代入 (x2，e y，z)=0 得 (x2，e sinx，z)=0，该式可确定 z是 x 的函数，即 z=z(x)，因此，u 是 x 的一元函数，然后按复合函数求导法求解【知识模块】 微积分17 【正确答案】 由 y=f(x，t(x，y)两端对 x 求导得 而 t=t(x，y)由 F(x， y，t)=0 所确定，则【试题解析】 由
15、本题要求的 知，y 应该是 x 的一元函数，分析清楚这一点是解答本题的关键由题设知 F(x，y，t)=0 确定了 t=t(x，y)，将 t=t(x，y)代入y=f(x，t) 得 y=f(x，t(x，y)，这是关于 x 和 y 的方程，它可确定 y 是 x 的一元函数另一种方法是利用一阶全微分形式不变性求解【知识模块】 微积分18 【正确答案】 计算可得 =g(y)f1(xg(y)，x+y)+f 2(xg(y)，x+y) ， =g(y)f1(xg(y)，x+y)+g(y)f“ 11(xg(y)，x+y) xg(y)+ f“ 12(xg(y)，x+y)+f“ 21(xg(y)，x+y)xg(y)+
16、f“ 22(xg(y)，x+y)将 x=1 与 y=1 代入并利用 g(1)=2，g(1)=0 即得 =g(1)f1(2，2)+g(1)f“ 11(2，2)g(1)+f“ 12(2，2) +f“ 21(2，2)g(1)+f“ 22(2，2) =2f“12(2，2)+f“ 22(2，2)【知识模块】 微积分19 【正确答案】 y=(x) 在 x=a 处取得极值的必要条件是 (a)=0按隐函数求导法，(x)满足 f x(x，(x)+f y(x，(x)(x)=0 (*) 因 b=(a)，则有 f(a，b)=0，(a)=0，于是 fx(a，b)=0 将(*)式两边对 x 求导得 f“ xx(x，(x)
17、+f“xy(x，(x)(x)+ fy(x，(x)(x)+f y(x，(x)“(x)=0 ，上式中令 x=a，(a)=b，(a)=0，得 因此当 0 时，“(a)0，故b=(a)是极大值； 当 0 时，“(a)0，故 b=(a)是极小值【知识模块】 微积分20 【正确答案】 在区域 D=(x，y)x0，y0内 ln(x2+y2)A(x2+y2)A，因此使上式成立的常数 A 的最小值就是函数 f(x，y)=在区域 D 上的最大值令 r=x2+y2 则 A 的最小值就是函数 F(r)= 在区间(0， +)内的最大值计算可得 这表明 F(r)在(0，+) 内的最大值是 F(e)= 在区域D=(x，y)
18、 x0，y0 内 ln(x 2+y2) Bxyln(x 2+y2)，因此使上式成立的常数 B 的最大值就是函数 g(x，y)=xyln(x 2+y2)在区域 D 上的最小值计算可得由此可知 g(x，y)在 D 中有唯一驻点 因为在区域 D 的边界(x，y)x=0，y0与(x，y)x0，y=0上函数 g(x，y)=0，而且当 x2+y21 时 g(x，y)0，从而就是 g(x，y)在 D 内的最小值即 B 的最大值是一 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 本题是要确定 a，b 的值，使积分 -11p2(x)dx 取最小值，因此可把定积分看成 a，b 的二元函数求极值记 f(a，b)= -11
19、p2(x)dx=-11(x2+ax+b2)dx所以点(0，一 )是极小值点，由于驻点唯一，该点也就是最小值点，故 p(x)=x 2 一 【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分22 【正确答案】 根据题设知该厂生产这两种产品的总利润函数 L(x，y)=R(x，y)一 C(x，y) 一 2x 一 y =42x+27y 一 4x22xyy2368x 一 12y 一 2xy =32x+14y一 4x22xyy236求 L(x，y)的驻点：令 可解得唯一驻点(3 ，4) 因 L(x，y)的驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结果表明，在不限制排污费用支出的情况下，当甲、乙两种产品的产量分别为 x=
20、3(吨)与y=4(吨)时总利润 L(x，y)取得最大值且 maxL=L(3，4)=40(万元)【知识模块】 微积分23 【正确答案】 当限制排污费用支出总额为 8 万元的条件时应求总利润函数L(x，y)在约束条件 2x+y=8 即 2x+y 一 8=0 下的条件最大值可用拉格朗日乘数法，为此引入拉格朗日函数 F(x，y，)=L(x，y)+(2x+y 一 8)，为求 F(x，y，)的驻点，令由，两式消去参数 可得 2xy 一 2=0，与联立可得唯一驻点(25，3) 因驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结果表明，当排污费用限于 8 万元的条件下，甲、乙两种产品的产量分别为 x=25(吨)与
21、y=3(吨)时总利润取得最大值，最大利润 maxL=L(25，3)=37(万元)【知识模块】 微积分24 【正确答案】 由题设知应求函数 Q=2x1x2在条件 p1x1+p2x2=P 之下的最大值点用拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数 F(x 1， x2，)=2x 1x2+(p1x1+p2x2 一 P)，为求 F(x1，x 2，)的驻点，解方程组因驻点唯一，且实际问题必有最大产出量，故计算结果表明，在两种原料投入的总费用为 P(万元)时，这两种原料的投入量分别为 x1= (吨)时可使该产品的产出量最大【知识模块】 微积分25 【正确答案】 设三角形的三边长为 a，b，c ，并设以 AC 边为旋转
22、轴(见图 46)，AC 上的高为 h，则旋转所成立体的体积为 V= h2b 又设三角形的面积为 S，于是有 问题化成求 V(a，b，c)在条件 a+b+c 一 2p=0 下的最大值点，等价于求 V0(a，b，c)=ln (pa)(p 一 b)(pc)=ln(pa)+ln(p 一 b)+ln(pc)一 lnb 在条件 a+b+c 一 2p=0 下的最大值点用拉格朗日乘子法令 F(a，b，c ， )=V0(a，b，c)+(a+b+c 一 2p)，求解方程组比较，得 a=c，再由得 b=2(p 一 a) 比较， 得 b(p 一 b)=(pa)p 由，解出 b= 由实际问题知，最大体积一定存在，而以上
23、解又是方程组的唯一解因而也是条件最大值点所以当三角形的边长分别为 的边旋转时，所得立体体积最大【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由以上分析知其中D1=(x，y) x 2+y21，x0，y0 ，D 2=(x，y)x 2+y22，x0，y0 【试题解析】 由定积分与积分变量所选用的字母无关可知=dxdy此二重积分的积分区域D 为正方形，即 D=(x， y)0x1，0y1 现将该积分区域 D 作放缩，取D1=(x，y)x 2+y21，x0 ，y0 ，D 2=(x，y)x 2+y22，x0，y0，显然 D10，根据二重积分性质，有再对不等式两端作极坐标变换，即可得到所要证明结果【知识模块】 微积分
