1、考研数学三（重积分）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 x2+y22ay(a0)，则 f(x，y)dxdy 在极坐标下的累次积分为( )（A） 0d02acosf(rcos，rsin)rdr（B） 0d02asinf(rcos， rsin)rdr（C）（D）2 极坐标下的累次积分 f(rcos，rsin)rdr 等于( )3 设区域 D 由 x=0，y=0 ，x+y= ，x+y=1 围成，若 I1= ln(x+y)dxdy，I 2= (x+y)3dxdy，I 3= sin3(x+y)dxdy，则( )（A）I 1I 2 I3（B） I
2、2I 3I 1（C） I1I 2I 3（D）I 1I 3 I1二、填空题4 设 f(x，y)在点(0，0)的邻域内连续， F(t)= =_5 =_6 设 f(x)= ，D=(x ，y)|一 x+，一y+)，则 f(y)f(x+y)dxdy=_7 01dy0y2ycos(1 一 x)2dx=_8 计算 02dxx2y2e 一 y2dy=_9 计算 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 计算 (x+y)2dxdy，其中 D:ayx2+y22ay(a0) 11 计算 xy(x+y)d，其中 D 是由 x2 一 y2=1 及 y=0，y=1 围成的平面区域12 计算 (3xy+y
3、2)d，其中 D 由 y=x2，y=4x 2 及 y=1 围成13 设 f(x，y)= 其中 D=(x，y)|ax+yb)(0a b)14 求 ，其中 D:x2+y2215 求 02adx (x+y)2dy15 计算下列二重积分：16 计算 xydxdy，其中 D=(x，y) | y O，x 2+ y21，x 2+ y2 2x17 设 f(x，y)= 其中 D=(x，y) |x2 +y2 2x18 设 D：|x|1，|y|1，求 |y 一 x|dxdy19 设 D 是由 x0yx 与 x2+(y 一 b)2b2，x 2+(y 一 a)2a2(0ab)所围成的平面区域，求20 设 D=(x， y
4、)|x2+y2x)，求21 计算 sinx2cosy2dxdy，其中 D:x2+y2a2(x0，y0)22 计算 ，其中 D=(x，y)|x 2+y21，x0，y0 23 计算 (x2+y2)dxdy，其中 D=(x，y)|x 2+y24x，0yx考研数学三（重积分）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 令 其中 0，0r2asin，则 f(x，y)dxdy=0d02asinf(rcos，rsin)rdr ，选(B) 【知识模块】 重积分2 【正确答案】 D【试题解析】 累次积分所对应的二重积分的积分区域为 D:
5、x2+y22x(y0)，则D=(x，y)|0x2，0y ，选(D)【知识模块】 重积分3 【正确答案】 B【试题解析】 由 x+y1 得ln(x+y 30，于是 I1= ln(x+y)3dxdy0;当 x+y1时，由(x+y) 3sin3(x+y)0 得 I2I30，故 I2I3I1，选 (B)【知识模块】 重积分二、填空题4 【正确答案】 2f(0，0)【试题解析】 F(t)= f(x，y)d=f(，)t 2，其中(，) D，D:x 2+y2t2【知识模块】 重积分5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 重积分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 重积分7 【正确答案】 【试题
6、解析】 【知识模块】 重积分8 【正确答案】 【试题解析】 改变积分次序得【知识模块】 重积分9 【正确答案】 1 一 sin1【试题解析】 改变积分次序得【知识模块】 重积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 (x+y)2dxdy= (x2+2xy+y2)dxdy 一 (x2+y2)dxdy令(0，asinr2asin)，则【知识模块】 重积分11 【正确答案】 【知识模块】 重积分12 【正确答案】 【知识模块】 重积分13 【正确答案】 令 D1=(x，y)|0xa ，a 一 xyb 一 x， f(x，y)dxdy= 0ae 一xdxa 一 xb 一 x
7、e 一 ydy+abe 一 xdx0b 一 xe 一 ydy=0ae 一 x(ex 一 a 一 ex 一 b)dx+abe 一 x(1 一 ex 一 b)dx=(a+1)(e 一 a 一 e 一 b)一(b 一 a)e 一 b【知识模块】 重积分14 【正确答案】 令 (02，0r)，则=02d0rcosrdr=20rd(sinr)=2rslnr|0 一 20sinrdr=一4【知识模块】 重积分15 【正确答案】 【知识模块】 重积分【知识模块】 重积分16 【正确答案】 【知识模块】 重积分17 【正确答案】 f(x，y)dxdy= 12dx0x【知识模块】 重积分18 【正确答案】 令
8、D1=(x，y)| 一 1x1，一 1yx，D 2=(x，y)|一1x1，xy1【知识模块】 重积分19 【正确答案】 【知识模块】 重积分20 【正确答案】 【知识模块】 重积分21 【正确答案】 由对称性得 I= sinx2cosy2dxdy= siny2cosx2dxdy，则2I= smx2cosy2dxdy+ siny2cosx2dxdy= sin(x2+y2)dxdy【知识模块】 重积分22 【正确答案】 由极坐标法得【知识模块】 重积分23 【正确答案】 =16a4 (1+cos2)2d=8a4 (1+cost)2dt=8a4 (1+2cost+cos2t)dt=8a4 =2a4(3+8)【知识模块】 重积分
