1、2013 年上半年中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）真题试卷及答案与解析一、单项选择题1 极限 (a 0)的值分别为( )（A），1（B） ，0（C） 1，1（D）0，02 设函数 ，则 f(x)的零点个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 把一枚均匀硬币连续投掷 4 次，出现 2 次正面 2 次反面的概率为( )4 将椭圆 绕 z 轴旋转一周，所得旋转曲面的方程为( )5 设 M 为 33 实数矩阵， 为 M 的实特征值 的特征向量，则下列叙述正确的是( )（A）向量 M 与 共线（B）当 0 时，M 与 方向相反（C）当 0 时，M 与 方向相同（D）当 0 时
2、，M 垂直于 6 下列命题不正确的是( )（A）标准方程为 的平面曲线是双曲线（B）平面与圆锥面的交线是双曲线（C）平面上到定点与定直线距离之比为常数 ，且 1 的动点轨迹是双曲线（D）平面上到两定点 a，b 的距离之差的绝对值为定长 c，且 0c ab的动点轨迹是双曲线7 义务教育数学课程标准(2011 年版)对课程总目标从四个方面作出了具体阐述，下列不属于这四个方面的是( )（A）数学思考（B）情感态度（C）问题解决（D）创新意识8 下列陈述可以作为数学定义的有( )（A）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线（B）无穷小量是无限趋向于 0 的量（C）渐近线是与曲线很接近的直线（D）有中
3、心的封闭曲线即为圆二、简答题9 实数的运算满足五条基本法则：加法的结合律和交换律，乘法的结合律和交换律以及分配律下面的例子标明了运算过程中所使用的运算法则： (137+156)+63=137+(156+63)(加法的结合律 ) =137+(63+156)(加法的交换律) =(137+63)+156(加法的结合律) =200+156 =356 证明：(a+b)(a-b)=a 2 一 b2，详细写出推导过程并标明所使用的运算法则9 设 Q(x)=x3+px+q，且 ， 满足方程组 10 证明 + 是 Q(x)=0 的根11 写出以 3 和 3 为根的一元二次方程12 求椭圆 (a 0，b0) 所围
4、成的面积.13 简述义务教育数学课程目标的地位和作用14 结合实例简要分析数学概念学习的基本要求三、解答题15 (1)设 ，抛物线 y=x2 一 2 过点(t，t 2 一 2)的切线与 x 轴的交点为(g(t)，0)，求 g(t) (2)定义数列x n如下：x 0=2，x n+1=g(xn)，n=0，1，2， 证明：(上述求方程根的近似值的方法称为牛顿切线法)四、论述题16 义务教育数学课程标准(2011 年版)指出：“书面测验是考查学生课程目标达到的状况的重要方式，合理地设计和实施书面测验有助于全面考查学生的数学学业成就，及时反馈教学成效，不断提高教学质量”请给出合理设计书面测验的具体建议并
5、举例说明五、案例分析题16 案例： 投影(方框内为投影内容)师：想想看，这个题目怎么解?你怎么思考? 不一定马上给出答案，告诉我你的思考过程 生：先设每年计划招收 z 名学生 师：你想设每年的招生数，能不能直接设招生总人数? 生：能 师：那你就直接设招生总人数为 x 名生：x5 师：x5 表示什么意思? 生：原计划每年的招收人数这个数再加上 50，是比原计划多收 50，即每年的实际招收的人数 然后(x5+50)4=x 师：刚刚我们已经写出每年计划招生的人数，那么实际上每年的招生人数可不可以知道?实际上它每年招收的还可以表示为? 生：x5+50= 问题：17 利用问题 1 引出分式方程(概念)是
6、否恰当? 说说你的看法；18 教师引导学生建立方程的过程中有何不妥之处?请给出你的看法和依据；19 请你给出一个引入分式方程的问题情境，并列出方程六、教学设计题19 义务教育数学课程标准(2011 年版)对“ 一元二次方程” 的一条要求为：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数学系数的一元二次方程针对上述要求，完成下列任务20 简要说明配方法、公式法、因式分解法的含义，并说明配方法在初中数学中还有哪些应用；21 针对求解一元二次方程，请设计若干题目，包括例题 35 个，练习题 23 个，帮助学生理解配方法；22 结合实际(如运动、测量等)设计一道一元二次方程的应用题并给出解答2013
7、年上半年中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）真题试卷答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 C2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ，所以 f(x)=(x2 一 1)e2x，当 f(x)=0 时，(x2 一 1)e2x=0，所以 x=1故本题选 C3 【正确答案】 B【试题解析】 本题为独立重复事件的概率，投掷一次硬币，出现正面和反面的概率都为 ，故连续投掷 4 次硬币，出现 2 次正面 2 次反面的概率为故本题选 B4 【正确答案】 A【试题解析】 椭圆 绕 z 轴旋转而成的旋转曲面方程为 5 【正确答案】 A6 【正确答案】 B【试题解析】 一平面截一圆锥面，当截面与圆锥
8、面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线为双曲线如果不满足“截面与圆锥面的母线不平行”或“与圆锥面的两个圆锥都相交”，则交线可能是椭圆、圆或直线、甚至是点7 【正确答案】 D【试题解析】 义务教育阶段数学课程目标分为总目标和学段目标，从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等四个方面加以阐述8 【正确答案】 A二、简答题9 【正确答案】 证明：10 【正确答案】 证明：当 x=+ 时，Q(x)=(+) 3+p(+)+q =(3+3+32+32)+p(+)+q =3+3+3(+)+p(+)+q 因为 3=一 p， 3+3=一 q，所以 Q(x)=一q 一 p(+)+p(+)+q=0，所
9、以 + 是 Q(x)=0 的根11 【正确答案】 由已知可知， 3+3=一 q， 33=()3= ，因此，以3 和 3 为根的一元二次方程为 12 【正确答案】 由于椭圆 关于 x 轴和 y 轴对称，所以该椭圆围成的面积等于当 x0，y0 时曲线与 x 轴、y 轴的正半轴围成的面积 S 的 4 倍此时，设 x=asint，y=bcost，则当 x=0 时，t=0，当 x=a 时， ，所以 = 所以该椭圆的面积为 4S=ab13 【正确答案】 决定数学课程内容的选择数学课程目标决定数学课程内容，数学课程内容是数学课程目标赖以实现的载体数学课程目标不仅决定着数学课程内容量的控制，同时还决定着数学课
10、程内容质的规定指导数学教科书的编写数学课程目标对义务教育数学教科书编写具有重要的影响，它制约着数学教科书的结构安排，影响着教科书内容的呈现形式制约师生教与学方式的选用首先，我们可以从数学课程目标的表述中感受到学生在相应知识学习中对某些学习方式的特殊需要；其次，我们还可以透过课程目标的规定发现在相应知识教学中教师应该采用的一些必要的方法与策略为教学评价提供依据和标准一是对课堂教学评价的影响义务教育数学课程教学评价要特别关注教学目标定位是否准确、所选用的教学方法和教学手段是否有利于教学目标的实现、课堂教学既定目标的达成情况等内容，对这些内容评价的基本依据是义务教育数学课程目标二是对数学考试的制约数
11、学考试必须严格按照义务教育数学课程目标关于相应阶段学生所要掌握的数学知识、技能范围及其水平层次进行命题三是对学生发展水平评价的影响不得超越义务教育数学课程目标的规定去提出一些数学课程标准以外的要求，并作为评价学生发展水平的依据和标准14 【正确答案】 数学概念学习的基本要求有：注重引入新数学概念例如，教学反正弦函数的概念，一般是在学生学习了反函数概念的基础上，运用反函数的特征来判别正弦函数在什么条件下存在反函数的问题，从而引入反正弦函数提示数学概念的外延和内涵对于原始概念的教学，一般通过对具体事例的观察，找出某特性，并给予说明或描述，使学生认识这个原始概念所反映的对象范围和属性例如，在几何中关
12、于“点”的教学，可以让学生观察箭头的尖端，地图上用点表示城镇位置等实例，从而抽象出“点有位置而无大小” 的概念，还应说明所谓无大小关系是无足轻重的明确认识概念间的关系数学概念是随着数学知识的发展而不断发展的，学习数学概念也要在数学知识体系中不断加深认识，从数学概念问的各种关系来丰富所学概念的内容、深化所学概念的认识正确理解并能够运用数学概念的名称和符号学生学习数学概念主要是通过抽象的术语、名词、符号等信息来认识的，数学中的计算、推理、证明也多数通过抽象的符号来实现因此，教学中使学生正确理解并会正确运用数学概念的名称和符号很有必要发挥数学概念在运算、推理、证明中的理论指导作用数学运算、推理、证明
13、必须以有关概念为依据例如，确定三角函数值的符号和它的绝对值必须以三角函数的定义为依据三、解答题15 【正确答案】 (1)解：由抛物线 y=x2 一 2 可知 y=(x2 一 2)=2x所以过点(t，t 2一 2)的切线斜率为 k=y x=t=2t所以切线方程为 y 一(t 2 一 2)=2t(x 一 t)，即 y=2tx一 t2 一 2，令 y=0，则 所以 ，其中 。 (2)证明：当 n=0 时，x 1=g(x0)= 当 n=1 时，x 2=g(x1)= 当 n=k 时，x k+1=g(xk)= 因此x n为正数数列 当 xn0 时，x n+1=g(xn)= 当等号成立时， ，即 ，因为此处
14、 g(t)的定义域为 ，故上述等号不成立，因此 因为 ，故x n为单调递减数列因为函数 g(x)=在区间 上连续，在 内可导，所以由中值定理可知：在内存在一点 ，使得 即 综上所述，由可知 四、论述题16 【正确答案】 书面测验是考查学生课程目标达成状况的重要方式，合理地设计和实施书面测验有助于全面考查学生的数学学业成绩，及时反馈教学成效，不断提高教学质量(1)对于学生基础知识和基本技能达成情况的评价，必须准确把握课程内容中的要求例如，对于一元二次方程根与系数关系的考查，课程内容中的要求是“了解” ，并不要求应用这个关系解决其他问题，设计测试题目时应符合这个要求对基础知识和基本技能的考查，要注
15、重考查学生对其中所蕴含的数学本质的理解，考查学生能否在具体情境中合理应用因此，在设计试题时，应淡化特殊的解题技巧，不出偏题、怪题(2)在设计试题时，应该关注并且体现课程标准的设计思路中提出的几个核心词：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想，以及应用意识和创新意识(3)根据评价的目的合理地设计试题的类型，有效地发挥各种类型题目的功能例如，为考查学生从具体情境中获取信息的能力，可以设计阅读分析的问题；为考查学生的探究能力，可以设计探索规律的问题；为考查学生解决问题的能力，可以设计具有实际背景的问题；为了考查学生的创造能力，可以设计开放性的问题 (4)在书面
16、测验中，积极探索可以考查学生学习过程的试题，了解学生的学习过程五、案例分析题17 【正确答案】 不恰当这样引出问题的方式有点生硬，另外解答这类题目利用整式方程即可，用不到分式方程，对本课教学没有帮助18 【正确答案】 该教师引导学生建立方程的时候，没有引导学生建立引入变量之前的等量关系19 【正确答案】 南宁到昆明西站的路程为 828km，一列普通列车和一列直达快车都从南宁开往昆明直达快车的速度是普通列车速度的 15 倍，普通列车出发 2小时后，直达快车才出发，结果比普通列车先到 4 小时，求两车的速度 设普通车速度是 x 千米小时，则直达车是 15x 千米小时 由题意得方程：六、教学设计题2
17、0 【正确答案】 配方法：将一个式子(包括有理式和超越式)或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法公式法：公式法就是用求根公式去解一元二次方程因式分解法：数学中用以求解高次一元方程的一种方法把方程的一侧的数(包括未知数)，通过移项使其值化成 0，把方程的另一侧各项化成若干因式的乘积，然后分别令各因式等于 0 而求出其解的方法叫因式分解法配方法除了用于求解一元二次方程式外，还可以用于分解因式、确定代数式的最值、证明等式等21 【正确答案】 例题 1解方程：x 2+6x+8=0 解： x2+23x+32=1， (x+3) 2=1， x+3=1 或 x
18、+3=一 1， 解得 x1=一 2，x 2=一 4 例题 2用配方法解方程：x2+px+q=0(p2 一 4q0) 解：x 2+px=一 q， 例题 3用配方法证明 x2 一 4x+8 的值恒大于 0 证明：x 2 一 4x+8 =x222x+4+4 =(x 一 2)2+4 (x 一 2)20， x 24x+8 0 练习题 1用配方法解方程：(x+2) 2 一 4(x+2)+3=0 解：(x+2) 2 一22(x+2)+44+3=0， (x+2) 2 一 22(x+2)+4=1， (x+22) 2=1， x 2=1 解得x1=1， x2=一 1 练习题 2用配方法求 2x2 一 7x+2 的最
19、小值 解： 当 时，2x 27x+2 的最小值为 22 【正确答案】 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克 现该商场保证每天盈利 6000 元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元? 若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多? 解： 设每千克应涨价 x 元，则(10+x)(500 20x)=6000， 解得 x=5 或 x=10，为了使顾客得到实惠，所以 x=5 设涨价 x 元时总利润为 y，则 y=(10+x)(500 一 20x)=一 20x2+300x+5000=一 20(x 一 75)2+6125， 当 x=75 时，取得最大值，最大值为 6125 答：要保证每天盈利6000 元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价 5 元 若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价 75 元，能使商场获利最多
