1、湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 14 及答案与解析一、选择题1 若 z= =( )（A）一 2i（B）一 2+i（C） 2i（D）2+i2 某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )（A）圆柱（B）圆锥（C）四面体（D）三棱柱3 等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1=2，S 3=12，则 a6 等于( )（A）8（B） 10（C） 12（D）144 若函数 y=logax(a0，且 a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )5 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 S 的值等于( )（A）18（B） 20（C） 21（D）406 在区
2、间一 1，1 上随机取一个数 k，使直线 y=k(x+2)与圆 x2+y2=1 相交的概率为( )7 在某次体育测试中，九年级三班 6 位同学的立定跳远成绩(单位：m)分别为：171，185，185，196，210，231，则这组数据的众数和极差分别是( )（A）185 和 021（B） 211 和 046（C） 185 和 060（D）231 和 0608 l1、l 2、l 3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )（A）l 1l2，l 2l3 l1l 3（B） l1l2，l 2l 3 l1l3（C） l1l 2l 3 l1，l 2，l 3 共面（D）l 1，l 2，l 3 l1，l
3、 2，l 3 共面9 已知双曲线 =1(a0，b0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )（A）(1 ，2（B） (1，2)（C） 2，+)（D）(2 ，+)10 中心在原点 O 的椭圆左焦点为 F(一 1，0)，上顶点为(0， )，P 1，P 2，P 3 是椭圆上任意三个不同点，且P 1FP2=P2FP3=P3FP1，则 =( )（A）2（B） 3（C） 1（D）一 1二、填空题11 i 为虚数单位，设复数 z1，z 2 在复平面内对应的点关于原点对称，若 z1=2-3i，则z2=_12 某学员在一次射击测试中射靶
4、 10 次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则(1)平均命中环数为 _；(2) 命中环数的标准差为_13 若 展开式中的常数项为 60，则常数 a 的值为_14 不等式 一 x1 的解集是_15 在区间一 2，4 上随机地取一个数 x，若 x 满足xm 的概率为 ，则m=_三、解答题15 设数列a n满足：a 1=1，a n1 =3an，nN *16 求a n的通项公式及前 n 项和 Sn；17 已知b n是等差数列，T n 为其前 n 项和，且 b1=a2，b 3=a1+a2+a3，求 T2017 某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 5 名工人，其
5、中有 3 名女工人，现采用分层抽样方法(层内采用不放回随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核18 求从甲、乙两组各抽取的人数；19 求从甲组抽取的工人恰有 1 名女工人的概率；20 记 表示抽取的 3 名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望20 设 Sn 为数列 an的前 n 项和，已知 a10，2a n 一 a1=S1Sn，nN *21 求 a1，a 2，并求数列a n的通项公式；22 求数列na n的前 n 项和22 已知椭圆 =1，两焦点之间的距离为 423 求椭圆的标准方程；24 过椭圆的右顶点作直线交抛物线 y2=4x 于 A、B 两点， 求证：OAOB ； 设 O
6、A、OB 分别与椭圆相交于点 D、E，过原点 D 作直线加的垂线伽，垂足为M，证明OM为定值24 设 a0， b0，已知函数 f(x)= 25 当 ab 时，讨论函数 f(x)的单调性；26 当 x0 时，称 f(x)为 a，b 关于 x 的加权平均数判断 f(1)，；a 、b 的几何平均数记为 G，称 为 a、b 的调和平均数，记为 H，若 Hf(x)G，求 x 的取值范围湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 14 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 z= =2+i2 【正确答案】 A【试题解析】 圆柱的正视图是矩形，则该几何体不可能是圆柱3 【正确答案】 C
7、【试题解析】 设等差数列a n的公差为 d，则 S3=3a1+3d，所以 12=32+3d，解得d=2，所以 a6=a1+5d=2+52=12，故选 C4 【正确答案】 B【试题解析】 因为函数 y=logax 过点(3，1)，所以 1=loga3，解得 a=3，所以 y=3x不可能过点(1，3) ，排除 A；y=(一 x)3=一 x3 不可能过点(1，1)，排除C；y=log 3(一 x)不可能过点(一 3，一 1)，排除 D，故选 B5 【正确答案】 B【试题解析】 S=0，n=1，S=0+2 1+1=3，n=2，因为 315 不成立，执行循环：S=3+22+2=9，n=3，因为 915
8、不成立，执行循环：S=9+2 3+3=20，n=4，因为2015 成立，停止循环，输出 S 的值等于 20，故选 B6 【正确答案】 C【试题解析】 圆 x2+y2=1 的圆心为(0，0)，圆心到直线 y=k(x+2)的距离为 ，要使直线 y=k(x+2)与圆 x2+y2=1 相交，则 ，在区间一 1，1 上随机取一个数 k，使直线 y=k(x+2)与圆 x2+y2=1 有公共点的概率为P= ，故选 C7 【正确答案】 C【试题解析】 在该组数据中只有 185 出现了两次，其它的数据都只出现了一次，因此本组数据的众数是 185；极差就是极大值和极小值之差，在本组数据中，最大值是 231，最小值
9、是 171，因此极差是 231171=060；综上所述：本组数据中的众数和极差分别是 185 和 0608 【正确答案】 B【试题解析】 由 l1l2，l 2l 3，根据异面直线所成角可知 l1 与 l3 所成角为 90，选 B9 【正确答案】 C【试题解析】 已知双曲线 =1(a0，b0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ， 4，e2 ，故选 C10 【正确答案】 A【试题解析】 设椭圆方程为 =1，从而求得 c=1，b= ，从而求得 a=2，故所求得的椭圆方程为 =1，设椭圆的右顶点为 A，并设AF
10、P i=i(i=1，2，3) ，不失一般性，假设 01 ，设点 Pi 在左准线 l 上的射影为 Qi，因椭圆离心率 e= ，二、填空题11 【正确答案】 一 2+3i 【试题解析】 由复数的几何意义知，z 1，z 2 的实部，虚部均互为相反数，故 z2=一2+3i12 【正确答案】 7，2【试题解析】 (1)由公式知，平均数为 (7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7；(2)由公式知，s 2= (0+1+0+4+4+9+4+9+0+9)=4 s=213 【正确答案】 4【试题解析】 二项式 展开式的通项公式是 Tr1 =C6rx6r，当 r=2 时，T r1 为常数项，即常数项是C62
11、a，根据已知 C62A=60，解得 a=414 【正确答案】 0，2【试题解析】 原不等式，不等式的解集为0 ，215 【正确答案】 3【试题解析】 由几何概型知： m=3三、解答题16 【正确答案】 由题设知a n是首项为 1，公比为 3 的等比数列，所以an=3n1 ，S n= (3n1)17 【正确答案】 b 1=a2=3，b 3=a1+a2+a3=1+3+9=13，b 3 一 b1=10=2d，所以数列b n的公差 d=5故 T20=203 5=101018 【正确答案】 由于甲组有 10 名工人，乙组有 5 名工人，根据分层抽样原理，若从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核，则
12、从甲组抽取 2 名工人，乙组抽取 1 名工人19 【正确答案】 记 A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人，则 P(A)=20 【正确答案】 的可能取值为 0，1，2，3A i 表示事件：从甲组抽取的 2 名工人中恰有 i 名男工人，i=0，1，2B 表示事件：从乙组抽取的是 1 名男工人A i与 B 独立， i=0，1，2故 的分布列为： 期望值为：E=0P(=0)+1P(=1)+2P(=2)+3P(=3)= 21 【正确答案】 令 n=1，得 2a1 一 a1=a12，即 a1=a12 因为 a10，所以 a1=1 令n=2，得 2a21=S2=1+a2，解得 a2=2 当 n
13、2 时，由 2an 一 1=Sn，2a n1 1=Sn1 ，两式相减得 2an 一 2an1 =an，且 an=2an1 于是数列 an是首项为 1，公比为 2 的等比数列，因此，a n=2n1 所以数列a n的通项公式为 an=2n1 22 【正确答案】 由上问可知，na n=n2 n1 记数列n2 n1 的前 n 项和为 Bn，于是 B n=1+22+322+n2n1 ， 2B n=12+222+323+n2n 一得 =Bn=1+2+22+2n1 一 n2 n =2n 一 1 一 n2 n 从而 Bn=1+(n 一 1)2 n23 【正确答案】 由 ，故 b2=a2 一 c2=12所以所求
14、椭圆的标准方程为 =124 【正确答案】 证明：设过椭圆的右顶点 (4，0)的直线 AB 的方程为x=my+4代入抛物线方程 y2=4x，得 y2 一 4my 一 16=0设 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，则=x1x2+y1y2=(my1+4)(my2+4)+y1y2=(1+m2)y1y2+4m(y1+y2)+16=0OAOB解：设 D(x3，y 3)，E(x4，y 4)，直线 DE 的方程为 x=ty+，代入 =1，得(3t 2+4)y2+6ty+32 一48=0于是 y3+y4= 从而 x3x4=(ty3+)(ty4+)= ODOE，x 3x4+y3y4=0代入，整理得 72=48(t2+1)原点到直线DE 的距离 d= 为定值25 【正确答案】 f(x)的定义域为( 一，一 1)(一 1，+) ，f (x)=当 ab 时，f (x)0，函数 f(x)在(一，一 1)，(一 1， +)上单调递增；当 0b 时，f (x)0，函数 f(x)在(一 ，一 1)，( 一 1，+)上单调递减26 【正确答案】
