1、湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题1 定义集合运算：A*B=zz=xy ，x A，yB，设 A=1，2，B=0 ，2，则集合 A*B 的所有元素之和为( )（A）0（B） 2（C） 3（D）62 由方程 =1 确定的函数 y=f(x)在( ，)上是( )（A）奇函数（B）偶函数（C）减函数（D）增函数3 4 张卡片上分别写有数字 1，2，3，4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )4 =( )（A）12（B） 1（C） 25（D）145 已知三次函数的图象如图所示，则该函数的导函数的图象是( )6 已
2、知全集 U=R，集合 A=xx10 ，B=x x30，那么集合=( )（A）x 1x3（B） x-1x3（C） xx1（D）x x 37 设 i 是虚数单位，则 ( )8 某校高三一班有学生 54 人，二班有学生 42 人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出 16 人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( )（A）8，8（B） 10，6（C） 9，7（D）12，49 设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，P(X1)=p，则 P(X1)=( )（A）p（B） 1 一 p（C） 12p（D）2p10 已知直线 l平面 ，直线 m 平面 ，有下面四个命题：其中正确的命题( )（A）(1
3、)(2)（B） (2)(4)（C） (1)(3)（D）(3)(4)二、填空题11 已知(x 2 )6 的展开式中常数项为 240，其中 a 是小于零的常数，则展开式中各项系数之和为_12 抛物线 C 的顶点在原点，对称轴为 y 轴，若过点 M(0，1) 任作一条直线交抛物线 C 于 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，且 x1x2=一 2，则抛物线 C 的方程为_13 已知变量 x，y 满足 ，若目标函数 z=ax+y(a0)仅在(4，2) 处取得最大值，则 a 的取值范围是 _14 在三棱锥 V-ABC 中，VA底面 ABC， ABC=90，若 VA=1，AB=2 ，BC=3，则三棱锥
4、外接球的表面积为_15 f(x)=cos(x一 )的最小正周期为 ，其 0，则 =_三、解答题16 在数列a n中，a 1=1，当 n2时，其前 n 项和 Sn 满足：S n2=an(Sn 一 )(1)求an；(2)令 bn= ，求数列的前项和 Tn16 如图，曲线 C1 是以原点 O 为中心，F 1，F 2 为焦点的椭圆的一部分，曲线 C2 是以 O 为顶点，F 2 为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线 C1 和 C2 的交点且 AF2F1 为钝角，若 17 求曲线 C1 和 C2 的方程；18 设点 C 是 C2 上一点；若CF 1= CF 2，求 CF1F2 的面积18 已知函数 f(x)
5、= x3 一 x2+ax+b 的图象在点 P(0，f(0)处的切线方程为 y=3x 一219 求实数 a， b 的值；20 设 g(x)=f(x)+ 是2，+) 上的增函数，求实数 m 的最大值20 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， BAD=60，Q 为 AD 的中点 21 若 PA=PD，求证：平面 PQB平面 PAD22 点 M 在线段 PC 上，PM=tPC ，试确定 t 的值，使 PA平面 MQB；23 接上题的条件下若平面 PAD平面 ABCD，且 PA=PD=AD=2，求二面角 M-BQC 的大小23 已知函数 f(x)= 的图象过坐标原点 O，且在点(一
6、1，f(一 1)处的切线的斜率是一 524 求实数 b，c 的值；25 求 f(x)在区间一 1，2上的最大值；26 对任意给定的正实数 a，曲线 y=f(x)上是否存在两点 P、Q，使得POQ 是以 O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在 y 轴上?说明理由湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A*B=0，2，4，故选 D2 【正确答案】 C【试题解析】 方程 ，即 yy=1一 xx= 对表达式研究知，当 x0，y0 时，原式化为x2+y2=1，当 x0，y0 时，原式化为 x2 一 y2=1，当 x0，y
7、0 时，原式化为 y2 一 x2=1， 当 x0，y0 时，无意义，由以上等式作图，结合图象知函数 y=f(x)是减函数，应选 C3 【正确答案】 C【试题解析】 依题意要使取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数，则取出的 2 张卡片上的数字必须一奇一偶，所以取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率 P=4 【正确答案】 A【试题解析】 。选 A5 【正确答案】 A【试题解析】 由函数的图象可知函数在(一，一 1)上为增函数，在(一 1，1)上为减函数，在(1，+)上为增函数， 其导函数的函数值在(一，一 1)和(1，+)上为正数，在(一 1，1) 上为负数，符合的是选项 A故选 A6 【正确
8、答案】 A【试题解析】 A=xx+10=xx一 1，B= xx 一 30= xx3，则 =xx一 1画出数轴可以求得答案为 A7 【正确答案】 C【试题解析】 ，故选 C。8 【正确答案】 C【试题解析】 一班被抽取的人数是 16 =9 人；二班被抽取的人数是 16 =7 人，故选 C9 【正确答案】 B【试题解析】 P(X 一 1)=P(X1)，则 P(X一 1)=1 一 p故选 B10 【正确答案】 C【试题解析】 对于(1)，由 l， ，所以lm，故 (1)正确；直线 l， ， l ，或 ，l 与 m 可能平行，也可能相交，也可能异面，故(2)错误；l ，l m，m，m 平面，故(3)正
9、确；l ，lm，m 或 ，则 与 可能平行，也可能相交，故(4)错误；故选 C二、填空题11 【正确答案】 1【试题解析】 根据 Tr1 =Cnranr br，得 Tr1 =C6r (x2)6r ( )r=C6rarx 123r ，令 123r=0 得 r=4，求展开式常数项 T5=C64(x2)2( )4=240，得15a4=240，a 4=16，因为 a0，所以 a=一 2，原二项式为(x 2 一 )6，求展开式中各项系数和只需令 x=1，即(12) 6=112 【正确答案】 x 2=2y 【试题解析】 设抛物线 C 的方程为 x2=2py，直线方程 y=kx+1，联立方程，整理得 x2
10、一 2pkx 一 2p=0，x 1+x2=2pk，x 1x 2=一 2p=一 2，得P=1，即抛物线方程为 x2=2y13 【正确答案】 a 1【试题解析】 如图所示，不等式组表示的区域为阴影部分，因为目标函数z=ax+y(a0)仅在(4 ，2)处取最大值，所以有 4a+26，即 a114 【正确答案】 14【试题解析】 如图所示，连结 OO、O B 和OB，VAAC，OO AC，VAOO ，又O 为 AC 中点，O 为 VC 中点，即 VC 为球的直径 2RVA=1，AB=2，BC=3 ， ， S 球=4R2=4 =1415 【正确答案】 10【试题解析】 T= ，解得 =10三、解答题16
11、 【正确答案】 (1)当 n2时，a n=Sn 一 Sn1 ，(2)17 【正确答案】 设曲线 C1 的方程为 =1(ab0)，则2a=AF 1+ AF 2= =6 得 a=3，设 A(x， y)，F 1(一 c，0)，F 2(c，0)，则(x+c)2+y2= ，(x 一 c)2+y2= ，两式相减可得：xc= ，由抛物线定义可知AF 2=x+c= ，c=1， ，(AF 2F1 为钝角，舍去)所以曲线 C1 的方程为 ，C 2 的方程为 y2=4x(0x )；18 【正确答案】 过点 F1 作直线 l 垂直于 x 轴，过点 C 作直线 CC1l 于点 C1，依题意知 l 为抛物线 C2 的准线
12、，则CC 1=CF 2在直角 CC1F1 中，CF 1=CC 1， C1CF1=45，CF 1F2=C1CF1=45， 在 CF1F2 中，设CF 2=r ，则CF 1= r，F 1F2=2由余弦定理可得 22+2r222 cos45=r2，r=2 =219 【正确答案】 求函数 f(x)= x3 一 x2+ax+b 的导函数得 f(x)=x22x+a函数f(x)在点 P(0， f(0)处的切线方程为 y=3x 一 2，20 【正确答案】 由上问可知 f(x)= x3 一 x2+3x 一 2，故有 g(x)=f(x)+，又g(x)在2，+) 上是增函数， g(x)0在2 ，+)上恒成立即 x2
13、 一 2x+3 一 0在2，+) 上恒成立，设 (x 一 1)2=t，则由 x2，+)得 t1，+)，亦即有 t 一+20在1，+)上恒成立当 m0时，不等式 t 一 +20在1，+)上恒成立当 m0 时，令 y=t 一+2在1，+)上单调递增，因此 ymin=3 一 m， ymin10，3 一 m0即 m3，又 m0，m (0，3 ，综上，m(一，3，即 m 的最大值为 321 【正确答案】 证明：连接 BD，四边形 ABCD 为菱形， BAD=60，ABD为正三角形，Q 为 AD 中点，ADBQ，PA=PD，Q 为 AD 的中点，ADPQ，又 BQPQ=Q，AD平面 PQB，AD 平面 P
14、AD，平面 PQB平面 PAD22 【正确答案】 当 t= 时，使得 PA平面 MQB，连 AC 交 BQ 于 N，交 BD于 O，连接 MN，则 O 为 BD 的中点，又BQ 为 ABD 边 AD 上中线，N 为正二三角形 ABD 的中心，令菱形 ABCD 的边长为 a，则 又PA平面 MQB，PA 平面 PAC，平面 PAC平面MQB=MN，PAMN，23 【正确答案】 由 PA=PD=AD=2，Q 为 AD 的中点，则 PQAD，又平面 PAD平面 ABCD，所以 PQ平面 ABCD，以 Q 为坐标原点，分别以 QA、QB 、QP 所在的直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的坐标系，则各
15、点坐标为 A(1，0，0)，8(0， ，0) ， 0(0，0，0)，P(0 ，0， )则 ，设平面 MQB 的法向量为 n=(x，y，z)，可得 二面角 M-BQ-C 的大小为 6024 【正确答案】 当 x1 时，f(x)=一 x3+x2+bx+c，则 f(x)=一 3x2+2x+b依题意得解得 b=c=025 【正确答案】 由上问可知，f(x)= 当一 1x1 时，f (x)=一3x2+2x=一 3x(x 一 )令 f(x)=0 得 x=0 或 x= 当 x 变化时 f(x)，f(x)的变化情况如下表：又 f(一 1)=2， ，f(0)=0， f(x)在一 1，1)上的最大值为 2当 1x
16、2时，f(x)=alnx当 a0时，f(x)0 ，f(x)最大值为 0；当 a0 时，f(x)在1，2上单调递增，f(x) 在1，2最大值为 aln2综上，当 aln22时，即 a 时，f(x)在区间一 1，2 上的最大值为 2；当 aln22 时，即 a 时，f(x)在区间一 1，2上的最大值为 aln226 【正确答案】 假设曲线 y=f(x)上存在两点 P、Q 满足题设要求，则点 P、Q 只能在 y 轴两侧不妨设 P(t，f(t)(t0)，则 Q(一 t，t 3+t2)，显然 t1POQ 是以 O为直角顶点的直角三角形， =0，且一 t2+f(t)(t3+t2)=0(1)若方程(1)有解
17、，存在满足题设要求的两点 P、Q；若方程(1)无解，不存在满足题设要求的两点P、Q若 0t 1，则 f(t)=一 t3+t2 代入(1)式得：一 t2+(一 t3+t2)(t3+t2)=0，即 t4 一t2+1=0，而此方程无解，因此 t1，此时，f(t)=alnt，代入(1)式得：一 t2+(alnt)(t3+t2)=0 即 =(t+1)lnt(2)，令 h(x)=(x+1)lnx(x1)，则 h(x)=lnx+ 一+10，h(x)在1， +)上单调递增， t1， h(t)h(1)=0 h(t)的取值范围是(0，+) 对于a0，方程(2)总有解，即方程(1)总有解因此，对任意给定的正实数 a，曲线y=f(x)上存在两点 P、Q，使得 POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在 y 轴上
