1、湖南省教师公开招聘考试（中学数学）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题1 的倒数是( )2 下列几何体中主视图、左视图、俯视图完全相同的是( )（A）圆锥（B）六棱柱（C）球（D）四棱锥3 一组数据 3，3，4，2，8 的中位数和平均数分别是( )（A）3 和 3（B） 3 和 4（C） 4 和 3（D）4 和 44 平行四边形的对角线一定具有的性质是( )（A）相等（B）互相平分（C）互相垂直（D）互相垂直且相等5 下列计算正确的是( )（A）（B） (ab)2=ab4（C） 2a+3a=6a（D）aa 3=a46 如图，C 、D 是线段 AB 上两点，D 是线段 AC 的中点，若AB=10
2、cm，BC=4cm，则 AD 的长等于( )（A）2cm（B） 3cm（C） 4cm（D）6cm7 一个关于 x 的一元一次不等式组在数轴上的解集如图所示，则此不等式组的解集是( )（A）x1（B） x1（C） x3（D）x38 如图，已知菱形 ABCD 的边长等于 2， DAB=60，则对角线 BD 的长为( )（A）1（B）（C） 2（D）9 下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转 120后能与原图形完全重合的是( )10 函数 y= 与函数 y=ax2(a0)在同一坐标系中的图像可能是( )二、填空题11 若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x+y 的最小
3、值是_12 在ABC 和，A=60，AC=4，BC= ，则ABC 的面积等于_13 下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积是_14 若a n为等差数列，a 3，a 10 是方程 x2 一 3x-5=0 的两根，则 a5+a8=_三、解答题14 已知数列a n前 n 项和 Sn= ，nN *15 求数列a n的通项公式；16 设 bn=2an+(一 1)nan，求数列b n的前 2n 项和16 某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：17 若某组成功研发一种新产品，则给该组记 1 分，否则记 0 分，试计算甲、乙两组研发新产品的成
4、绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；18 若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率18 如图 4，在平面四边形 ABCD 中，DAAB，DE=1，EC= ，EA=2 ，19 求 sinCED 的值；20 求 BE 的长20 如图 5，O 为坐标原点，双曲线 C1： =1(a10，b 10)和椭圆 C2：=1(a2b 20)均过点 P( ，1)，且以 C1 的两个顶点和 C2 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形21 求 C1，C 2 的方程；22 是否存在直线 l，使得 l 与 C1 交于 A，B 两点，与 C2 只有一个公共点，且?证明你的结
5、论22 已知函数 f(x)=xcosxsinx+1(x0)23 求 f(x)的单调区间；24 记 xi 为 f(x)的从小到大的第 i(iN*)个零点，证明：对一切 nN*，有湖南省教师公开招聘考试（中学数学）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A2 【正确答案】 C【试题解析】 球体的主视图，左视图，俯视图都是圆形3 【正确答案】 B【试题解析】 因为数列为奇数列，把数按从小到大排列，中位数取中间的数，即为 3；平均数= =44 【正确答案】 B【试题解析】 由平行四边形的对角线互相平分可得答案5 【正确答案】 D【试题解析】 A被开方数不能相加，故 A 错误；B积的乘方等于
6、每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故 B 错误；C系数相加字母部分不变，故 C 错误故选 D6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 AB=10cm，BC=4cm，所以 AC=6cm，又因为 D 是 AC 的中点，所以 AD=3cm7 【正确答案】 C【试题解析】 由图可知 x38 【正确答案】 C【试题解析】 因为菱形的四边相等，所以 AD=AB，又因为DAB=60，所以BD=AD=AB=29 【正确答案】 A【试题解析】 A最小旋转角度为 =90；C最小旋转角度为： =72；故选 A10 【正确答案】 D【试题解析】 当 a0 时，y= 的图像在第一、三象限，y=ax 2 的图像在第一、二
7、象限，开口向上；当 a0 时，y= 的图像在第二、四象限，y=ax 2 的图像在第三、四象限，开口向下，可知 D 选项正确二、填空题11 【正确答案】 1【试题解析】 可行域为如图所示的阴影部分，当目标函数 z=3x+y 经过点 A(0，1)时，z=3x+y 取得最小值 zmin=30+1=112 【正确答案】 【试题解析】 在ABC 中，根据正弦定理，得 ，解得 sinB=1，因为 B(0，120)，所以 B=90，所以 C=30，所以ABC 的面积SABC=13 【正确答案】 8【试题解析】 根据三视图，由几何体的定义知：该几何体是底面半径为 2，母线长为 3 的圆柱，从中挖掉一个同底等高
8、的圆锥，圆柱的体积为 322=12，圆锥的体积为 223=4，故此空间几何体的体积为 12 一 4=8故答案为 814 【正确答案】 3【试题解析】 a 3，a 10 是方程 x23x 一 5=0 的两根，a3+a10=3，a 5+a8=a3+a10=3三、解答题15 【正确答案】 当 n=1 时，a 1=S1=1；当 n2 时，a n=Sn 一 Sn1 =n故数列a n的通项公式为 an=n16 【正确答案】 由上问可知，b n=2n+(一 1)nn记数列b n的前 2n 项和为 T2n，则T2n=(21+22+22n)+(一 1+23+4 一+2n)记 A=21+22+22n，B=一 1+
9、23+4一+2n ，则 A= =22n1 一 2，B=(1+2)+(一 3+4)+一(2n 一 1)+2n=n；故数列 bn的前 2n 项和 T2n=A+B=22n1 +n 一 217 【正确答案】 甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1其平均数为 ；方差为 s 甲 2= ；乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，118 【正确答案】 记 E=恰有一组研发成功 在所抽得的 15 个结果中，恰有一组研发成功的结果是 共 7个，故事件 E 发生的频率为 将频率视为概率，即得所求概率为 P(E)= 19 【正确答案】 设
10、CED=在 CDE 中，由余弦定理得 EC2=CD2+DE2 一2CDDEcos EDC于是由题设知，7=CD 2+1+CD，即 CD2+CD 一 6=0解得CD=2(CD=一 3 舍去) 在 CDE 中，由正弦定理，得 于是，sin= 20 【正确答案】 21 【正确答案】 设 C2 的焦距为 2c2，由题意知， 2c2=2，2a 1=2，从而a1=1，c 2=1，因为点22 【正确答案】 不存在符合题设条件的直线若直线 l 垂直于 x 轴，即直线 l的斜率不存在，因为 l 与 C2 只有一个公共点，所以直线 l 的方程为若直线 l 不垂直于 x 轴，即直线l 的斜率存在，设 x 的方程为
11、y=kx+m由 得(3k 2)x22kmxm 23=0当 l 与 C1 相交于 A，B 两点时，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1，x 2 上述方程的两个实根，从而 x1+x2= 于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2= 由 得(2k 23)x24kmx2m 26=0因为直线 l 与 C2 只有一个公共点，所以上述方程的判别式=16k2m2 一 8(2k2+3)(m2 一 3)=0化简，得 2k2=m23，因此综合可知，不存在符合题设条件的直线23 【正确答案】 f (x)=cosx 一 xsinx 一 cosx=一 xsinx 令 f(x)=0，得 x=k(
12、kN*) 当 x(2k，(2k+1)，)(kN) 时，sinx0，此时 f(x)0； 当 x(2k+1)，(2k+2)(kN)时，sinx0，此时 f(x)0 故 f(x)的单调递减区间为(2k，(2k+1)(k N)，单调递增区间为(2k+1) ，(2k+2)(kN)24 【正确答案】 由上问可知 f(x)在区间(0 ，)上单调递减，又当 nN*时，因为 f(n)f(n+1)，)=(一 1)nn+1(一 1)n1 (n+1)+10，且函数 f(x)的图象是连续不断的，所以 f(x)在区间(n，(n+1)内至少存在一个零点，又 f(x)在区间(n，(n+1)上是单调的，故 nx n1 (n+1)
