1、湖南省教师公开招聘考试（中学数学）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题1 已知 a，bR，i 是虚数单位，若 a 一 i 与 2+bi 互为共轭复数，则(a+bi) 2=( )（A）54i（B） 5+4i（C） 3-4i（D）3+4i2 设全集 U=R，集合 A=xx 2+x-20，B=xx 2 一 2x-30 ，则 =( )（A）-2，1)（B） 一 2，3)（C） (1，3)（D）(一 1，13 函数 f(x)= 的定义域为( )4 用反证法证明命题“ 设 a，b 为实数，则方程 x3 ax+b=0 至少有一个实根”时，要做的假设是( )（A）方程 x3ax+b=0 没有实根（B）方程 x
2、3+ax+b=0 至多有一个实根（C）方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根（D）方程 x3ax+b=0 恰好有两个实根5 计算 sin43cos13一 cos43sin13的结果等于( )6 直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )（A）（B）（C） 2（D）47 有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本，若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率为( )8 已知函数 f(x)=x-2+1，g(x)=kx，若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是( )（A）(0 ， )（B
3、） ( ，1)（C） (1，2)（D）(2 ，+)9 一名射击运动员连续打靶 8 次，命中的环数如图所示，这组数据的众数与中位数分别为( )（A）9 与 8（B） 8 与 9（C） 8 与 85（D）85 与 910 已知 ab 0，椭圆 C1 的方程为=1，C 1 与 C2 的离心率之积为 ，则C2 的渐近线方程为( )（A）x =0（B） +y=0（C） x2y=0（D）2xy=0二、填空题11 复数 (i 为虚数单位)的实部等于_12 在平面直角坐标系中，曲线 C： (t 为参数) 的普通方程为_13 若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为_14 平面上一机器人在行
4、进中始终保持与点 F(1，0)的距离和到直线 x=一 1 的距离相等，若机器人接触不到过点 P(一 1，0)且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围是_15 若 f(x)=ln(e3x+1)+ax 是偶函数，则 a=_三、解答题16 已知函数 f(x)=4cosxsin(x+ )一 1(1) 求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间上的最大值和最小值17 已知 f(x)= (x一 1)，求 f(0)17 设等差数列a n的公差为 d，点(a n，b n)在函数 f(x)=2x 的图象上(n N*)18 若 a1=一 2，点(a 8，4b 7)在函数 f(x)的图象上，求数列a n的前
5、 n 项和 Sn；19 若 a1=1，函数 f(x)的图象在点(a 2，b 2)处的切线在 x 轴上的截距为的前 n 项和 Tn20 如图，已知四棱锥 PABCD 的底面为等腰梯形，AB CD，AC BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点 (1)求证：PEBC；(2) 若APB= ADB=60，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值20 已知函数 f(x)=x3+3xa(a R)21 若 f(x)在一 1，1上的最大值和最小值分别记为 M(a)，m(a)，求 M(a)一 m(a)；22 设 bR，若f(x)+b 24 对 x一 1，1恒成立，求 3a+b 的取值范围湖南
6、省教师公开招聘考试（中学数学）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 根据已知得 a=2，b=1 ，所以 a+bi)2=(2+i)2=3+4i2 【正确答案】 D【试题解析】 A=(1+)(一 ，一 2)，B=(一 1，3)， =(一 1，13 【正确答案】 C【试题解析】 (log 2x)2 一 10，即 log2x1 或 log2x一 1，解得 x2 或0x ，故所求的定义域是(0， )(2，+)4 【正确答案】 A【试题解析】 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3+ax+b=0 没有实根”5 【正确答案】 A【试题解析】 sin43cos1
7、3一 cos43sinl3=sin(43一 13)= 6 【正确答案】 D【试题解析】 由 4x=x3，解得 x=0 或 x=2 或 x=一 2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为 02(4x 一 x3)dx=(2x2 一 x4) 02=47 【正确答案】 C【试题解析】 A 55=5！=120，只语文相邻或数学相邻 122=24，语文、数学相邻A334=24，P= 8 【正确答案】 B【试题解析】 在同一坐标系中分别画出函数 f(x)，g(x)的图象如图所示，方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两
8、个不同的交点，结合图象可知，当直线 y=kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线 y=x 一 1的斜率时符合题意，故 k19 【正确答案】 C【试题解析】 一组数据中出现次数最多的数值，叫众数。故由图 1 可知，众数为8，将统计总体当中的各个变量值按大小顺序排列起来，形成一个数列，处于变量数列中间位置的变量值或中间两个值的平均数就称为中位数故中位数为 8510 【正确答案】 A【试题解析】 椭圆 C1 的离心率为，所以 a4b4= a4，即 a4=4b4，所以 a= b，所以双曲线 C2 的渐近线方程是 y=0二、填空题11 【正确答案】 一 3 【试题解析】 直接运算得 =
9、一(3+i)=一 3 一 i，故实部为一 312 【正确答案】 x 一 y 一 1=0【试题解析】 直接化简，两式相减消去参数 t 得，x 一 y=1，整理得普通方程为x 一 y 一 1=013 【正确答案】 7【试题解析】 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示是一个三角形，三个顶点坐标分别为 A(1，1)，B(2，2)，C(3 ，1) ，画出直线 2x+y=0，平移直线2x+y=0 可知， z 在点 C(3，1)处取得最大值，所以 Zmax=23+1=714 【正确答案】 (一，一 1)(1，+) 【试题解析】 由题意可知机器人的轨迹为一抛物线，其轨迹方程为 y2=4x，过点P(一
10、 1，0)且斜率为 k 的直线方程为 y=k(x+1)，由题意知直线与抛物线无交点，联立消去 y 得 k2x2+(2k2 一 4)x+k2=0，则=(2k 2 一 4)2 一 4k20，所以 k21，得k1 或 k一 115 【正确答案】 【试题解析】 函数 f(x)=ln(e3x+1)+ax 为偶函数，故 f(一 x)=f(x)，即 ln(e3x +1)一ax=ln(e3x+1)+ax，化简得 =e2ax，整理得e3x+1=e2ax3x (e3x+1)，所以 2ax+3x=0，解得 a= 三、解答题16 【正确答案】 (1)(2)17 【正确答案】 f(x)= =x(x+5)，f (x)=2
11、x+5，f (0)=518 【正确答案】 由已知，b 1=2a1，b 8=2a8=4b7，有 2a8=42a7=2a72 ，解得 d=a8 一a7=2所以，S n=na1+ d=一 2n+n(n 一 1)=n2 一 3n19 【正确答案】 函数 f(x)=2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为 y 一 2a2=(2a2ln2)(x 一 a2)，它在 x 轴上的截距为 a2 一 由题意，a 2 一 ，解得 a2=2。所以，d=a2 一 a1=1从而 an=n，b n=2n，20 【正确答案】 证明：以 H 为原点，HA，HB，HP 分别为 x，y，z 轴，设线段HA 的长为单位长，建立空间直角
12、坐标系如图，则 A(1，0，0)，B(0，1，0)(1)设 C(m，0，0)，P(O，0，n)(m0，n0)，(2)由已知条件可得 m= ，n=1，21 【正确答案】 因为 f(x)= ，所以 f(x)= 由于一 1x1，当 a一 1 时，有 xa，故 f(x)=x3+3x 一3a，此时 f(x)在( 一 1，1)上是增函数，因此，M(a)=f(1)=43a ，m(a)=F(一 1)=一43A，故 M(a)一 m(a)=(43a)一(一 43a)=8当一 1a 1 时，若 x(0，1)，f(x)=x3+3x 一 3a，在(a，1)上是增函数；若 x(一 1，a) ，f(x)=x 3 一 3x+
13、3a，在(一1，a) 上是减函数，所以，M(a)=maxf(1) ，f(一 1)，m(a)=f(a)=a 3由于 f(1)一 f(一1)=一 6a+2，因此，当一 1a 时，M(a) 一 m(a)=一 a3 一 3a+4；当 a 1 时，M(a)一 m(a)=一 a3+3a+2当 a1 时，有 xa，故 f(x)=x3 一 3x+3a，此时 f(x)在(一 1， 1)上是减函数，因此，M(a)=f(一 1)=2+3a，m(a)=f(1)= 一 2+3a，故 M(a)一m(a)=(2+3a)一(一 2+3a)=4综上 M(a)一 m(a)= 22 【正确答案】 令 h(x)=f(x)+b，则因为
14、f(x)+b 24 对x一 1，1恒成立，即一 2h(x)2 对 x一 1，1恒成立，所以由(1)知， 当 a一 1 时，h(x) 在(一 1，1)上是增函数， h(x)在一 1，1上的最大值是 h(1)=43a+b，最小值是 h(一 1)=一 43a+b，则一 43a+b一 2 且 43a+b2，矛盾；当一 1a 时，h(x) 在一 1，1上的最小值是 h(a)=a3+b，最大值是 h(1)=43a+b，所以 a3+b一 2 且 43a+b2，从而一 2a3+3a3a+b6a2 且 0a 令t(a)=一 2 一 a3+3a，则 t(a)=33a20，t(a) 在(0， )上是增函数，故 t(a)t(0)=一2，因此一 23a+b0；当 a1 时，h(x)在一 1，1上的最小值是 h(a)=a3+b，最大值是 h(一 1)=3a+b+2，所以 a3+b一 2 且 3a+b+22，解得3a+b0；当 a1 时，h(x)在一 1，1 上的最大值是 h(一 1)=2+3a+b，最小值是 h(1)=一 2+3a+b，所以 3a+b+22 且 3a+b2一 2，解得 3a+b=0综上，得3a+b 的取值范围是一 23a+b0
