1、中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 1及答案与解析一、单项选择题1 函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与 y=ex 关于 y 轴对称，则 f(x)=( )。（A）e x+1 （B） ex1（C） ex+1 （D）e x12 设 其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是( )。（A）2 （B） 2（C） 2 （D）23 执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为( )。4 函数 f(x)=sinxcosx 的最小正周期为( )。（A）2 （B） （C） 2 （D）45 设三阶矩阵 ，若的伴随矩阵的秩为 1，则必有( )。（A）a=b 或 a+2b=0
2、 （B） a=b 或 a+2b0（C） ab 且 a+2b=0 （D）ab 且 a+2b06 曲线 y= 和直线 y=x 及 y=2 所围成的图形的面积为 ( )。（A）1 （B） （C） 1ln2 （D） 7 下列命题不是义务教育数学课程标准(2011 年版)中规定的“图形与几何” 领域的“基本事实 ”的是( ) 。（A）两点之间线段最短（B）过一点有且只有一条直线与这条直线垂直 （C）三边分别相等的两个三角形全等（D）两条平行直线被第三条直线所截同位角相等8 “数学是一种文化体系。” 这是数学家( )于 1981 年提出的。（A）华罗庚 （B）柯朗（C）怀尔德 （D）王见定二、简答题9 计
3、算二重积分 其中积分区域 D=(x，y)x 2+y2。10 求幂级数 (x1)的和函数 f(x)及其极值。11 在某次考试中共有 12 道选择题，每道选择题有 4 个选项，其中只有一个是正确的。评分标准规定：“ 每题只选一项，答对得 5 分，不答或答错得 0 分。” 某考生每道题都给出一个答案，已确定有 9 道题的答案是正确的，而其余题中，有一道题可判断出两个选项是错误的，有一道可判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜。试求出该考生：(1)选择题得 60 分的概率；(2)选择题所得分数 的数学期望。12 “数学课程目标 ”从根本上明确了哪些问题 ?13 下列框图反映了数列与其他学
4、科内容之间的关系，请用恰当词语补充完整。三、解答题14 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，且满足 ab(x)dtaxg(x)dt，xa，b)， abf(t)dt=abg(t)dt 证明： abxf(x)dxabxg(x)dx。四、论述题15 “数学学科内涵 ”是影响初中数学课程的主要因素之一。请以一元二次方程为例论述数学学科内涵的主要含义。五、案例分析题16 案例：阅读下列两个教师有关有理数乘方的教学片段。 甲教师导入的教学过程：教师甲在大屏幕上依次呈现问题 1(已知正方形的边长为 a，则它的面积是多少?) 和问题 2(已知正方体的棱长为 a，则它的体积是多少 ?)。待同学回答后，教师
5、出示结果：边长为 a 的正方形的体积为 aa，简记作 a2，读作 a 的平方(或二次方)；棱长为 a 的正方体的体积为 aaa，简记作 a3，读作 a 的立方(或三次方)。 然后教师甲提出问题 3：请大家动手折一折，一张报纸对折一次后，报纸几层?如果对折两次、三次呢?每一次对折后的层数与上一次对折层数的关系是什么? 层数和对折的次数之间有什么关系? 学生折叠并思考，教师巡视并提问。归纳出每一次对折后的层数都是上一次对折层数的 2 倍，概括了层数和对折次数的关系及表示方法，填入下表中：接下来，甲教师引出乘方的相关概念(大屏幕显示)：一般地，把 n 个相同的因数 a相乘的运算叫做乘方运算，把 aa
6、a(n 个 a)简记作 an，读作 a 的 n 次方。 由此引出乘方、底数、指数、幂的概念。 乙教师导入的教学过程： 乙教师在大屏幕上呈现问题：某种细胞每过 30 分钟便由 1 个分裂成 2 个，经过 5 小时，这种细胞由1 个可以分裂成多少个? 引导学生思考：分裂的次数与 2 的个数之间的关系? 并完成下表：乙教师：为了简便，可将 记作 210，一般地，n 个相同的因数 a 相乘，记作 an，即 。 由此，引出乘方、底数、指数、幂的概念。 问题： (1)分析甲、乙两位教师导入的相同点； (2) 分析甲、乙两位教师导入中存在的不足。六、教学设计题17 “三角形的中位线 ”是初中学习三角形知识点
7、中必不可少的内容。对学生的要求是必须了解三角形中位线的概念，熟练掌握三角形中位线定理的证明和有关应用。(1)该课程设定需要使学生达到什么能力目标?(2)本课程的教学重点与难点。(3)教学过程 (只要求写出新课导入和新知识探究、巩固、应用等)及设计意图。中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 1答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 与 y=ex 关于 y 轴对称的函数为 y=ex，f(x)的图象向右平移 1 个单位长度得 y=ex，则 f(x)=ex1故选择 D。2 【正确答案】 A【试题解析】 是参变量， x 是函数 f(x)的自变量 由该式得出 2。所
8、以f(x)在 x=0 处右连续的充要条件是 2。3 【正确答案】 C【试题解析】 当 i=0，S=1 时，故选择 C。4 【正确答案】 B5 【正确答案】 C【试题解析】 根据 A 与其伴随矩阵 A*秩之间的关系显然 r(A)=12，故必有 ab 且 a+2b=0。6 【正确答案】 D【试题解析】 先做草图，求出曲线、直线间的交点的坐标 A( ，2)，B(2，2)，C(1，1)。选取变量 x 为积分变量，则由图可得三线所围的图形的面积为故选 D。7 【正确答案】 D【试题解析】 义务教育数学课程标准(2011 年版)中规定的“图形与几何”领域的 9 条“基本事实”为：(1)两点确定一条直线；(
9、2) 两点之间线段最短；(3)过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；(4)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；(5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；(6)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；(7)两角及其夹边分别相等的两三角形全等；(8)三边分别相等的两个三角形全等；(9) 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。8 【正确答案】 C【试题解析】 这是美国数学家怀尔德于 1981 年提出的。二、简答题9 【正确答案】 从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标进行计算。 作极坐标变换：设 X=rcos， y=sin，有10 【正确答案】 由极值的第二
10、充分条件，得 f(x)在 x=0 处取得极大值，且极大值为 f(0)=111 【正确答案】 (1)得分为 60 分，12 道题必须全做对。在其余的 3 道题中，有 1道题答对的概率为 ，有 1 道题答对的概率为 ，还有 l 道答对的概率为 ，所以得分为 60 分的概率为： 。 (2)依题意，该考生得分的范围为45，50 ，55 ，60 。得分为 45 分表示只做对了 9 道题，其余各题都做错，所以概率为 ；得分为 50 分的概率为：；同理求得得分为 55 分的概率为：P3= ；得分为 60 分的概率为：P 4= ，所以得分的分布列为：12 【正确答案】 “ 数学课程目标 ”从根本上明确了如下三
11、个问题：(1)学生为什么学数学；(2)学生应当学哪些数学；(3)数学学习将给学生带来什么。13 【正确答案】 推广； 类比；函数；等差数列、等比数列。三、解答题14 【正确答案】 令 F(x)=f(x)g(x)，G(x)= ax=F(x)山，由题设 G(x)0，x a，b，G(a)=G(b)=0，G(x)=F(x)， 从而， abxF(x)dx=abxdG(x)=xG(x) ababG(x)dx=abG(x)dx，由于 G(x)0， xa，b，故有 abG(x)dx0，即 abxF(x)dx0。 因此abxf(x)血 abxg(x)dx。四、论述题15 【正确答案】 (1)数学科学本身的内涵，
12、即数学的知识、方法和意义等，如一元二次方程的有关概念、基本解法以及其他相关知识之间的联系，一元二次方程模型的应用等等。人们对于数学科学本身内涵的认识必将会影响数学课程。(2)作为教育任务的数学学科的内涵。如学习一元二次方程内容对学生发展的主要价值，学生在学习一元二次方程中可能存在的主要困难。这些从教育的角度对数学所形成的价值认识，也将影响数学课程。五、案例分析题16 【正确答案】 (1)甲教师的导入由学生的已有经验(问题 l 和问题 2)出发，通过问题 3 引出了乘方的相关概念。乙教师的导入由细胞学的分裂实例，直接给出了乘方的相关概念。两位教师导入的共同点是引入简洁、快速。(2)甲乙两位教师的
13、导入有三点不足：没有突出为什么引入乘方运算。事实上，数的算式和算法的发展都与原算式或原算法不满足实际的需要及其内部的矛盾运动有关。当相同的因数相乘的运算有大量需求，且因数的个数很多时，造成相同的因数相乘的算式和算法的冗繁，此时创造一种新的运算势在必行。乘方运算的创造，充分表明了数的运算发展从量变到质变的辩证过程。教学可通过适当的活动，渗透这一辩证观点。同时通过对概念引入必要性的体验，诱发学生的内部学习动机。由 2n 直接给出矿，不仅使学生缺失了一次归纳概括的机会，而且也易使学生误以为底数 a 为正数。后面的练习有底数 a 为负数的，但先人为主 (首因效应)，使得部分学生对乘方运算的理解不完整。
14、没有让学生探究乘方运算记法的合理性。数学符号语言简洁、抽象的美，没有教师的点拨，学生是很难自主发现的。通过探究乘方运算记法的合理性，使学生对这种记法有较深刻的认识，避免一些无谓的错误，同时感受到数学家的智慧和数学符号语言的美。 六、教学设计题17 【正确答案】 (1)该课程设定需要使学生达到：该经历“探索一发现一猜想一证明 ”的过程，进一步发展推理论证能力。能够用多种方法证明三角形的中位线定理，体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。能够应用三角形的中位线定理进行有关的论证和计算，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力。(2)教学重点与难点教学重点：三角形中位线的概念与三角形中位
15、线定理的证明。教学难点：三角形中位线定理的多种证明。(3)教学过程一道趣题 课堂因你而和谐问题：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?这四个全等三角形能拼凑成一个平行四边形吗?(板书 )(这一问题激发了学生的学习兴趣，学生积极主动地加入到课堂教学中，课堂气氛变得较为和谐课堂也鲜活起来了。)学生想出了这样的方法：顺次连接三角形每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形。将ADE 绕 E 点沿顺(逆)时针方向旋转 180可得平行四边形 ADFE。问题：你有办法验证吗?一种实验 课堂因你而生动学生的验证方法较多，其中较为典型的方法如下：生 1：沿 DE、DF、E17将画在纸上的ABC 剪开。
16、看四个三角形能否重合。生 2：分别测量四个三角形的三边长度，判断是否可利用“SSS“来判定三角形全等。生 3：分别测量四个三角形对应的边及角，判断是否可用“SAS、ASA 或 AAS”判定全等。引导：上述同学都采用了实验法，存在误差，那么如何利用推理论证的方法验证呢?一种探索 课堂因你而鲜活 师：把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。(板书)问题：三角形的中位线与第三边有怎样的关系呢?在前面图 1 中你能发现什么结论呢?(学生的思维开始活跃起来，同学之间开始互相讨论，积极发言)学生的结果如下：DEBC ，DFAC，EF AB，AE=EC，BF=FC，BD=AD ，ADEDBFEFCDE
17、F，DE=05BC，DF=C，EF=0 AB猜想：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。(板书)师：如何证明这个猜想的命题呢? 生：先将文字问题转化为几何问题然后证明。已知：DE 是 ABC 的中位线，求证：DEBC 、DE=05BC。学生思考后教师启发：要证明两条直线平行，可以利用“三线八角” 的有关内容进行转化，而要证明一条线段的长等于另一条线段长度的一半，可采用将较短的线段延长一倍，或者截取较长线段的一半等方法进行转化归纳。(学生积极讨论，得出几种常用方法，大致思路如下)生 1：延长 DE 到 F 使 EF=DE，连接 CF由ADECFE(SAS)得 AD=FC 从而 BD=F
18、C所以，四边形 DBCF 为平行四边形得 DF=BC，可得 DE=05BC(板书)生 2：将 ADE 绕 E 点沿顺(逆) 时针方向旋转 180，使得点 A 与点 C 重合，即ADECFE，可得 BD=CF，得 DBCF 为平行四边形。得 DF=BC 可得 DE=05BC生 3：延长 DE 到 F 使 DE=EF，连接 AF、CF、CD，可得 AD=CF得 DB=CF得 DF=BC可得 DE=05BC生 4：利用ADEABC 且相似比为 1：2可得 DE=O5BC师：很好，好极了!一种思考 课堂因你而添彩问题：三角形的中位线与中线有什么区别与联系呢?容易得出如下事实：都是三角形内部与边的中点有
19、关的线段。但中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。(学生交流、探索、思考、验证)一种照应 课堂因你而完整问题：你能利用三角形中位线定理说明本节课开始提出的趣题的合理性吗?(学生争先恐后回答，课堂气氛活跃)一句总结 课堂因你而彰显无穷魅力学生总结本节内容：三角形的中位线和三角形中位线定理。(另附作业) 课后反思本节课以“ 如何将一个任意三角形分为四个全等的三角形” 这一问题为出发点，以平行四边形的性质定理和判定定理为桥梁，探究了三角形中位线的基本性质和应用。在本节课中，学生亲身经历了“探索一发现一猜想一证明” 的探究过程，体会了证明的必要性和证明方法的多样性。在此过程中，笔者注重新旧知识的联系，同时强调转化、类比、归纳等数学思想方法的恰当应用，达到了预期的目的。
