1、中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 2及答案与解析一、单项选择题1 在复平面内，复数(2 一 i)2 对应的点位于( ) 。（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限2 “=”是“曲线 y=sin(2x+)过坐标原点”的( )。（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件3 设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f(0)存在，则函数 ( )。（A）在 x=0 处左极限不存在 （B）有跳跃间断点 x=0（C）在 x=0 处右极限不存在 （D）有可去间断点 x=04 设 A 为任意 n 阶矩阵，下列为反对称矩
2、阵的是( )。（A）A+A T （B） AAT（C） AAT （D）A TA5 已知曲面方程为 x2+y2+z22x+8y+6z=10，则过点(5，2，1)的切平面方程为( )。（A）2x+y+2z=0 （B） 2x+y+2z=10（C） x2y+6z=1 5 （D）x2y+6z=06 已知事件 A 的概率 P(A)=06，则 A 的对立事件 A 的概率等 P(A)等于( )。（A）03 （B） 04（C） 06 （D）0.77 新课程标准对于运算能力的基本界定是( )。（A）正确而迅速地运算 （B）正确运算（C）正确而灵活地运算 （D）迅速而灵活地运算8 下列选项中不属于义务教育数学课程标准
3、(2011 年版)中“统计与概率” 领域学习内容的是( ) 。（A）掌握基本的统计概念：统计图、加权平均数、众数、中位数，平均数、方差，频数、频率、频数分布、频数分布直方图和频数折线图，抽样等（B）了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用（C）能够根据问题的需要，有效地从事收集、整理、描述和分析数据的活动（D）能解释统计数据，根据结果作出简单的判断和预测，并进行交流二、简答题9 已知a =1，b=2。(1)若 ab，求 a.b；(2)若 a、b 的夹角为 60，求a+b；(3)若 a 一 b 与 a 垂直，求当 k 为何值时，(kab)(a+2b)。10 已知函数 f(x)=x 一 alnx(
4、aR)(1)当 a=2 时，求曲线 yf(x)在点 A(1，f(1) 处的切线方程；(2)求函数 f(x)的极值。11 已知直线 l：ax+y=1 在矩阵 A= 对应的变换作用下变为直线l：x+by=1。(1) 求实数 a，b 的值；(2)若点 P(x0，y 0)在直线 l 上，且 ，求点 P 的坐标。12 如何在发展的过程中贯彻巩固性原则?13 数学教学中为什么要与时俱进地培养“双基”?三、解答题14 设 F(x)=f(x)g(x)，其中函数 f(x)，g(x)在(一，+)内满足以下条件： f(x)=g(x)，g(x)=f(x)，且 f(0)=0，f(x)+g(x)=2e x。 (1)求 F
5、(f)所满足的一阶微分方程； (2)求出F(f)的表达式。四、论述题15 义务教育数学课程标准(2011 年版)指出：学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。请你从上面三种重要学习方式中选取一种，展开谈谈其重要性，并结合自己的教学，从理论和实践两个方面介绍你的做法。五、案例分析题16 案例：某教师在进行二元一次方程教学时，给学生出了如下一道练习题： 已知a，b 是方程 x2+(k1)x+k+1=0 的两个根且 a，b 是某直角三角形的两条直角边，其斜边长等于 1，求 k 的值。 某
6、学生的解答过程如下：解：a，b 是方程 x2+(k 一 1)x+k+1=0 的两个根。a+b=1 一 k，ab=k+1 。又由已知得：a 2+b2=1，(a+b)一2ab=1，即 k2 一 4k 一 2=0，解得 。问题：(1)指出该生解题过程中的错误，分析其错误原因；(2)给出你的正确解答；(3) 指出你解题所运用的数学思想方法。六、教学设计题17 初中“变量与函数 ”设定的教学目标如下：运用丰富的实例，使学生在具体情境中领悟函数概念的意义，了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与变量，了解自变量与函数的意义；通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，以提高分析问题和解
7、决问题的能力：引导学生探索实际问题中的数量关系，培养对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情。在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦，建立自信心。完成下列任务：(1)根据教学目标 ，给出至少两个实例，并说明设计意图。(2)根据教学目标 ，给出至少两个实例，并说明设计意图。(3)根据教学目标 ，设计两个问题，并说明设计意图。(4)本节课的教学重点是什么?(5)作为初中阶段的基础内容，其难点是什么?(6)本节课的教学内容对后续哪些内容的学习有直接影响?中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 2答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 (2i) 2=54
8、i，对应的点为(5，4)，位于第四象限。2 【正确答案】 A【试题解析】 = 时，y=sin(2x+)= sin2x，过坐标原点。前者可以推出后者，而曲线 y=sin(2x+)过坐标原点，可以得到 =+k，但不能推出 =，故“=”是“曲线 y=sin(2x+)过坐标原点”的充分不必要条件。3 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)为奇函数知，f(0)=0 ；又由 g(x)= ，知 g(x)在 x=0 处没定义，显然 x=0 为 g(x)的间断点，为了讨论函数 g(x)的连续性，求函数 g(x)在0 的极限。 存在，故 x=0 为可去间断点。4 【正确答案】 B【试题解析】 对任意 n 阶矩
9、阵 M，若 M=M，则称 M 为反对称矩阵。经计算只有选项 B 满足条件，即(AA T)TA(AAT)，故选 B。5 【正确答案】 B【试题解析】 设球面方程为 x2+y2+ x0x+y0y+z0z+p(x+x0)+q(y+y0)+r(z+z0)+d=0。 由曲面方程为 x2+y2+ z22x+8y+6z=10 可知 p=一 1，q=4，r=3，d=10，则过点(5， 2，1)(点在球面上)的切平面为 5x2y+z 一(x+5)+4(y2)+3(z+1)10=0 整理得：2x+y+2z=10。故选 B。6 【正确答案】 B【试题解析】 其中必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件。事件 A 与它
10、的对立事件 A 的概率之和为 1，即 P(A)+P(A)=1。7 【正确答案】 B【试题解析】 新课程标准中关于运算能力的表述：运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力，故选 B。8 【正确答案】 B【试题解析】 了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用属于高中课程内容的要求，故选 B。二、简答题9 【正确答案】 (1)a.b=a.b=2。 (2)a.b=a .bcos60=1， a+b 2=a 2+2a.b+b 2=7，故a+b = 。 (3)若 ab 与 a 垂直，则(ab).a=0，a.b= a 2=1，使得(ka b)(a+2b)，只要(kab).(a+2b)=0，即k
11、a 2+(2k 一 1)a.b 一 2b 2=0，即 k+(2k 一 1)一 24=0，解得 k=3。10 【正确答案】 函数 f(x)的定义域为(0 ，+)，f(x)=1 一 。 (1)当 a=2 时，f(x)=x一 2lnx，f(x)=1 (x0)， 因而 f(1)=1，f(1)= 1， 所以曲线 y=f(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为 y1=(x1)， 即 x+y2=0。 (2)由 f(x)= ， x0 知： 当 n0 时，f(x) 0，函数 f(x)为(0，+)上的增函数，函数 f(x)无极值。 当 a0 时，由 f(x)=0，解得 x=a。 又当 x(0，a)时，f(x)0；
12、当 x(0，+)时，f(x)0， 从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小值，且极小值为f(a)=aalna，无极大值。 综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值； 当 a0 时，函数f(x)在 x=a 处取得极小值 aalna，无极大值。11 【正确答案】 (1)设直线 l：ax+y=1 上任意点 M(x，y)在矩阵 A 对应的变换作用下的像是 M(x，y) 。 由 又点P(x0，y 0)在直线上 l 上，所以 x0=1。 故点 P 的坐标为 (1，0)。12 【正确答案】 (1)在学习新知识时，要深刻理解这些知识，必须调动学生学习知识的自觉性。学习过程必须是学生积极开展思维活动的过程，用积
13、极态度学到的知识是获得巩固知识的必要条件。因此，在教学时要引起学生对学习知识的强烈兴趣，把原来以为枯燥无味的数学课上成生动活泼的数学课，注意防止学生产生学习的逆反心理，充分发挥学生的主体作用。(2)零碎的、杂乱的、无系统的知识是不可能巩固的。因此，使学生获得有系统的知识是使知识巩固的又一必要条件，它要求教师在教学时注意概念形成过程，讲清命题间的逻辑关系等。教学必须条理清晰、前后联系、层次分明，给学生系统知识，使其深刻理解，以达到巩固的目的。13 【正确答案】 数学“ 双基 ”是一个动态的概念，随着时代的发展也在发生变化。数学的基础知识是在变化着的。比如，随着计算器、计算机的使用，珠算必将退出数
14、学课本，心算、笔算的计算能力可以降低要求；在新课程中，一些繁、难、旧的课题已退出必修课程内容；与此同时，概率统计、算法、与日常生活相联系的数学内容，则成为数学课程的“基础” ；运用现代技术学习数学，也将是 “双基”一部分。过去的基本技能强调形式化的逻辑演绎能力，这也是不完整的。学习数学知识的背景及其应用，培养数学建模的能力同样是数学基本技能的组成部分。因此，数学“双基”也需要与时俱进，我们要在继承传统的数学“双基”的合理成分的同时，摒弃不必要的繁琐记忆要求，增加新兴的数学知识和技能要求。三、解答题14 【正确答案】 题目要求 F(x)所满足的微分方程，而微分方程中含有其导函数，自然想到对 F(
15、x)求导，并将其余部分转化为用 F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程即可。 (1)由 F(x)=f(x)g(x)，有 P(x)=f(x)g(x)+f(x)+f(x)=g2(x)f2(x) =f(x)g(x)22f(x)g(x)=(2e2)2F(x) 可见 F(x)所满足的一阶微分方程为 F(x)+2F(x)=4e2x 相应的初始条件为 F(0)=f(0)g(0)=0(2)由题(1)得到 F(x)所满足的一阶微分方程，求 F(x)的表达式只需解一阶微分方程又一阶线性非齐次微分方程+p(x)Y=Q(x)的通解为 y=ep(x)dx (Q(x)ep(x)dx+C) 所以：F(x
16、)=e 2dx4e2xe 2dxdx+C=e2x4e4xdx+C=e2x+Ce2x 将 F(0)代入上式，得 C=1 所以F(x)=e2xe2x四、论述题15 【正确答案】 因为新课程中学生数学学习的内容，应有利于学生主动进行观察，实验，猜测，验证，推理与交流，所以教学内容的呈现就应当采用各种不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。要结合自己教学实际需要，切合具体的学习方式。五、案例分析题16 【正确答案】 (1)错解分析：该生在解题过程中忽视了题目中的隐含条件，即a，b 是某直角三角形的两条直角边，故必有 a0 ，b0，a+b0，当322*，这是不合题意的，k=2+ 应舍去。 (2)正确解答
17、：a，b 既是方程的两根，又是直角三角形的两直角边，a0，b0，a+b0，ab0。 由一元二次方程根与系数的关系得 a+b=1 一k，ab=k+1 又由已知得 a 2+b2=1 将代入，得 (3)在解题过程中运用了分类讨论的思想。六、教学设计题17 【正确答案】 (1)实例：汽车以 60 千米时的速度匀速行驶，行驶里程为 s千米，行驶时间为 t 小时，先填写下表，冉试着用含 t 的式子表示 s。实例：要画一个面积 S 为 10 cm2 的圆，圆的半径 r 应取多少?圆面积为 20 cm2呢?怎样用含圆面积 S 的式子表示圆半径 r? (设计意图：挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情境，让学生
18、经历探索具体情境中两个变量关系的过程，直接获得探索变量关系的体验。) (2)实例 ：用 10 cm 长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化。记录不同的长方形的长度值。计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律。设长方形的长为 x cm，面积为 S m2，怎样用含 x 的式子表示 S? 实例：如图所示，用火柴棒摆图形，按照这样的规律继续摆下去，第四个图形需要_根火柴棒，第五个图形需要_根火柴棒，第 n 个图形需要_根火柴棒。(设计意图：通过动手实验，学生的学习积极性被充分调动起来，进一步深刻体会了变量间的关系，学会了运用表格形式来表示实验信息。) (3)问题：一辆汽车
19、的油箱中现有汽油 50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y(单位：L) 随行驶里程 x(单位：km)的增加而减少，平均耗油量为 01km。 a：写出表示 y 与 x 的函数关系的式子。 b：指出自变量 x 的取值范围。 c：汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少汽油?问题：一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加 2 m。 a：在这一变化过程中反映了哪两个变量之间的关系?它们之间可建立怎样的函数关系? b：45 秒时小球的速度为多少? (设计意图：培养学生主动参与、合作交流并能用数学的眼光看待世界的意识，提高观察、分析、概括和抽象等的能力。) (4)重点：正确理解函数的概念。 (5)难点：函数概念的形成过程。 (6)变量与函数是中学数学中极其重要的内容之一，本节内容对之后一次函数、反比例函数等内容的学习有直接影响。函数这一概念不仅渗透在中学数学教学的许多内容之中，而且它与物理、化学等学科的知识密切相关。其次，它又是一种数学思想，运用函数思想可以更方便、更有效地解决一些数学问题，在学生的数学学习过程中有着重要的意义和作用。
