1、中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 41及答案与解析一、单项选择题1 直线 l： 与平面 ：x+y+z=2 的位置关系是( )。（A）平行（B）相交但不垂直（C）垂直（D）直线 l 在平面 上2 x=0 为函数 f(x)=sinxsin 的( )。（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）无穷间断点（D）振荡间断点3 已知线性方程组 AX=K1 一 2 有解，其中 则 K等于( )。（A）1（B）一 1（C） 2（D）一 24 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是( )。（A） 1=0（B
2、） 2=0（C） 10（D） 205 设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f(0)存存，则函数 g(x)= ( )。（A）在 x=0 处左极限不存在（B）有跳跃间断点 x=0（C）在 x=0 处右极限不存在（D）有可去间断点 x=06 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此人第四次射击恰好第二次命中目标的概率为( )。（A）3p(1 一 p)2（B） 6p(1 一 p)2（C） 3p2(1 一 p)2（D）6p 2(1 一 p)27 发现勾股定理的希腊数学家是( )。（A）泰勒斯（B）毕达哥拉斯（C）欧几里得（D）阿基米德8 义务教育数学课程标准(2011
3、年版)提出，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和( )。（A）探索性学习（B）合作交流（C）模型思想（D）综合与实践二、简答题9 求由两个圆柱面 x2+y2=a2 与 z2+x2=a2 所围成立体的体积。10 已知矩阵 ，求矩阵 A 的特征值和特征向量。11 甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的 25、35、40，次品率分别为 003、002、001。现从所有产品中取一件，试求：(1)该产品是次品的概率；(2)若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少？12 义务教育数学课程标准(2011 年版)所制定的总目标是
4、什么？总目标是从哪几个方面进行阐述的？13 如何处理面向全体学生与关注学生个体差异的关系？三、解答题14 证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。四、论述题15 举例说明在教学中如何处理“预设” 与“形成”的关系。五、案例分析题15 以下为某教师在进行一元一次不等式组教学中设计的相关教学活动：出示例题：小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为 72 千克，坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在另一端。这时，爸爸的一端仍然着地，后来小宝借来一副质量为 6 千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果，爸爸被高高地跷起。猜猜看，小宝的体重
5、约多少千克？教师问学生：“ 你们玩过跷跷板吗？先看看题，一会请同学复述一下。” 学生复述后，基本已经熟悉了题目。接着教师让学生思考：他们三人坐了几次跷跷板？第一次坐时情况怎样？第二次呢？学生议论了一会儿，自主发言，很快发现本题中存在的两种文字形式的不等关系：爸爸体重小宝体重+妈妈体重爸爸体重小宝体重+妈妈体重+ 一副哑铃重量教师顺势引导：你还能怎么判断小宝体重？学生安静了几分钟后，开始议论。一学生举手了：“ 可以列不等式组。 ”教师给出提示：“小宝的体重应该同时满足上述的两个条件。怎么把这个意思表达成数学式子呢？”这时学生们七嘴八舌地讨论起来，都抢着回答，该教师注意到一位平时不爱说话的学生紧锁
6、眉头，便让他发言：“可以设小宝的体重为 x 千克，能列出两个不等式。可是接下来我就不知道了。”教师听了心中一动，意识到这应是思想渗透的好机会，便解释说：“我们在初中会遇到许多问题都可以用类似的方法来研究解决，比方说前面列方程组”不等教师说完，学生都齐声答：“ 列不等式组。 ”全班 12 个小组都积极投入到解题活动中了。5 分钟后，教师请学生板演，自己下去巡查、指导，发现学生的解题思路都很清楚，只是部分学生对答案的表达不够准确。于是提议学生说说列不等式组解应用题分几步，应注意什么。此时学生也基本上形成了对不等式组方法解题的完整认识。16 请结合新课标简要分析该教师的教学过程。17 本节课所蕴含的
7、数学思想方法包括什么？18 请设置一道开放题检测学生对本节知识内容的掌握情况。六、教学设计题18 义务教育数学课程标准(2011 年版)在课程内容中要求：创新意识的培养是现代数学教育的根本任务，应体现在数学教与学的过程之中，学生自己发现问题和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证是创新的重要方法。素材：如图所示，将正方形纸片 ABCD 折叠，使 B 点落在 CD 边上一点 E(不与 C，D 重合)，压平后得到折痕 MN。19 试根据点 E 在 CD 上的位置变化，设置适当条件，编制一道数学题目；(不要求解答)20 依据上述素材和要求，试以提出问
8、题为主线进行“探究式” 解题教学，撰写一份培养学生观察与发现，归纳与推理能力的教学过程设计。(只需写出教学过程，突出探究的方法与问题即可)中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 41答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 直线 Z 的方向向量为 m=(2，一 1，一 3)，平面的法向量为n=(1，1，1) ，因为 m 和 n 既不垂直也不平行，所以直线 l 和平面 相交但不垂直。2 【正确答案】 A【试题解析】 有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量，即 。但是在 x=0 处函数没有意义，函数值不存在，因此 x=0 为函数 f(x)=sinxsin 的可去间
9、断点。3 【正确答案】 D【试题解析】 已知线性方程组是非齐次的，如果方程要有解，则系数矩阵的秩要等于增广矩阵的秩，由此可以求出 K。因为已知线性方程组 AX=K1+2，将AX=K1+2 的增广矩阵作初等行变换，AX=K1+2 有解 r(A|K1+2)=2，得 K=一 2。4 【正确答案】 D【试题解析】 由题意可知 A1=11，A 2=22，充分性：若 1，A( 1+2)线性无关，A( 1+2)=11+A2，若 2=0， 1 与 A(1+2)共线，则线性相关，与条件不符，故 20；必要性：当 20 时，若 k11+k2A(1+2)=k11+k2(11+22)=(k1+k21)1+k222=0
10、，则必有 k1+k21=0 且 k2=0，即 k1=k2=0，故 1 与 A(1+2)是线性无关的。5 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)为奇函数知 f(0)=0；又由 g(x)= ，知 g(x)在 x=0 处没定义，显然 x=0 为 g(x)的间断点，为了讨论函数 g(x)的连续性，求函数 g(x)在 x0 的极限。 =f(0)存在，故 x=0 为可去间断点。6 【正确答案】 C【试题解析】 前三次射击只有一次命中目标的概率为 C31p(1 一 p)2，所以，所求的概率为 C31p(1 一 p)2p=C 31p2(1 一 p)2。7 【正确答案】 B【试题解析】 泰勒斯是数学之父，但
11、他并没有发现勾股定理；欧几里得是几何学的代表人物；阿基米德的数学成就主要是集中探讨面积和体积的计算相关问题。8 【正确答案】 C【试题解析】 在数学课程中，应该注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。二、简答题9 【正确答案】 如图所示为该立体在第一卦限部分的图像(占整体的八分之一)。对任意 x00，a，平面 x=x0 与这部分立体的截面是一个边长为 的正方形，所以截面函数 A(x)=a2 一 x2，x0，a 。由定积分的知识知，对截面函数 A(x)在区间0， a上积分就是该立体在第一卦限部分的体积。所以10 【正确答案】 矩阵 A 的特征
12、多项式为 =( 一 1)2，所以，由 ( 一 1)2=0 知 A 的特征根 1=0， 2=3=1。当 =0 时，由=0 得 x1=2x3，x 2=一 x3，因此，属于特征值 1=0 的特征向量为1= 当 =1 时，由 =0 得 x1=x3，x 2=0，因此，属于特征值=1 的特征向量为 2=11 【正确答案】 (1)设 A1，A 2，A 3 表示甲乙丙三车间加工的产品，B 表示此产品是次品。所求事件的概率为 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=025003+0350 02+04001=00185。(2)P(A 2|B)=12 【正确答案】 通
13、过义务教育阶段的数学学习，学生能：(1)获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。(2)体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。(3)了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。总目标从知识技能、数学思考、问题解决和情感态度四个方面进行阐述的，总目标的这四个方面，不是相互对立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体。13 【正确答案】 教学活动应努力使全体学生达到课程目标的基本要
14、求，同时要关注学生的个体差异，促进每个学生在原有基础上的发展。对于学习有困难的学生，教师要给予及时的关注与帮助，鼓励他们主动参与数学学习活动，并尝试用自己的方式解决问题、发表自己的看法，要及时地肯定他们的点滴进步，耐心地引导他们分析产生困难或错误的原因，并鼓励他们自己去改正，从而增强学习数学的兴趣和信心。对于学有余力并对数学有兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料和思维空间，指导他们阅读，发展他们的数学才能。在教学活动中，要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，恰当评价学生在解决问题过程中所表现出的不同水平：问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问
15、题的策略，并引导学生通过与他人的交流选择合适的策略，丰富其数学活动的经验，提高思维水平。三、解答题14 【正确答案】 设 f(x)是连续的奇函数，F(x)= 0xf(t)dt+C 是 f(x)的所有原函数， 而 f(一 x)=0 一 xf(t)dt+C，令 t=一 u，则 F(一 x)=0 一 xf(t)dt=0xf(一 u)d(一 u)+C=一 0x一 f(u)du+C=0xf(u)du+C=F(x)， 所以 F(x)是偶函数。即连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数。 若 f(x)是连续的偶函数，F(x)= 0xf(t)dt+C 是 f(x)的所有原函数，有 F(x)=0xf(t)dt=0xf
16、(一 u)d(一 u)+C=一 0xf(u)du+C=一 F(x)+C， 于是，只有当 C=0时才有 F(一 x)一 F(一 x)。即连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。四、论述题15 【正确答案】 教学从本质上讲就是“预设” 与“生成”的矛盾统一体。“ 预设”是预测与设计，是教师在课前对教学进行有目的的，有计划的设想和安排。“生成” 是生长和构想，是师生在与教学情境的交互作用以及师生对话互动中超出师生预设方案的新问题、新情况。因此，在新课程理念下的教学设计，应充分考虑学生的知识背景、生活经历与情感体验，在知识学习的过程中，吸引学生的主动参与，处理好预设与生成的关系，是激发学生学习兴趣，引
17、导学生主动探究的关键。在“勾股定理的应用”教学中这样设计了一堂课：准备了皮尺，把学生带到操场上，让学生分别在体育老师、校长那里获取篮板和教学楼的高度后，提出问题：在篮板的右上角有一只小鸟要飞到教学楼的左上角，请你利用皮尺和所学知识求出小鸟飞行的最短路径(篮板和教学楼的顶端不能到达)。学生开始活动，有的测量篮板顶端与教学楼顶端的水平距离，有的在绘制几何图形，每一个同学都很认真，大家也很开心，乐在其中，课堂上洋溢着和谐、愉悦、轻松的气息。这堂课既训练了学生的数学“建模”思想，又让学生亲历了数学与生活、生产的关系。教学应当在预设与生成的和谐中发展，只有架起教学预设与动态生成和谐的桥梁，才能让智慧之火
18、“激情” 燃烧在课堂教学之中。五、案例分析题16 【正确答案】 新课标要求，让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程。在实际工作中让学生学会从具体问题情景中抽象出数学问题，使用各种数学语言表达问题、建立数学关系式、获得合理的解答、理解并掌握相应的数学知识与技能，这些多数教师都注意到了，但要做好，还有一定难度。该教师在贯彻新课标这一方面做得较为优秀尤其是以下几个方面：该教师在课堂教学中设置了几个台阶，这也正好符合了循序渐进的教学原则。例题贴近学生实际，在教学中有采用了更亲近的教学语言，有利于激发学生的探究欲望
19、。关注学生的学习状态，随时采取灵活适宜的教学方法，师生互动，生生互动，课堂教学才更加有效。学生在学习后，确实感受到“ 不等式的方法”就像方程的方法一样是从字母表示数开始研究解决的。这种方法可以帮助我们用数学的方式解决实际问题。17 【正确答案】 转化化归思想方法，类比思想。18 【正确答案】 一次考试共 25 道选择题，做对一道得 4 分，做错一道减 2 分，不做得 0 分。若小明想确保考试成绩在 60 分以上，那么他至少要做对多少题？六、教学设计题19 【正确答案】 本题具有开放性，题目设置合理即可，下面是几个示例：设正方形纸片 ABCD 边长为 2，E 在什么位置时， ENC 是一个角为
20、30的直角三角形；试写出 NC 与 EC 的数量关系；求 E 在什么位置时， ENC 的面积取得最大值；当 的值。20 【正确答案】 导入：采用练习导入法，利用一个简单的练习题引入本节课内容。新课讲授：根据导入的例题，提出问题：在之前学习的三角形知识中，有哪些常用的性质和定理？预设：全等三角形判定定理，相似三角形判定定理，等腰三角形性质，勾股定理 找学生回答并追问，明确具体的性质和定理内容。在复习之前的知识之后，结合(1)中进行“探究式”解题教学。给出例题：如图所示，已知正方形纸片 ABCD 边长为 2，将正方形纸片 ABCD 折叠，使 B 点落在CD 边上一点 E(不与 C，D 重合)，压平
21、后得到折痕 MN，A 点落在点 F 处。问题1：根据条件，能够获得哪些结论？学生七嘴八舌地说着，教师提问后总结：AM=FM，BN=EN，Rt ENC，MN 所在的直线是 BE 的垂直平分线(需连接 BE)，NBE=NEB， ENC=2NBE，问题 2：如果 CE= DE，CE=DE，分别求NC。学生思考后，提问并总结：由已知条件知CE= DE= CD= ，CE=DE= CD=1，在 RtENC 中，EN+NC=BN+NC=BC=2，再利用勾股定理就可分别求出 NC。问题 3：如果设NC=x，EC=y，试求 y 关于 x 的函数关系式。学生在问题 2 的基础上，很快想到解决问题 3 方法，即在
22、RtENC 中利用勾股定理得到等量关系，NC2+EC2=NE2，x 2+y2=(2 一 x)2，整理得 y= ，再根据图形得出 0x1。问题 4：在问题 3 的基础上，我们还能得出什么结论？学生七嘴八舌地说着，教师提问后总结：可以求出 y 的取值范围，可以写出ENC 周长和面积的表达式。问题5：写出ENC 的面积关于 x 的函数表达式。进过渐进式的探究，问题细化，学生可以很容易地解决问题 5，即 SENC= ，0x1。问题 6：求 E 在什么位置时，ENC 的面积取得最大值？之前的几个问题都是为了解决问题 6 做铺垫的，在前五个问题的基础上研究问题 6几何问题已经转化成函数求最值问题，即求函数 S(x)= (0x1)的最大值。 计算部分留给学生。教师对本节课做小结：同学们，我们在学习数学的过程中要善于独立思考，学会在已知条件的基础上归纳概括得出猜想和规律，发现问题、提出问题并想办法去解决问题。要大胆的去尝试，把看起来难的问题，细化成若干个可以解决的小问题，在不断探究不断深入的过程中就会自然而然地解决问题。作业：已知正方形 ABCD边长为 2，将正方形纸片 ABCD 折叠，使 B 点落在 CD 边上一点 E(不与 C，D 重合)，压平后得到折痕 MN。思考：若 的值为多少？若的值为多少？一般地，若 的值为多少？
