1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 19及答案与解析一、单项选择题1 当0 时，函数 f(x)=exx1 是函数 g(x)=x2 的( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶无穷小（D）等价无穷小2 设函数 f(x)在点 x0 处可导，且 =4，则 f(x0)=( )（A）4（B） 2（C） 2（D）43 若点(1 ，2) 是曲线 y=ax3bx 2 的拐点，则( )（A）a=1 ，b=3（B） a=3，b=1（C） a=1，b=3（D）a=4 ，b=64 设 z=f(x，y)为由方程 z33yz+3x=8 所确定的函数，则 =( )（A）（B）（C） 2（D）2
2、5 如果二重积分 f(x，y)dxdy 可化为二次积分 01dyy+12f(x，y)dx，则积分域 D 可表示为( )（A）(x ，y) 0x1，x1y1)（B） (x，y)1x2，x1y1（C） (x，y)0x1，x1y0)（D）(x ，y) 1x2，0yx1)6 设 a=ik，b=2i+3j+k，则 ab=( )（A）i2j+5k（B） ij+3k（C） ij+5k（D）3i3j+3k7 设 f(x，y)是连续函数，则 0adx0xf(x，y)dy=( )（A） 0ady0yf(x，y)dx（B） 0adyyaf(x，y)dx（C） 0adyayf(x，y)dx（D） 0ady0af(x，
3、y)dx8 行列式 的值为( )（A）0（B） 24（C） 24（D）12二、简答题9 求极限10 设 f(x)的一个原函数为 x2sinx，求不定积分 .11 设 z=xf( ，y)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求 .12 数学教师在对信息技术资源进行开发与利用时需要关注哪些方面?13 中学数学教师选择和运用教学方法的基本依据是什么?三、解答题14 数列a n (nN*)中，a 1=a，a n+1 是函数 fn(x)= x3 (3an+n2)x2+3n2anx 的极小值点(1)当 a=0 时，求通项 an；(2)是否存在 a，使数列 an是等比数列?若存在，求 a 的取值范围；若不存在
4、，请说明理由四、论述题15 请你谈谈对数学归纳法这个概念的认识五、案例分析题16 【教学片断】教师：同学们已经学过锐角三角函数，什么是锐角三角函数?学生：sin= ，cos= ，tan= (如图) 教师：借助直角三角形，请问锐角三角函数的自变量是什么?函数值是什么? 教师：对于确定的角，是否只有一个直角三角形的边的比值等于其三角函数值?教师：什么是任意角的三角函数? 怎样定义任意角的三角函数 ?教师：对于sin= ，cos= ，你能否使表达式变得简单些? 问题：请说出案例中教师接连提出问题的意图，并说出这样设计的原因六、教学设计题17 请对高中数学“ 随机抽样 ”一课进行教学设计中学教师资格认
5、定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 19答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ，所以当 x0 时，函数 f(x)=exx1 是函数 g(x)=x2 的同阶无穷小故本题应选 C2 【正确答案】 B【试题解析】 因为所以f(x0)=2故本题应选 B3 【正确答案】 A【试题解析】 由题意可得 故本题应选 A4 【正确答案】 B【试题解析】 将 x=0，y=0 代入方程 z33yz+3x=8，解得 z=2令 F(x，y，z)=z33yz+3x8，则 Fy=3z，F z=3z23y，于是故本题应选 B5 【正确答案】 D【试题解析】 由 故本题应选 D6 【正确答案
6、】 D【试题解析】 由 ab= =3i3j+3k7 【正确答案】 B【试题解析】 解题关键是先由所给的二次积分的积分限确定积分区域 D(本题积分区域为 x 轴，y=x 以及 x=a 确定的三角形区域)，然后再化为先对 x 积分后对 y积分的二次积分故应选 B8 【正确答案】 B【试题解析】 行列式的值为二、简答题9 【正确答案】 10 【正确答案】 由 f(x)的一个原函数为 x2sinx，可知 f(x)=(x2sinx)=2xsinx+x2cosx，于是 =(2sinx+xcosx)dx=2cosx+xsinxsinxdx=2cosx+xsinx+cosx+C=cosx+xsinx+C11
7、【正确答案】 12 【正确答案】 信息技术资源的开发与利用需要关注三个方面：(1)将信息技术作为教师从事数学教学实践与研究的辅助性工具为此，教师可以通过网络查阅资料、下载富有参考价值的实例、课件，并加以改进，使之适用于自身课堂教学；可以根据需要开发音像资料，构建生动活泼的教学情境；还可以设计与制作有关的计算机软件、教学课件，用于课堂教学活动研究等(2)将信息技术作为学生从事数学学习活动的辅助性工具为此，可以引导学生积极有效地将计算器、计算机用于数学学习活动之中，如，在探究活动中借助计算器(机)处理复杂的数据和图形，发现其中存在的数学规律；使用有效的数学软件绘制图形、呈现抽象对象的直观背景，加深
8、对相关数学内容的理解；通过互联网搜寻解决问题所需要的信息资料，帮助自己形成解决问题的基本策略和方法等(3)将计算器等技术作为评价学生数学学习的辅助性工具为此，应当积极开展基于计算器环境的评价方式与评价工具研究，如，哪些试题或评价任务适宜在计算器环境下使用，哪些不适宜等13 【正确答案】 (1)教学的目的任务；(2) 中学课程的性质及其特点；(3)中学生的身心特点；(4)学校的设备条件；(5) 教学的时限；(6) 教师自身的条件三、解答题14 【正确答案】 易知 fn(x)=x2(3a n+n2)x+3n2an=(x3a n)(xn 2)令 fn(x)=0，得x1=3an，x 2=n2.若 3a
9、n n2，则当 x3a n 时，f n(x)0，f n(x)单调递增；当3anxn 2 时， fn(x)0，f n(x)单调递减；当 xn 2 时，f n(x)0，f n(x)单调递增故 fn(x)在 x=n2 处取得极小值若 3ann 2 ，仿 可得，f n(x)在 x=3an 处取得极小值若 3an=n2，则 fn(x)0，f n(x)无极值(1)当 a=0 时，a 1=0，则3a11 2由知，a 2=12=1因 3a2=32 2，则由知，a 3=22=4因为 3a3=123 2 ，则由知， a4=3a3=34又因为 3a4=364 2，则由知，a 5=3a4=324由此猜测：当 n3 时
10、，a n=43n 3下面用数学归纳法证明：当 n3 时，3a nn 2事实上，当 n=3 时，由前面的讨论知结论成立假设当 n=k(k3)时，3a kk 2 成立，则由可得，a k+1=3akk 2，从而 3ak+1(k+1) 23k 2(k+1) 2=2k(k2)+2k10，所以3ak+1(k+1)2故当 n3 时， 3ann 2 成立于是由知，当 n3 时，a n+1=3an，而a3=4，因此 an=43n3 综上所述，当 a=0 时，a 1=0，a 2=1，a n=43n3 (n3)(2)存在 a，使数列 an是等比数列事实上，由知，若对任意的 n，都有 3ann 2，则an+1=3an
11、，即数列a n是首项为 a，公比为 3 的等比数列，且 an=a3n1 四、论述题15 【正确答案】 (1)数学归纳法作为归纳法的一种，它属于完全归纳(2)数学归纳法的定义(或者解题步骤) (3)重难点突破：数学归纳法的重要性及注意点，在证明 P(k+1)时一定要用到归纳假设(4)适用范围：可以证明与正整数相关的命题(5)其他：数学归纳法从证明的方式来区分，可以有第一数学归纳法、第二数学归纳法、多重数学归纳法、跷跷板数学归纳法等五、案例分析题16 【正确答案】 一系列的问题的意图：通过复习直角三角形中的锐角三角函数概念，将锐角三角函数中锐角与线段比的对应，推广到任意角与其相关的线段比值的对应，
12、再通过对 OP 长度的分析，引出任意角的三角函数的定义如何能让学生理解和掌握三角函数的概念，十分重要的一点是要站在学生的角度去理解这个概念学生在初中阶段学习过直角三角形中的锐角三角函数，学生对锐角三角函数的理解实际上是停留在形式上的，没有建立以对应的观点来理解三角函数因此教师在教学过程中，应该在学生理解范围内去设计问题，帮助学生来理解概念六、教学设计题17 【正确答案】 一、内容和内容解析 1内容本节课主要内容是让学生了解在客观世界中要认识客观现象的第一步就是通过观察或试验取得观测资料，然后通过分析这些资料来认识此现象如何取得有代表性的观测资料并能够正确的加以分析，是正确的认识未知现象的基础，
13、也是统计所研究的基本问题2内容解析本节课是高中阶段学习统计学的第一节课，统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据学生在九年义务阶段已经学习了收集、整理、描述和分析数据等处理数据的基本方法在高中学习统计的过程中还将逐步让学生体会确定性思维与统计思维的差异，注意到统计结果的随机性特征，统计推断是有可能错的，这是由统计本身的性质所决定的统计有两种一种是把所有个体的信息都收集起来，然后进行描述，这种统计方法称为描述性统计，例如我国进行的人口普查但是在很多情况下我们无法采用描述性统计对所有的个体进行调查，通常是在总体中抽取一定的样本为代表，从样本的信息来推断总体的特征，
14、这称为推断性统计例如有的产品数量非常的大或者有的产品的质量检查是破坏性的统计和概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识抽样调查是我们收集数据的一种重要途径，是一种重要的、科学的非全面调查方法它根据调查的目的和任务要求，按照随机原则，从若干单位组成的事物总体中，抽取部分样本单位来进行调查、观察，用所得到的调查标志的数据来推断总体其中蕴涵了重要的统计思想样本估计总体而样本代表性的好坏直接影响统计结论的准确性，所以抽样过程中，考虑的最主要原则为：保证样本能够很好地代表总体而随机抽样的出发点是使每个个体都有相同的机会被抽中，这是基于对样本数据代表性的考虑本节课重点：能从现实生活或其他学科中提出具有
15、一定价值的统计问题，理解随机抽样的必要性与重要性二、目标和目标解析 1目标(1)通过对具体的案例分析，逐步学会从现实生活中提出具有一定价值的统计问题；(2)结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性；(3)以问题链的形式深刻理解样本的代表性2目标解析本章章头图列举了我国水资源缺乏问题、土地沙漠化问题等情境，提出了学习统计的意义同时通过具体的实例，使学生能够尝试从实际问题中发现统计问题，提出统计问题让学生养成从现实生活或其他学科中发现问题、提出问题的习惯，培养学生发现问题与提出问题的能力与意识对某个问题的调查最简单的方法就是普查，但是这种方法的局限性很大，出于费用和时间的考虑，有时一个
16、精心设计的抽样方案，其实施效果甚至可以胜过普查，在这个过程中让学生逐步体会到随机抽样的必要性和重要性抽样调查，就是通过从总体中抽取一部分个体进行调查，借以获得对整体的了解为了使由样本到总体的推断有效，样本必须是总体的代表，否则就可能出现方便样本由此在对实例的分析过程中探讨获取能够代表总体的样本的方法，得到随机样本的概念，逐步理解样本的代表性与统计推断结论可靠性之间的关系三、教学问题诊断分析学生在九年义务教育阶段已有对统计活动的认识，并学习了统计图表、收集数据的方法，但对于如何抽样更能使样本代表总体的意识还不强；在以前的学习中，学生的学习内容以确定性数学学习为主；学生对全面调查，即普查有所了解它
17、在经验上更接近确定性数学而随机抽样学习则要求学生通过对具体问题的解决，能体会到统计中的重要思想样本估计总体以及统计结果的不确定性学生已有知识经验与本节要达成的教学目标之间还有很大的差距主要的困难有：对样本估计总体的思想、对统计结果的“不确定性” 产生怀疑，对统计的科学性有所质疑；对抽样应该具有随机性，每个样本的抽取又都落实在某个人的具体操作上不理解因此教学中要通过具体实例的研究给学生释疑在教学过程中，可以鼓励学生从自己的生活中提出与典型案例类似的统计问题，如每天完成家庭作业所需的时间，每天的体育锻炼时间，学生的近视率，一批电灯泡的寿命是否符合要求等在学生提出这些问题后，要引导学生考虑问题中的总
18、体是什么，要观测的变量是什么，如何获取样本，通过这样一个教学过程，更能激起学生的学习兴趣，能学有所用，拉近知识与实践的距离，培养学生从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题的能力在这个过程中提升学生对统计抽样概念的理解，初步培养学生运用统计思想表述、思考和理解现实世界中的问题能力，这样教学效果可能会更佳根据这一分析，确定本课时的教学难点是：如何使学生真正理解样本的抽取是随机的，随机抽取的样本将能够代表总体四、教学支持条件分析 准备一些随机抽样成功或失败的事例，利用实物投影或放映的多媒体设备辅助教学五、教学过程设计(一) 感悟数据、引入课题问题 1：请同学们看章头图中的有关沙漠化和缺水量
19、的数据，你有什么感受?师生活动：让学生充分思考和探讨，并逐步引导学生产生质疑：这些数据是怎么来的?设计意图：通过一些数据让学生充分感受我们生活在一个数字化时代，要学会与数据打交道，养成对数据产生的背景进行思考的习惯问题 2：我发现我们班级有很多的同学都是戴眼镜的，谁能告诉我我们班的近视率?普查：为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查称为普查总体：所要考察对象的全体称为总体(population)个体：组成总体的每一个考察对象称为个体(individual)普查是我们进行调查得到全部信息的一种方式，比如我国 10 年一次的人口普查等设计意图：通过与学生比较贴近的案例入手，让学生体会到统计是从日
20、常生活中产生的(二)操作实践、展开课题问题 3：如果我想了解榆次二中所有高一学生的近视率，你打算怎么做呢?抽样调查：从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查(sampling investigation)样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本(sample)师生活动：以四人小组为单位进行讨论，每个小组派一个代表汇报方案设计意图：从这个问题中引出抽样调查和样本的概念，使学生对于如何产生样本进行一定的思考，同时也使学生认识到样本选择的好坏对于用样本估计总体的精确度是有所不同的列举：一个著名的案例在 1936 年美国总统选举前，一份颇有名气的杂志(Literary Digest)
21、的工作人员做了一次民意测验，调查兰顿(ALandon)(当时任堪萨斯州州长)和罗斯福(FD Roosevelt)(当时的总统)中谁将当选下一届总统为了了解公众意向，调查者通过电话簿和车量登记簿上的名单给一大批人发了调查表(注意在 1936 年电话和汽车只有少数富人拥有)通过分析收回的调查表，显示兰顿非常受欢迎，于是杂志预测兰顿将在选举中获胜实际选举结果正好相反，最后罗斯福在选举中获胜，其数据如下：问题 4：你认为预测结果出错的原因是什么?设计意图：通过案例让学生进一步体会到：在抽样调查中，样本的选择是至关重要的，样本能否代表总体，直接影响着统计结果的可靠性问题 5：如果要调查下面这几个问题，你
22、认为应该作全面调查还是抽样调查?你们对于普查和抽样调查是怎么看的?普查一定好吗? 请举例(1)了解全班同学每周的体育锻炼时间；(2)调查市场上某个品牌牛奶的含钙量；(3)了解一批日光灯的使用寿命 设计意图：通过普查和抽样调查的比较，使学生感受抽样调查的必要性和重要性问题 6：如果我们想了解晋中市高一学生的近视率，你认为该怎么做呢?师生活动：以 2 人小组为单位进行讨论，说出比较可行的抽样方案问题 7：我们是否可以用晋中市高一年级学生的近视率来估计山西省高中生的近视率?为什么? 师生活动：教师继续让学生进行小组讨论，引导学生从样本容量以及样本抽取需要考虑的要素，如：学生的层次(高一、高二、高三)
23、，学生生活的环境(城市、县镇、农村)等教师对学生的回答进行归纳、整理，与学生一起讨论出比较可行的抽样方案设计意图：通过进一步的追问，加深学生对样本代表性的理解让学生进一步的认识到：在多背景下的抽样会产生偏差，以及样本的随机性与样本大小在产生有代表性的样本中的作用，同时对后面的内容进行简单介绍(三)总结拓展、提升思想问题 8：请你用 12 句话说说自己在本节课的收获生活动：引导学生从怎样学会提出统计问题?抽样调查与普查的优缺点? 样本的代表性与统计推断结论之间的关系等方面进行总结和回顾设计意图：总结回顾，巩固课堂知识、初步概括统计思想六、目标检测设计 1某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康状
24、况，分别做了四种不同的抽样调查你认为抽样比较合理的是( )A在公园调查了 1000 名老年人的健康状况 B在医院调查了 1000 名老年人的健康状况 C调查了 10 名老年邻居的健康状 D利用派出所的户籍网随机调查了该地区 10的老年人的健康状况设计意图：促进学生理解抽样的必要性和样本的代表性2为了了解全校 240 名学生的身高情况，从中抽取 40 名学生进行测量，下列说法正确的是 A总体是 240 B个体是每一个学生 C样本是 40名学生 D样本容量是 40 设计意图：回顾复习相关概念 3为了了解全校学生的平均身高，王一调查了自己座位旁边的五位同学，把这五位同学的身高的平均值作为全校学生平均身高的估计值(1)王一的调查是抽样调查吗?(2)如果是抽样调查，指出调查的总体、个体、样本和样本容量；(3)这个调查结果能较好地反映总体的情况吗?如果不能，请说明理由设计意图：回顾抽样调查的几个基本概念，强化抽样调查中样本的代表性
