1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 21及答案与解析一、单项选择题1 有一个容量为 66 的样本，数据的分组及各组的频数如下：115 ，155) 2 155，195) 4 195，23 5) 9 235，275) 18275 ，315) 11 315，355) 12 35539 5) 7 39 5，435) 3根据样本的频率分布估计，数据落在315，435)的概率约是( )（A）（B）（C）（D）2 如右图，正六边形 ABCDEF 中， =( )（A）0（B）（C）（D）3 函数 f(x)在点 x=x0 处有定义是 f(x)在点 x=x0 处连续的( )（A）充分而不必
2、要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件4 数列a n的首项为 3， bn为等差数列且 bn=an+1a n(nN*)若b3=2 ，b 10=12，则 a8=( )（A）0（B） 3（C） 8（D）115 =( )（A）（B） 1（C）（D）6 设全集 U=MN=1，2， 3，4，5 ，MC UN= 2，4，则 N=( )（A）1 ，2， 3（B） 1，3，5（C） 1，4，5（D）2 ，3， 47 若 a，bR，i 为虚数单位，且 (a+i)i=b+i，则( )（A）a=1 ，b=1（B） a=1，b=1（C） a=1，b=1（D）a= 1， b=18 数学课程内
3、容的呈现应注意层次性和( )（A）实用性（B）延伸性（C）基础性（D）多样性二、简答题9 求由曲线 y=ex，y=e，x=0 所围平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积10 设 y=y(x)， z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(z，y，z)=0 所确定的函数，其中 f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 11 求 y=2x2+3 在点 P(1，5)和 Q(2，9)处的切线方程12 概率是对随机现象的统计规律进行研究的数学学科，在研究方法上与以往所学的确定性数学有所不同学生在初次学习概率时常会感到不适应、理解不透彻，结果导致种种错误请结合自己的实际分析一下概率学习中常见
4、的错误13 算法是高中新课程引人的新内容，请你说说算法有哪些教学内容?算法思想是新课程重要思想之一，你在实际课程教学中是如何落实算法思想的?三、解答题14 已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn=n5a n85，nN * (1)证明：a n1是等比数列； (2)求数列S n的通项公式，并求出 n 为何值时，S n 取得最小值，并说明理由四、论述题15 国内有学者按照引起思考力水平高低将数学课堂教学分成记忆型、解释型、探究型，请问探究型课堂有什么特点?五、案例分析题16 已知方程 2sin2xcosxa=0 有实数解，求实数 a 的取值范围解法一：用方程思想指导解题，把三角方程转化为代数
5、方程求解令 t=cosx，t1，1，原方程化为 2t2+t+a2=0，问题转化为“方程 2t2+t+a2=0 在 t1，1内至少有一实根，求 a 的取值范围 ”由 t= 得1 1，或11，解得1a .解法二：用函数思想指导解题，原题转化为：求函数 a=2t 2t+2，t 1，1 的值域，易得1a .解法三：用数形结合思想指导解题，原题转化为：直线 y=a 与抛物线 y=2t 2t+2，t 1，1有交点，求a 的取值范围，易得 1a 问题：请对上述三种解题方法进行点评，并举例说明运用不同的数学思想解题的规律和方法六、教学设计题17 请对“方程的根与函数的零点” 一课的内容进行分析，并对该课的教学
6、目标进行解析中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 21答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 从 315 到 435 共有 22 个样本，所以 P= .2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 连续必定有定义，有定义不一定连续4 【正确答案】 B【试题解析】 由题给条件知，b10=b3+7d 12=2+7d d=2b 1=b32d=24=6b n=2n8，a n+1a n=2n8，由叠加法(a 2a 1)+(a3a 2)+(a8a 7)=6+ 4+2+0+2+4+6=0 a8=a1=35 【正确答案】 A【试题解析】 ，选择 A
7、 项6 【正确答案】 B【试题解析】 画出维恩图，可知 N=1，3，57 【正确答案】 C【试题解析】 因为(a+i)i=1+ai=b+i，根据复数相等的条件可知 a=1，b=18 【正确答案】 C二、简答题9 【正确答案】 (1)画出平面图形(如下所示) (2)10 【正确答案】 分别在 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 的两端对 x 求导，得11 【正确答案】 y=2x 2+3， y =4xy x=1=4，即过点 P 的切线的斜率为 4，故切线方程为：y=4x+1设过点 Q 的切线的切点为 T(x0，y 0)，则切线的斜率为4x0，又 ，故 =4x0，2x 028x 0+6=0x
8、 0=1 或 x0=3即切线QT 的斜率为 4 或 12，从而过点 Q 的切线方程为：y=4x+1，y=12x1512 【正确答案】 (1)对古典概型理解不清致错；(2)对互斥事件、独立事件判断不明致错；(3)处理至多、至少问题时方法不当致错；(4)对有序、无序判断不准致错13 【正确答案】 算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础，算法思想已成为现代人应具备的一种数学素养在这一模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体教学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿，操作，探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程，体会算法的基本思想及算法的重要性和
9、有效性，发展有条理地思考与表达的能力，提高逻辑思维能力教师在教学过程中，要强调理论与实践的结合，引导学生注意寻找、发现身边的实际问题，进而设计出算法和计算机程序去解决这些问题教师要注意发现对程序设计有特殊才能的学生，根据具体情况为他们提供充分的发展空间三、解答题14 【正确答案】 (1)证明：当 n=1 时，a 1=14；当 n2 时，an=SnS n1 =5a n+5an1 +1，所以 an1= (an1 1)，又 a11=150，所以数列an1是等比数列；(2)解：由(1)知：a n1= 15 ，得an=115 ，从而 Sn=75 +n90(nN *)；解不等式 SnS n1 ，得，当 n
10、15 时，数列S n单调递增；同理可得，当n15 时，数列S n单调递减；故当 n=15 时，S n 取得最小值四、论述题15 【正确答案】 教师有目的地引起新问题情境的认知冲突，促使学生积极投入学习过程，师生共同活动，增强数学观点和做有效的思考在获得知识方面，重视培养学生对新问题的敏感性，从实际问题中抽象出数学模型或者做出归纳假设，探索新知识在应用知识方面，则重视对数学内容的扩展，通过推理获得通性通法，或者是通过对数学问题的广泛延伸，使之同时具有对解决问题过程的合理性、完整性、简洁性做出评价和追求的态度五、案例分析题16 【正确答案】 上述三种解法比较，解法二、解法三更为简捷、漂亮，它们分别
11、巧妙地运用了函数思想和数形结合思想，充分体现了数学思想对解题过程的指导作用一般说来，在遇到求参数的范围、求最值、值域等涉及到量的变化时往往用函数思想方法打开思路；在遇到求参数值、求距离、求角、求三角函数值等涉及定量时往往用方程思想解决；遇到绝对值、字母系数等往往要用到分类讨论思想方法来指导解题，其关键是找到分类的起点；遇到超越方程或者难以讨论的函数可以用数形结合思想寻找解题思路；遇到运动变化的问题往往是从函数思想、极限思想或特殊思想考虑；在遇到复杂的式子、否定的叙述、至少至多语句等往往采用等价转化思想进行突破六、教学设计题17 【正确答案】 内容解析：本节课是在学生学习了基本初等函数()的基础
12、上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图像的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图像，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节用二分法求方程的近似解做准备从教材编写的顺序来看，方程的根与函数的零点是必修 1 第三章函数的应用一章的开始，其目的是使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的方
13、程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想” 和“数形结合的思想”，建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想 ”，是本章渗透的主要数学思想从知识的应用价值来看，通过在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体会符号化、模型化的思想，体验从系统的角度去思考局部问题的思想基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断目标和目标解析：1通过对二次函数图像的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想，领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，2零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系3通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，理解动与静的辩证关系掌握函数零点存在性的判断4在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用
