1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 25及答案与解析一、单项选择题1 计算极限： ( )。（A）0（B） 1（C） e（D）e 22 设 1(1 ， 2，3，1) T， 2(3，4，7，1) T， 3(2，6，a ，b)T， 4(0，1，3，) T，那么 a8 是 1， 2， 3， 4 线性相关的( )。（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既不充分也非必要条件3 直线 l： 与平面 ： yz 2 的位置关系是( )。（A）平行（B）相交但不垂直（C）垂直（D）直线 l 在平面 上4 设函数 f()在 0 处连续，且 2，则( )。（A）f
2、(0)1_f(0)2（B） f(0)0 且 f(0)2（C） f(0)1 且 f+()2（D）f(0)0 且 f+(0)25 矩阵 A 的属于特征根 4 的特征向量是 ( )。（A）(a， a，a)，a R（B） (2a，a，3a) ，a R（C） (a，a，a) ，a R（D）(2a ，3a，a)，a R6 设随机变量 X，Y 不相关，且 E(X)2，E(Y) 1，D(X) 3，则 E(X(XY 2)( )。（A）3（B） 3（C） 5（D）57 几何原本传人中国，首先应归功于科学家( )。（A）刘徽（B）秦九韶（C）徐光启（D）李善兰8 新课程标准下数学教学过程的核心要素是( )。（A）师
3、生相互沟通和交流（B）师生的充分理解和信任（C）教师的组织性与原则性（D）多种要素的有机结合二、简答题9 在某次考试中共有 12 道选择题，每道选择题有 4 个选项，其中只有一个是正确的。评分标准规定：“ 每题只选一项，答对得 5 分，不答或答错得 0 分。” 某考生每道题都给出一个答案，已确定有 9 道题的答案是正确的，而其余题中，有一道题可判断出两个选项是错误的，有一道可判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜。试求出该考生：(1)选择题得 60 分的概率；(2)选择题所得分数 的数学期望。10 已知直线 l：ay1 在矩阵 A 对应的变换作用下变为直线l：by1。 (1)求实
4、数 a，b 的值； (2)若点 P(0，y 0)在直线 l 上，且，求点 P 的坐标。11 计算不定积分ln(1 )d(0)。12 对数学概念教学的认识与提高应从哪几方面入手?13 如何处理面向全体学生与关注学生个体差异的关系?三、解答题14 设 h0，函数 f 在 U(a，h)内具有 n2 阶连续导数，且 f(n+2)(a)0，f 在 U(a，h)内的泰勒公式为 f(ah)f(a) f(a)h ，01， 证明：四、论述题15 普通高中数学课程标准(实验)指出：“ 形式化是数学的基本特征之一。在数学教学中学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表述，要强调对数学本质的认识，否则会
5、将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的。因此，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程的本质。”如何理解数学形式化? 如何适度形式化? 并举例说明几种不同的形式化数学内容的教学方式。五、案例分析题15 某教师的例题解题课如下： 环节一：教师给出例题，已知椭圆 C 的左焦点F(1，0)，且点 P(1， )在椭圆 C 上，求椭圆 C 的标准方程，接着老师请学生做大约 30 秒，教师站在讲台上观察。 环节二：教师请学生甲站起来说解题过程，同时板书学生甲的过程，并及时矫正如图一： 环节三：教师请学生乙站起来说解题过程同时板书学生
6、乙的过程并及时矫正如图二：环节四：教师结合板书总结出关于椭圆方程两种方法：待定系数法、定义法，并板书在黑板上 环节五：学生做课堂练习，求与椭圆方程 429y 236 有相同焦点，且过(3，2)的椭圆标准方程 随堂观察学生的课堂练习情况发现一种现象：学生求解例题用哪种方法，课堂练习依然使用同种方法。说明案例中教学并没有促进学生对解题方法进行优化。 问题：16 说明案例中这位教师在教学过程中哪些做法符合教学规律?17 你认为这位老师还可以有哪些改进?18 本节内容蕴含了哪些数学思想方法?六、教学设计题19 下面是某教师执教不等式的运用的教学过程。 教学的具体环节如下： (1)揭示知识联系 学生画均
7、值不等式概念图，并展示，交流讨论，丰富概念图。(设计意图：引导学生总结梳理与均值不等式相关的知识结构，通过交流讨论，帮助学生完善知识结构。) (2)通过正例同化： 例 1：如果 a，bR +且 ab，求证：a3b 3a 2bab 2。 例 2：已知 a，b，c 都是小于 1 的正数，求证：(1a)b、(1b)c、(1c)a 中至少有一个不大于 。 (设计意图：利用上述两例，结合一题多解方式，促进学生加深领会基础知识、基本技能、基本方法，并引导他们把专题知识结构同化到原有的认知结构中去。) (3)通过反例同化： 例 3：求 y 的最小值。 (设计意图： _) (4)运用练习强化： 练习题共三组，
8、每组四道：第一组作为当堂练习，即时讲评；第二组为课堂作业教师部分口头提示；第三组为自习作业，学生简答思路。 (设计意图：安排难易适当、有梯度的题组，利用变式教学引导学生在完善知识结构的同时回味、消化、强化所学知识。) 请完成下列任务： (1)请完成概念图中问号处的不等式； (2)请补充完例 3 通过反例同化的设计意图； (3)关于不等式的运用的教学过程，给出你的教学目标设计； (4)请对上述这位教师执教不等式的运用的教学过程作出评价。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 25答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 根据题
9、意 1， 2， 3， 4 线性相关，则 ，整理得2(a8)(2a)0，a8 或 a2。所以 a8 是 1， 2， 3， 4 线性相关的充分不必要条件。3 【正确答案】 B【试题解析】 直线 l 的方向向量为 m(2，1，3)，平面的法向量为，n(1，1，1)，因为 m 和 n 既不垂直也不平行，所以直线 l 和平面 相交但不垂直。4 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意首先得 f(0)0，由导数的定义有，f +(0)2(其中 t 2)。5 【正确答案】 A【试题解析】 对 4 求相应的线性方程组 (EA)0 的一个基础解系，0，化简求得此方程组的一个基础解系，(a，a，a)，aR，即得所求。
10、6 【正确答案】 D【试题解析】 E(X(XY2) E(X 2)E(XY)2E(X)DX(EX)2EXEY2EX5。7 【正确答案】 C【试题解析】 中国最早的译本是 1607 年意大利传教士利玛窦和徐光启根据德国人克拉维乌斯校订增补的拉丁文本欧几里得原本(15 卷)合译的，定名为几何原本，几何的中文名称就是由此而得来的。8 【正确答案】 A【试题解析】 新课程标准下数学教学过程的核心要素是加强师生相互沟通和交流，倡导教学民主，建立平等合作的师生关系，营造同学之间合作学习的良好氛围，为学生的全面发展和健康成长创造有利的条件。二、简答题9 【正确答案】 (1)得分为 60 分，12 道题必须全做
11、对。在其余的 3 道题中，有 1 道题答对的概率为 ，有 1 道题答对的概率为 ，还有 1 道答对的概率为 ，所以得分为 60 分的概率为：P 。 (2)依题意，该考生得分的范围为45，50 ，55 ，60 。得分为 45 分表示只做对了 9 道题，其余各题都做错，所以概率为 P1 ；得分为 50 分的概率为： P 2； 同理求得得分为 55 分的概率为：P 3；得分为 60 分的概率为：P 4 ，所以得分的分布列为：数学期望10 【正确答案】 (1)设直线 l：ay1 上任意点 M(，y)在矩阵 A 对应的变换作用下的像是 M(，y)。 又点M(，y)在 l上，所以 by1，即 (b2)y1
12、， 依题意得(2)由 解得 y00 又点P(0，y 0)在直线上 l 上，所以 01。 故点 P 的坐标为(1，0)。11 【正确答案】 12 【正确答案】 目前在数学概念教学中。应注意从以下几个方面认识和提高。(1)重视解释概念的内涵与外延，重视概念学习之间的迁移影响。数学概念具有确定的内涵与外延，教学的迁移要重视深入揭示概念的外延，把新 1 日概念的由来和发展、区别和联系进行剖析、类比、深刻理解、灵活运用、克服负迁移、发挥正迁移。(2)数学概念教学是素质教育的重要内容。复习旧课，讲授新课，离不开概念。在现代教学的发展中，概念教学不仅不能削弱，而且要更自觉、更有意识、更科学地进行。(3)数学
13、概念教学是一个完整的教学过程，不可有头无尾。(4)数学概念教学要抓住关键，不可追求单一的教学模式。如果教师讲授每个数学概念都从具体出发，进行抽象概括，是不符合数学教学实际的，其中的关键问题，是教师要明确影响概念学习的因素。(5)要在数学思想、方法的高度上进行数学概念教学。数学概念和其他数学知识一样，是中学数学的表层知识，而数学思想、方法是数学的深层知识，深层知识蕴含于表层知识之中，是表层知识的本质，是分析、处理和解决数学问题的策略和基本方法。只有当学生在数学思想、方法的高度上掌握数学概念、数学知识时。才能较好地形成数学能力，受益终生。(6)不能将数学概念教学简单化，以为学生会利用概念解一两道题
14、就是理解了概念，学生会运用某种方法解题或引用以某种思想为基础的概念，就简单地认为学生已经掌握了这种思想方法。数学概念的掌握靠理解、数学思想、方法的掌握靠领悟。因此，学生通过学习概念等表层知识到对深层知识的领悟，需要一个过程，在这方面，绝不能急于求成，否则，欲速则不达。13 【正确答案】 教学活动应努力使全体学生达到课程目标的基本要求，同时要关注学生的个体差异，促进每个学生在原有基础上的发展。对于学习有困难的学生，教师要给予及时的关注与帮助，鼓励他们主动参与数学学习活动，并尝试用自己的方式解决问题、发表自己的看法，要及时地肯定他们的点滴进步，耐心地引导他们分析产生困难或错误的原因，并鼓励他们自己
15、去改正，从而使他们增强学习数学的兴趣和信心。对于学有余力并对数学有兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料和思维空间，指导他们阅读，发展他们的数学才能。在教学活动中，要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，恰当评价学生在解决问题过程中所表现出的不同水平。问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的策略，并引导学生通过与他人的交流选择合适的策略，丰富数学活动的经验，提高思维水平。三、解答题14 【正确答案】 f 在 U(a，h)内带皮亚诺型余项的 n2 阶泰勒公式为与题目中给的泰勒公式相减得从而有令 h0 两端取极限得 故 。四、论述题15 【正确答案
16、】 所谓“ 数学形式化 ”，就是用特定的数学语言，包括数学的符号语言、图象语言和文字语言，表达自然现象和社会现象的空间结构和数量关系，即具有相对固定样式的数学概念、法则、结论。对概念、定理、法则和解题技法等若都能达到本质的理解固然很好。但毕竟有些内容要求学生在形式化的基础上形成机械记忆，并能投入操作应用即可。问题的关键是，哪些内容应保留形式，哪些内容需要否定形式。哪些内容需要形式和本质的和谐共处，这些不能靠主观臆断，而要靠老师在吃透新课程标准和新教材的基础上科学合理地来确定。所以：(1)数学教学之初，应该充分展示数学错识发生发展的过程，引导学生弄清本质，在熟练的基础上适度形式化。形成自己的技能
17、，这样的知识学得牢固一些，对于大面积提高数学成绩也有帮助。(2)某些解题方法，必须引领学生在解题实践的过程中总结有典型意义的重要形式，且注意思维的参与，使这些行为模式的操作更有效。(3)数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。例如，有些概念(如函数)的教学是从已有知识和实例出发，再抽象为严格化的定义；有些内容(如统计) 的数学是通过案例来学习它的思想和方法，理解其意义和作用；又如，对导数概念的理解是通过实例，让学生经历从平均变化
18、率过渡到瞬时变化率的过程，进而了解导数概念的实际背景以及瞬时变化率就是导数，体会导致的思想及其内涵。五、案例分析题16 【正确答案】 课程的内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果形成的过程和蕴含的数学思想方法，老师让学生独立思考处理好了直接经验与间接经验的关系，在教学活动中师生积极参与、交往互助、共同发展，在教学活动中学生独立思考，激发了学生学习的兴趣，鼓励学生的创造性思维，学生可以培养良好的学习习惯，掌握恰当的学习方法，而教师在学生给出结果后给予矫正，学生获得正确的知识，掌握一题多解的方法。17 【正确答案】 教师在此次教学过程中没有让学生自己总结得出结论，没有起到学生为主体，教师是学习的合
19、作者、组织者和引导者的作用，教师板书总结就缺乏了学生积极参与，而在学习数学的过程中老师并没有给学生足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。教师应该注重启发式教学和因材施教：教师应当处理好教师教与学生自主学习的关系。引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。18 【正确答案】 数形结合思想、转化化归思想。六、教学设计题19 【正确答案】 (1)第一行中间的问号应填入： ； 第二行中间的问号应填入： 。 (2)例 3 的设计意图：通过例 3 剖析错解、引出正确的教学策略，把学生置于原有认知结构与新问题矛盾
20、的冲突之中，引导他们顺应新问题、新体会，调整原有认知结构从而达到新平衡。 (3)知识与技能目标：掌握均值不等式，能根据问题条件的需要灵活运用均值不等式解决相关问题。 过程与方法目标：通过相关知识的梳理，以及正例同化与反例顺应，优化认知结构，进一步发展恒等变形与转化化期的能力，发展思维的灵活性与创新性。 情感态度与价值目标：经历知识的系统化过程，感受教学知识的内容在联系，领悟数学知识的生长规律；经历师生、生生交流、合作与探究、批判与反思，增进理性思想的发展，并获得成功的体验。 (4)上述教学过程，基本符合教学要求、学生实际，反映了新课程的基本理念。而且，教学过程设计比较具体，可操作性强，能保证教学目标的实现。但有两个环节不容把握：一是对知识结构梳理；二是利用反例顺应。这两个环节也是引导学生进行高水平从知活动的重要环节，对于学生的不同想法，教师应只引申和明确，不能限制学生的思路，要给教学的动态生成以充分的空间和时间。
