1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 26及答案与解析一、单项选择题1 下列函数在 0 处可导的是 ( )。（A）y （B） y（C） f()（D）ysin2 已知曲面方程为 2y 2 z28y6z10，则过点(5，2，1)的切平面方程为( )。（A）2y 2z0（B） 2y2z 10（C） 2y6z 15（D）2y 6z03 已知线性方程组 AXk 1 2 有解，其中则 k 等于( )。（A）1（B） 1（C） 2（D）24 线性方程组的增广矩阵为 则线性方程组有无穷多解时 的值为( )。（A）1（B） 4（C） 2（D）5 若级数 收敛， 发散，则( )。（A） an
2、bn 必发散（B） an2 必收敛（C） bn2 必收敛（D） (anb n)必发散6 若任取 ， y(0，1 ，则点 P(，y)满足 y 的概率为( )。（A）（B）（C）（D）7 牛顿和( )创立的微积分开创了数学的新领域：分析学。微积分将难以解决的两个几何问题(曲线切线问题和曲线所围面积问题)解决了，把这些问题简化为计算问题。（A）笛卡尔（B）莱布尼茨（C）费马（D）欧拉8 普通高中数学课程标准(实验)将“( )、数学建模、数学文化”作为贯穿整个高中数学课程的重要学习活动，渗透或安排在每个模块或专题中，正是与创新能力培养的一个呼应强凋如何引导学生去发现问题、提出问题。（A）数学探究（B）
3、数学应用（C）数学思想（D）数学概念二、简答题9 在空间直角坐标系中，求直线 和直线 夹角的余弦值。10 设 已知线性方程组 Ab 存在两个不同的解，求，a 。11 求幂级数 1 (1) 的和函数 f()及其极值。12 请简要描述数学应用意识及推理能力的主要表现。13 下列框图反映了函数与相关内容之间的关系，请用恰当词语补充完整。三、解答题14 讨论函数 f(，y) 的连续性。四、论述题15 普通高中数学课程标准(实验)指出：“ 注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力”“在数学教学中，应注重发展学生的应用意识”，请叙述如何发展高中生的应用意识和能力，并举例说明。五、案例分析题15
4、案例：面对课堂上出现的各种各样的意外生成，教师如何正确应对，如何让这些生成为我们高效的课堂教学服务，如何把自己课前的预设和课堂上的生成有效融合，从而实现教学效果的最大化这是教师时刻面临的问题。在一次听课中有下面的一个教学片段：教师在介绍完中位线的概念后，布置了一个操作探究活动。师：大家把手中的三角形纸片沿其一条中位线剪开，并用剪得的纸片拼出一个四边形，由这个活动你可以得到哪些和中位线有关的结论?学生正准备动手操作，一名学生举起了手。生：我不剪彩纸也知道结论。师：你知道什么结论?生：三角形的中位线平行于第三边并等于第三边的一半。教师没有想到会出现这么个“程咬金” ，脸冷了下来： “你怎么知道的?
5、”生：我昨天预习了，书上这么说的。师：就你聪明，坐下!后面的教学是在沉闷的气氛中进行的，学生操作完成后再也不敢举手发言了。问题：16 结合上面这位教师的教学过程，简要做出评析。17 结合你的教学经历，说明如何处理好课堂上的意外生成。六、教学设计题18 针对“直线与平面平行的判定” 起始课的教学，两位老师给出了如下教学设计片段： 【教师甲】 设置问题情境：同学们在日常生活中经常遇到直线和平面，那么直线与平面有什么样的位置关系呢? 规定：空间中直线为 a，平面为 ，则 a 与 有哪几种位置关系? 并完成下表：【教师乙】 复习导入：回顾直线与平面的位置关系 活动：学生思考举手回答，教师做点评，引导。
6、对直线与平面的三种位置关系的三种语言进行投影，并指出平行关系是立体几何中重点研究对象之一，今天我们接下来研究直线与平面平行所要满足的条件，板书课题直线和平面平行的判定。 请完成下列任务： (1)请分析两位老师引入“ 直线和平面平行的判定 ”概念设计方案的各自的特点。 (2)请分析“直线和平面平行的判定” 的重、难点。 (3)在教学巾，当引入一个新的数学概念之后，往往通过例题、习题加深对概念的理解。请针对“直线和平面平行的判定” ，设计不同难度的两道例题和两道练习题，以加深学生对“直线和平面平行的判定” 的理解。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 26答案与解析一、单项选
7、择题1 【正确答案】 C【试题解析】 由导数定义，函数 f()在 0 处可导，则。 选项 A 不正确，因为1。 选项 B 不正确，因为 都不存在。 选项 C 正确，因为 选项 D 不正确，因为 1。2 【正确答案】 B【试题解析】 设球面方程为 2y 2z 22p2qy2rz d0，则过球面上点(0，y 0， 0)的切平面方程为： 0y 0yz 0zp( 0)q(yy 0)r(z z 0)d0。 由曲面方程为 2y 2z 228y6z10 可知p1，q4，r 3，d 10，则过点(5 ，2，1)(点在球面上)的切平面为 52yz( 5)4(y2)3(z1)100 整理得：2y2z 10。故选
8、B。3 【正确答案】 D【试题解析】 已知线性方程组是非齐次的，方程组有解，则系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，由此可以求出 k。 因为已知线性方程组 AXk 1 2，将AXk 1 2 的增广矩阵作初等行变换，AXk 1 2 有解 r(Ak 1 2)r(A) 2，即5k 100，得 k2。4 【正确答案】 D【试题解析】 ，方程组有无穷多解时，120，即 。5 【正确答案】 D【试题解析】 A 项， an 收敛， bn 发散， anbn 不一定发散，例如当 an 为常数级数。时；B 项， an 收敛， an2 不一定收敛，例如级数 ，由莱布尼兹判别法知此级数收敛，而 发散；C 项，如果级数 bn
9、中 bn 为常数2 时，则 n2 发散；D 项的说法是正确的，若 (anb n) 收敛，则(anb na n)也收敛，进而有 bn 收敛，矛盾。6 【正确答案】 D【试题解析】 由题意可得，y(0，1) 所对应区域为边长为 1 的正方形，面积为1。 记点 P(，y) 满足 y 为事件 A，则 A 包含的区域由 确定的区域的面积为7 【正确答案】 B【试题解析】 牛顿和莱布尼茨创立的微积分开创了数学的新领域：分析学。8 【正确答案】 A二、简答题9 【正确答案】 两直线的方向向量分别为 m (1 ，1，0)，n(3，6，2)。 则两直线夹角的余弦 cos。10 【正确答案】 写出增广矩阵 作初等
10、行变换得线性方程组 Ab 存在两个不同的解，可知 Ab 有无穷多解，故 r(A)r(A，b)3。 因此系数矩阵的行列式为零，可知 1 或1。 又当 1 时，增广矩阵为 此时，无论 a 为何值，都有 r(A)1，r(A，b)2 ，线性方程组无解，不符合题意。 故 1，此时增广矩阵为r(A) 2，要使得 r(A，b)也为 2，则必有 a一 2。故 。11 【正确答案】 先对和函数 f()1 求导对上式两边从 0 到 积分由 f(0)1，得 f()1 ln(1 2) (1) 为了求极值，对 f()求一阶导数 f()令 f()0，求得唯一驻点 0，由于 f() ，则 f(0)10， 由极值的第二充分条
11、件，得 f()在 0 处取得极大值，且极大值为f(0)1。12 【正确答案】 应用意识主要表现在认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。推理能力主要表现在能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。13 【正确答案】 类比； 映射；特殊化三、解答题14 【正确答案】 因
12、为 从而 f(，y)0f(0，0)。所以函数 f(，y)在点(0，0)连续。 又在 y0 的点(，y)处，由于f(，y) 是初等函数且在这些点处有定义，故 f(，y)连续。因此 f(，y) 在D(，y) y0 (0， 0)上连续。 又函数在任一点( 0，0)(0，0)处，由于f(0，0) 0，但 f(，y)0，从而 f 在( 0，0)间断。故 f 仅在D(，y) y0 (0， 0)上连续。四、论述题15 【正确答案】 通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值。帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学
13、，我能用数学。在有关内容的教学中，教师应指导学生直接应用数学知识解决一些简单问题。高中数学课程中提供了基本内容的实际背景。反映数学的应用价值，所以应多开展“数学建模”的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程。高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。例如，运用函数、数列、不等式、统计等知识直接解决问题；还应通过数学建模活动引导学生从实际情境中发现问题，并归结为数学模型，尝试用数学知识和方法去解决问题；也可向学生介绍数学在社会中的广泛应用，鼓励学生注意数学应用的事例，开阔他们的视野。五、案例分析
14、题16 【正确答案】 在课堂上，教师面对的是一群有着不同生活经历、有自己的想法，在很多方面存在差异的生命体，也正是因为有这种差异，课堂才是充满变化、丰富多彩的，教师如果不能适应这种变化，不能及时正确处理课堂的生成，那么气课堂效果将很难保证是高校的。在上面的教学片断中教师对学生直接说出中位线的性质很是不满。因为这样一来教师后面设计好的精彩探索活动就没有必要再进行了，碰上这样的意外，教师是取了生硬的处理方式，让其他学生继续探索，但此时教师的不满情绪和处理这件事情的方式使得全班同学失去了探索的兴趣和发言的勇气。教师如果换一种方式、先表扬发言学生“你真是爱学习的学生，我相信你还是个爱思考的学生!”然后
15、让他和大家一道动手操作、探索、验证中位线为什么具有这样的性质，课堂效果应该更好。17 【正确答案】 生成从性质角度来说，有积极的一面，也有消极的一面，从效果角度来说有有效的一面，也有无效的一面。教师在课堂上要充分发挥好自己组织者的角色，不断捕捉、判断、重组课堂教学中从学生那里体现出来的各种各类的信息，并能快速断定哪些生成对教学是有效的，哪些生成是偏高了教学目标，一名优秀的数学教师应该能够正确应对课堂上出现的各种各样的生成，使之为我们的数学教学服务，提高课堂教学的效果。六、教学设计题18 【正确答案】 (1)教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，
16、学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者和合作者。数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生思考，鼓励学生的创造性思维。在教学的过程中教师应注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。也注重以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，采取启发式和因材施教的教学。学生在生动活泼的、主动的教学课堂中，更容易吸收知识，但也应注重多种学习方式相结合，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。 教师甲、乙的做法都符合素质教育的要求的，但是教师甲和教师乙引入的方法不同，各有各的好处。首先教师甲通过生活中的常识引导学生发现并自主提出直线与平
17、面的关系，符合由浅人深的理念，容易激发学生的学习积极性。概念的总结也让学生来完成把课堂尽量多地还给学生，以此来体现自主学习，主动参与原理念。教师乙的做法，通过师生互动回忆旧知识，帮助学生巩崮 lH 知识，让学生在体验学习数学的成就感巾来学习新知识，营造轻松愉快的学河氛围，虽然没自给学生预设情境，但是却建立了旧知与新知的联系，也是一种符合新课标要求的引入方法。 (2)教学重点与难点 重点：判定定理的引入与理解。 难点：判定定理的应用及立体几何空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。 (3)例题 1：判断下列命题的真假?说明理由： 如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行； 过直线外一点
18、可以作无数个平面与这条直线平行 过平面外一点只能作一条直线与这条平面平行 直线 a 和平面 平行，则直线 a 平行于平面 内任意一条直线； 直线 a 和平面 平行，则平面 中必定存在直线与直线 a 平行。 例题 2：求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另两边的平面。 已知：如图空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点 求证：EF 平面 BCD练习 1：如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是棱 BC 与 C1D1 中点，求证：EF平面 BDD1B1练习 2：一个木块如图，点 P 在平面 VAC 内，过点 P将木块锯开，使截面平行 VB 和 AC，应该怎样划线?
