1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 39及答案与解析一、单项选择题1 当时 x1，函数 的极限( )。（A）等于 2（B）等于零（C）为 （D）不存在但不为2 已知线性方程组 AX=K1+2 有解，其中 则 K 等于( )。（A）1（B）一 1（C） 2（D）一 23 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是( )。（A） 1=0（B） 2=0（C） 10（D） 204 x=0 为函数 的( ) 。（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）无穷间断点（D）振荡间断点5 设 f(x)为不恒等于零
2、的奇函数，且 f(0)存在，则函数 ( )。（A）在 x=0 处左极限不存在（B）有跳跃间断点 x=0（C）在 x=0 处右极限不存在（D）有可去间断点 x=06 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此人第四次射击恰好第二次命中目标的概率为( )。（A）3p(1 一 p)2（B） 6p(1 一 p)2（C） 3p2(1 一 p)2（D）6p 2(1 一 p)27 数学史上一共发生了几次危机?( )（A）1（B） 2（C） 3（D）48 下列不属于义务教育数学课程标准(2011 年版)中初中数学课程“基础性” 内涵的是( )。（A）初中阶段的数学课程中有大量的内
3、容是未来公民在日常生活中必须用到的（B）初中阶段的教育是每一个学生必须经历的基础教育阶段，它将为其后续生存、发展打下必要的基础（C）初中数学课程是为即将结束义务教育阶段的初中学生谋求明日的发展（D）数学课程内容是学生在初中阶段学习其他课程的必要基础二、简答题9 试求通过点 M0(一 1，0，4)，垂直于平面：3x 一 4y 一 10=0，且与直线 l：平行。10 设线性方程组 与方程组 x1+x2+ax3=a 一 1 有公共解，求 a 的值及所有公共解。10 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从 6 道备选题中一次性抽取 3 道题独立作答，然后由乙回答剩余 3 道题，每人
4、答对其中 2 道题就停止作答，即闯关成功，已知在 6 道备选题中，甲能答对其中的 4 道题，乙答对每道题的概率都是手。11 求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；12 设甲答对题目的个数为 ，求 的分布列及数学期望。13 义务教育数学课程标准(2011 年版)指出教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。教学中应该注意的几个关系是什么?14 下列框图反映了函数与相关内容之间的关系，请用恰当词语补充完整。三、解答题15 根据 k 的不同取值，说明(9 一 k)x2+(4 一 k)y2+(1 一 k)z2=1 表示的各是什么图形。四、论述题16 结合实例(以初中为例)说明中学生是怎样学习数学概
5、念、数学命题的?五、案例分析题16 16以下为某教师在进行一元一次不等式组教学中设计的相关教学活动：出示例题：小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为 72 千克，坐在跷跷板的一端体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在另一端。这时，爸爸的一端仍然着地，后来小宝借来一副质量为 6 千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果，爸爸被高高地跷起。猜猜看，小宝的体重约多少千克?教师问学生：“ 你们玩过跷跷板吗 ?先看看题，一会请同学复述一下。 ”学生复述后，基本已经熟悉了题目。接着教师让学生思考：他们三人坐了几次跷跷板?第一次坐时情况怎样? 第二次呢 ?学生议论了一会儿，自主发言，很快发现本题中存在
6、的两种文字形式的不等关系：爸爸体重小宝体重+妈妈体重爸爸体重小宝体重+妈妈体重+ 一副哑铃重量教师顺势引导：你还能怎么判断小宝体重?学生安静了几分钟后，开始议论。一学生举手了：“ 可以列不等式组。 ”教师给出提示： “小宝的体重应该同时满足上述的两个条件。怎么把这个意思表达成数学式子呢?”这时学生们七嘴八舌地讨论起来。都抢着回答，该教师注意到一位平时不爱说话的学生紧锁眉头，便让他发言：“可以设小宝的体重为 x 千克，能列出两个不等式。可是接下来我就不知道了。”教师听了心中一动，意识到这应是思想渗透的好机会，便解释说：“我们在初中会遇到许多问题都可以用类似的方法来研究解决，比方说前面列方程组”不
7、等教师说完，学生都齐声答：“ 列不等式组。 ”全班 12 个小组都积极投入到解题活动中了。5 分钟后，教师请学生板演，自己下去巡查、指导，发现学生的解题思路都很清楚，只是部分学生对答案的表达不够准确。于是提议学生说说列不等式组解应用题分几步，应注意什么。此时学生也基本上形成了对不等式组方法解题的完整认识。17 请结合新课标简要分析该教师的教学过程。18 本节课所蕴含的数学思想方法包括什么?19 请设置一道开放题检测学生对本节知识内容的掌握情况。六、教学设计题19 “三角形的中位线 ”是初中学习三角形知识点中必不可少的内容。对学生的要求是必须了解三角形中位线的概念，熟练掌握三角形中位线定理的证明
8、和有关应用。20 该课程设定需要使学生达到什么能力目标?21 本课程的教学重点与难点。22 教学过程(只要求写出新课导入和新知识探究、巩固、应用等)及设计意图。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 39答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 已知线性方程组是非齐次的，如果方程要有解，则系数矩阵的秩要等于增广矩阵的秩，由此可以求出 K。 因为已知线性方程组 AX=K1+2，将AX=K1+2 的增广矩阵作初等行变换，AX=K1+2 有解(A 12)=2，得 K=一 2。3 【正确答案】 D【试题解析】 由题意可知 A1=11
9、，A 2=22， 充分性：若 1，A( 1+2)线性无关，A( 1+2)=11+22，若 2=0， 1 与 A(1+2)共线，则线性相关，与条件不符，故 20； 必要性：当 20 时，若 k11+k2A(1+2)=k11+k2(11+22)=(k1+k21)1+k222=0，则必有 k1+k21=0 且 k2=0，即 k1=k2=0，故 1 与 A(1+2)是线性无关的。4 【正确答案】 A【试题解析】 有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量，即 。但是在 x=0 处函数没有意义，函数值不存在，因此 x=0 为函数 的可去间断点。5 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)为奇函数知 f(0)
10、=0；又由 ，知 g(x)在 x=0 处没定义，显然 x=0 为 g(x)的间断点，为了讨论函数 g(x)的连续性，求函数 g(x)在 x0 的极限。 故 x=0 为可去间断点。6 【正确答案】 C【试题解析】 前三次射击只有一次命中目标的概率为 C31p(1 一 p)2，所以，所求的概率为 C31p(1 一 p)2p=C 31p2(1 一 p)2。7 【正确答案】 C【试题解析】 一共发生了三次，分别是：无理数的发现，无穷小是零吗，罗素悖论的产生。8 【正确答案】 C【试题解析】 选项 C 属于初中数学课程“发展性 ”的含义。二、简答题9 【正确答案】 平面的法向量 n1=(3，一 4，1)
11、 ，直线 l 的方向向量 l=(3，1，2)，所以所求平面的法向量 n=n1l= =9i3j+15k=(一 9，一 3，15)。平面上任意一点 M(x，y，z)，则 得 一 9(x+1)一 3y+15(z4)=0 整理得所有平面方程：3x+y 一 5z+23=0。10 【正确答案】 将方程联立 该方程组的解即为两个方程组的公共解。(1)当 a=l 时，(2)当 a=2 时，11 【正确答案】 先求甲乙两人都没有闯关成功的概率 P1，甲没有成功即甲抽取的3 道题里只有一道能答对， 乙没有闯关成功的概率为。这两个事件是相互独立事件，所以甲乙两人都没有闯关成功的概率 P1=P 甲 P 乙 = ，最后
12、得到甲乙至少有一人闯关成功的概率 。12 【正确答案】 的可能取值为 1，2。 =1, 即甲答对一题，说明甲抽到的三道题只有一道能答对， ； =2,即甲答对两题，说明甲抽到的三道题至少有两道能答对， ， 所以分布列是：13 【正确答案】 (1)“预设”与“生成”的关系；(2)面向全体学生与关注学生个体差异的关系；(3)合情推理与演绎推理的关系；(4)使用现代信息技术与教学手段多样化的关系。14 【正确答案】 类比； 映射；特殊化。三、解答题15 【正确答案】 方程(9 一 k)x2+(4 一 k)y2+(1 一 k)z2=1 (1)k9 时，(1) 式不成立，不表示任何图形；四、论述题16 【
13、正确答案】 数学概念的学习可分为两种基本形式：概念的形成，概念的同化。(1)概念的形成是通过对概念所反映的事物的不同例子中，让学生积极主动地去发现其本质属性，从而形成新概念，这种获得概念的方式叫概念的形成。如学习函数的单调性的概念可采用如下的步骤： 第一，让学生分别指出下列例子中的变量以及变量之间的关系的表达式： 以每小时 40 千米匀速行驶的汽车所驶过的路程和时间： 用表格所给出的某水库的存水量与水深： 由某一天气温变化的曲线所揭示的气温和时间； 任何整数的平方运算中，底数与它的二次幂； 第二，找出上述各例中两变量之间关系的共同的本质属性。 第三，学生以第二步中明确的函数的本质属性为依据，辨
14、别若干正反面的例子。 如在任意正数开方运算中，被开方数 x 与平方根 这里的 x 和 y 两个变量就不是函数关系。 第四，在以上几步的基础上，抽象、归类、概括出函数的定义。 (2)概念的同化是以定义的形式给出，由学生主动地与自己认识结构中原有的有关概念相互联系，相互作用以领会它的意义，从而获得新概念。 如，学习梯形的概念：“梯形是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形” 。这时学生要主动积极地与自己认知结构中原貌的概念(如平行四边形的概念)区别开来，并相互贯通组成一个整体，纳入原有的概念体系之中；最后通过例题的学习与练习、习题的解答，加深对梯形本质属性的认识，使它在认知结构中得到巩固。五、案例
15、分析题17 【正确答案】 新课标要求，让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程。在实际工作中让学生学会从具体问题情景中抽象出数学问题，使用各种数学语言表达问题、建立数学关系式、获得合理的解答、理解并掌握相应的数学知识与技能，这些多数教师都注意到了，但要做好，还有一定难度。该教师在贯彻新课标这一方面做得较为优秀尤其是以下几个方面：该教师在课堂教学中设置了几个台阶，这也正好符合了循序渐进的教学原则。例题贴近学生实际，在教学中有采用了更亲近的教学语言，有利于激发学生的探究欲望。关注学生的学习状态，随时采取灵活适宜
16、的教学方法，师生互动，生生互动，课堂教学才更加有效。学生在学习后，确实感受到“ 不等式的方法”就像方程的方法一样是从字母表示数开始研究解决的。这种方法可以帮助我们用数学的方式解决实际问题。18 【正确答案】 转化化归思想方法，类比思想。19 【正确答案】 一次考试共 25 道选择题，做对一道得 4 分，做错一道减 2 分，不做得 0 分。若小明想确保考试成绩在 60 分以上，那么他至少要做对多少题?六、教学设计题20 【正确答案】 该课程设定需要使学生达到：经历“探索一发现一猜想一证明 ”的过程，进一步发展推理论证能力。能够用多种方法证明三角形的中位线定理，体会在证明过程巾所运用的归纳、类比、
17、转化等数学思想方法。能够应用三角形的中位线定理进行有关的论证和计算，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力。21 【正确答案】 教学重点与难点教学重点：三角形中位线的概念与三角形中位线定理的证明。教学难点：三角形中位线定理的多种证明。22 【正确答案】 教学过程 一道趣题课堂因你而和谐 问题：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?这四个全等三角形能拼凑成一个平行四边形吗?(板书) (这一问题激发了学生的学习兴趣，学生积极主动地加入到课堂教学中，课堂气氛变得较为和谐，课堂也鲜活起来了。) 学生想出了这样的方法：顺次连接三角形每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形。将ADE 绕 E 点沿
18、顺(逆)时针方向旋转 180可得平行四边形 ADFE。 问题：你有办法验证吗? 一种实验课堂因你而生动 学生的验证方法较多，其中较为典型的方法如下：生 1：沿DE、DF、EF 将画在纸上的ABC 剪开看四个三角形能否重合。生 2：分别测量四个三角形的三边长度，判断是否可利用“SSS”来判定三角形全等。生 3：分别测量四个三角形对应的边及角，判断是否可用“SAS、ASA 或 AAS”判定全等。 引导：上述同学都采用了实验法，存在误差，那么如何利用推理论证的方法验证呢? 一种探索课堂因你而鲜活 师：把连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。(板书 ) 问题：三角形的中位线与第三边有怎样的关系呢
19、?在前面图 1 中你能发现什么结论呢?(学生的思维开始活跃起来，同学之间开始互相讨论，积极发言) 学生的结果如下：DE BC，DFAC，EF AB，AE=EC，BF=FC，BD=AD ，DE=05BC，DF=AC，EF=05AB 猜想：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。(板书) 师：如何证明这个猜想的命题呢? 生：先将文字问题转化为几何问题然后证明。 已知：DE 是 ABC 的中位线，求证：DE BC、DE=05BC。学生思考后教师启发：要证明两条直线平行，可以利用“三线八角 ”的有关内容进行转化，而要证明一条线段的长等于另一条线段长度的一半，可采用将较短的线段延长一倍，或者截取
20、较长线段的一半等方法进行转化归纳。(学生积极讨论，得出几种常用方法，大致思路如下) 生 1：延长 DE 到 F使 EF=DE，连接 CF 由 得 AD=FC 从而 BD=FC 所以，四边形DBCF 为平行四边形得 DF=BC，可得 DE=05BC(板书) 生 2：将 ADE 绕 E 点沿顺(逆)时针方向旋转 180，使得点 A 与点 C 重合，即 ，可得 BD=CF，得 DBCF 为平行四边形。得 DF=BC 可得 DE=05BC 生 3：延长 DE 到 F 使DE=EF，连接 AF、CF、 CD，可得 AD=CF 得 DB=CF 得 DF=BC 可得 DE=05BC 生 4：利用 且相似比为
21、 1：2 可得 DE=05BC 师：很好，好极了! 一种思考课堂因你而添彩 问题：三角形的中位线与中线有什么区别与联系呢? 容易得出如下事实：都是三角形内部与边的中点有关的线段。但中位线平行于第三边且等于第三边的一半，三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。(学生交流、探索、思考、验证) 一种照应课堂因你而完整 问题：你能利用三角形中位线定理说明本节课开始提出的趣题的合理性吗?(学生争先恐后回答，课堂气氛活跃) 一句总结 课堂因你而彰显无穷魅力 学生总结本节内容：三角形的中位线和三角形中位线定理。(另附作业) 课后反思 本节课以“ 如何将一个任意三角形分为四个全等的三角形”这一问题为出发点，以平行四边形的性质定理和判定定理为桥梁，探究了三角形中位线的基本性质和应用。在本节课中，学生亲身经历了“探索一发现一猜想一证明” 的探究过程，体会了证明的必要性和证明方法的多样性。在此过程中，笔者注重新旧知识的联系，同时强调转化、类比、归纳等数学思想方法的恰当应用，达到了预期的目的。
