1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 49及答案与解析一、单项选择题1 当 x0 时，下列哪一个无穷小是 x 的三阶无穷小。( )2 设 4 阶行列式 D=4，且 D 的每列元素之和均为 2，则 A21+A22+A23+A24=( )。（A）1（B） 2（C） 3（D）43 曲线 x=t， y=t2，z=t 3 在点(1，1，1) 处的法平面方程是( )。（A）（B） x+2y+3z6=0（C）（D）x+y+z3=04 设 Ik=ek sinxdx(k=1，2，3)，则有( )。（A）I 1I 3 I2（B） I2I 1I 3（C） I2I 3I 1（D）I 1I 2 I
2、35 设 1= 其中 c1，c 2，c 3，c 4 为任意常数，则下列向量组线性相关的是( )。（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 3， 3（D） 2， 3， 46 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN（， 2）， Y 在a，b区间上服从均匀分布，则 D（X2Y）=( )。（A） 2+1/3（6 一 a） 2（B） 2 一 1/3（6 一 a） 2（C） 2+1/6（6 一 a） 2（D） 21/6(ba)27 几何原本传入中国，首先应归功于科学家( )。（A）刘徽（B）秦九韶（C）徐光启（D）李善兰8 新课程标准下数学教学过程的核心要素是( )。（A）师生相互沟通和交
3、流（B）师生的充分理解和信任（C）教师的组织性与原则性（D）多种要素的有机结合二、简答题9 若曲线 y=x4 的一条切线，与直线 x+4y8=0 垂直，求切线 I 的方程。10 求解线性方程组11 计算二重积分 sin(x2+y2)dxdy 其中积分区域 D=（x，y）|x 2+y2。12 强调数据处理能力是高中数学课程的一个变化，有人说统计的概念不难掌握，请谈谈在教学中应如何看待统计概念的定义。13 普通高中数学课程标准（实验）中阐述的高中数学课程的基本理念有哪些？三、解答题13 设向量组 1， 2， 3 是 R3 的一个基， 1=21+2k3， 2=22， 3=1+（k+1） 314 证明
4、向量组 1， 2， 3 为 R3 的一个基；15 当 k 为何值时，存在非零向量 在基 1， 2， 3 与基 1， 2， 3 下的坐标相同，并求所有的 。四、论述题16 简述数学问题设计的原则。五、案例分析题16 案例：某教师在进行圆锥曲线的教学时，给学生出了如下一道练习题：求过点(0，1)的直线，使它与抛物线 y2=2x 仅有一个公共点。某学生的解答过程如下：解：设所求的过点(0，1) 的直线为 y=kx+1则它与抛物线的公共点为 ，消去 y得：(kx+1) 22x=0。整理得 k2x2+(2k2)x+1=0。直线与抛物线仅有一个公共点，=0 解得 k= ，所求直线为 y= x+1。问题:1
5、7 指出该生解题过程中的错误，分析其错误原因；18 给出你的正确解答；19 指出你解题所运用的数学思想方法。六、教学设计题19 教学设计。阅读下述材料回答问题。在学习了等比数列前 n 项和公式后，数学老师李老师给大家留了一道思考题：“你能把无限循环小数化成分数吗？你用的什么方法，用具体的例子说明。”李老师将这个问题留作作业，让大家写一个小的总结。有的同学表示，第一次做这样的作业，没有具体的题目，不知道如何下手。还有的同学觉得老师留的问题不够具体，不知道写到什么程度。问题：20 说说你对李老师留这样的作业的看法。21 李老师在批阅了大家的作业后，要针对学生的作答情况在课堂上做一个总结，请以“把无
6、限循环小数化成分数” 为教学内容帮李老师设计一个教学片段。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 49答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 函数 a(x)只要满足 =C0即是 x 的三阶无穷小。经计算，只有 B 选项中， 其余选项求得相应的极限均为无穷大。2 【正确答案】 B【试题解析】 根据行列式的定义及性质，有D=a21A21+a22A22+a23A23+a24A24=(a11+a21+a31+a41)A21+(a12+a22+a32+a42)A22+(a13+a23+a33+a43)A23+(a14+a24+a34+a44)A24=2(A21+A2
7、2+A23+A24)=4，所以A21+A22+A23+A24=2。3 【正确答案】 B【试题解析】 曲线 x=t，y=t 2，z=t 3 在点(1，1，1)处的切向量为(1，2，3)，所以曲线在点(1 ，1，1) 处的法平面方程为 1(x1)+2 (y1)+3(z1)=0 ，化简得x+2y+3z6=0。4 【正确答案】 D【试题解析】 I k=ek sinxdx（k=1 ，2，3）看作以 k 为自变量的函数，由于Ik= sink0，k (0，)，即可知 Ik=ek sinxdx(k=1，2，3)关于 k 在(0，)上为单调增函数，又由于 1，2，3（0， ），则 I1I 2I 3，故选 D。5
8、 【正确答案】 C【试题解析】 由于| 1， 3， 4|= 可知 1， 3， 4 线性相关，故选择 C。6 【正确答案】 A【试题解析】 Y 在a，b区间上服从均匀分布，所以 D(Y)= 。又 X，Y 相互独立，所以 Cov(X，Y)=0。D(X2Y)=D(X)+D(2Y)2Cov(X，Y)=D(X)+4D(Y)=2+ （b 一 a） 2。7 【正确答案】 C【试题解析】 中国最早的译本是 1607 年意大利传教士利玛窦和徐光启根据德国人克拉维乌斯校订增补的拉丁文本欧几里得原本（15 卷）合译的，定名为几何原本，几何的中文名称就是由此而得来的。8 【正确答案】 A【试题解析】 新课程标准下数学
9、教学过程的核心要素是加强师生相互沟通和交流，倡导教学民主，建立平等合作的师生关系，营造同学之间合作学习的良好氛围，为学生的全面发展和健康成长创造有利的条件。二、简答题9 【正确答案】 因为与直线 x+4y8=0（斜率 k1= )垂直，且 k1k 2=1，则直线，的斜率 k2=4。对曲线 y 求导得 y=4x3，令 y=4，求得 x=1。带入 y=x4，得y=1，则，的方程为 y1=4(x1)，即 4xy3=0。10 【正确答案】 方程组的增广矩阵 通过适当的初等行变换为阶梯形矩阵 解得 x1=8，x 2=3，x 3=6，x 4=0。11 【正确答案】 从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标
10、进行计算。作极坐标变换：设 x=rcos，y=rsin，有12 【正确答案】 高中统计的学习，本质上是统计活动的学习，而不是概念和公式的学习。统计内容的教学不应该单纯地讲授概念的定义，图表的制作，数字特征的计算，机械地套用公式。而应该从提取信息的角度比较各种方法的优劣，了解它们的适用范围，让学生通过对实际问题的解决来理解统计的思想，而不是死背公式和定义。(1)关注三种抽样方法的差别和不同的实用范围；(2)应侧重于了解统计图表能告诉我们何种信息和理解不同统计图表的特点；(3)让学生了解数据的数字特征的作用和意义。13 【正确答案】 (1)构建共同基础，提供发展平台；(2)提供多样课程，适应个性选
11、择；(3)倡导积极主动、勇于探索的学习方式；(4)注重提高学生的数学思维能力；(5)发展学生的数学应用意识；(6)与时俱进地认识“ 四基”；(7)强调本质，注意适度形式化；(8)体现数学的文化价值；(9)注重信息技术与数学课程的整合；(10)建立合理、科学的评价体系。三、解答题14 【正确答案】 证明：（ 1， 2， 3)=21+2k3，2 2， 1+(k+1)3=（ 1， 2， 3） 因为行列式 故1， 2， 3 为 R3 的一个基。15 【正确答案】 由题意知：=k 11+k22+k33=k11+k22+k3，0 。所以有 k1(11)+k2(22)+k3(33)=0。即 k1（2 1+2
12、k31)+k2(222)+k31+(k+1)33=0整理得：(k 1+k3)1+k22+(2kk1+kk3)3=0，因为 1， 2， 3 是 R3 的一个基，所以有方程组 根据题意方程组有解，即 =0，得 k=0。所以k2=0， k1+k3=0，因此 =k11k13，k 10。四、论述题16 【正确答案】 可行性原则。在设计数学问题时，教师首先要细致地钻研教材，研究学生的思维发展规律和知识水平，提出既有一定难度又是学生力所能及的问题，也就是说，要选择在学生能力的“最近发展区” 内的问题。教师应走在学生发展的前面，创造“最近发展区 ”，并注意适时、适度创设实际情境，培养学生的创新意识和实践能力；
13、根据学生年龄特点、学生已有的认知结构、教材及学生的生活实际，设计适当的数学问题。这些问题既能有效地激发学生的求知欲望，又能使学生积极主动地去寻求解决问题的策略，并通过一定的努力或小组讨论、探究，最后归纳出具有一般规律性的结果。渐进性原则。渐进性原则要求问题设计要有层次性，要由浅入深，由易到难。人类认识数学对象的过程，是一个渐进过程，是从认识最简单的对象开始，逐步发展到对数学对象之间的相互关系及它们的内部结构的认识。人们对于数学问题的认识，如同对数学对象的认识一样，也是一个渐进的过程。因此，在数学问题的设计中就要遵循由浅入深，由易到难，有层次、循序渐进的原则，使学生在问题的探究中不断获得成功，逐
14、步树立起学好数学的自信心，培养勇于探索、敢于攀登的精神。应用性原则。随着数学的发展，它的应用越来越广泛，世界各国都在数学课程中增加现代数学中具有广泛应用性的内容，注重从生活实际和学生知识背景中提出问题，结合生活中的具体实例进行数学知识的教学，增强课堂教学中的实践环节，重视培养学生用数学的意识和用数学的能力，使学生能主动尝试用数学知识和思想方法寻求解决问题的途径。在数学问题的设计中，要考虑能将数学思想方法和数学模型用于探究所提出的问题。五、案例分析题17 【正确答案】 错解分析：这个解法共有三处错误。第一，设所求直线为 y=kx+1 时，没有考虑斜率不存在的情形，实际上就是对直线的点斜式理解不透
15、，以为点斜式可以表示所有直线。第二，题目要求直线与抛物线只有一个公共点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相交的情况，只考虑了相切的情况。错误原因是对于直线与抛物线的位置关系这个知识理解不透。第三，将直线方程和抛物线方程联立后得一个一元方程后，直接用判别式解题，是对一元二次方程形式不熟悉的表现，没注意到二次项系数为零时，方程不是一元二次方程，不能用二次方程相关知识解题，需要对 k 为零和不为零进行讨论。这三处错误，都体现出对基本概念的特征理解不明确。18 【正确答案】 正确解答：当所求直线斜率不存在时，即直线垂直 x 轴，因为过点(0， 1)，所以方程为 x=0 即 y 轴，它正好与
16、抛物线 y2=2x 相切。当所求直线斜率为零时，直线为 y=1 平行 x 轴，它正好与抛物线 y2=2x 只有一个公共点。一般地，设所求的过点(0，1) 的直线为 y=kx+1（k0 ）则 k2x2+(2k2)x+1=0令=0 解得 k= 。所求直线为 x=0，y=1，y= x+1。19 【正确答案】 解题时运用了分类讨论、化归的数学思想方法。六、教学设计题20 【正确答案】 李老师打破了传统教学的思路，留的作业有一定的开放性、探究性，并且这个问题是在学习了等比数列求和公式后紧接着给出的，学生“跳一跳能够到”。解决这个问题学生可以找到所学知识（等比数列的知识）内在的联系，培养学生运用所学知识解
17、决问题能力，培养学生发散思维的能力以及对所学的知识做到活学活用，学以致用的能力。21 【正确答案】 教学片段师：大家的作业我看了，大部分同学做得很好，下面我们一起来看一下这个问题。把无限循环小数化成分数，我没有给出具体哪个无限不循环小数，大家看到题首先要思考，什么样的小数是无限循环小数，它是怎么化成分数的。那么什么样的小数是无限循环小数呢？生：小数点后有重复出现的数字。师：不够严谨，应该是从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数码的十进制无限小数。比如：03333，0142857142857142857，07，0753等等。师：很多同学解决这个问题的时候想到了我们刚刚学过的等比数列前
18、n 项和公式，能利用这个知识来解决问题。要表扬大家，很棒。下面我请一位同学说一下用这种方法的思路。小贾，你来说。小贾：我是求的 07 这个数的分数形式，我把这个循环小数看成了一些小数的和，它可以是07=0 ，7+007+0007+00007+=701+7001+70001+700001+=7(01+0 01+0001+00001+)，后边就变成了等比数列前 n 项求和了，这个等比数列的首项是 01，公比是 01，那么 01+001+0001+0 0001+师：很好，思路很清晰。把隐藏在循环小数里的等比数列求和问题挖掘出来，有一部分同学是这么做的。整个过程中运用了化归转化思想，极限思想。师：我看
19、到，还有一些同学有其他解法。小马，你来说说你的做法。小马：我是求的 这个数的分数形式。设 =x，即 x=0555，则10x=5 555，所以 10x 一 x=5，得 x= 。即， 。师：这个方法不错，我随便写一个循环小数你能把它化成分数吗？来，算算 的分数形式。大家用小马刚才说的做法也试着算算。小马：老师，我就现场算吧。设 =x，也就是x=0753753753，则 1000x=753753753753，所以 1000xx=753，得师：看来你对这种做法已经很熟悉了。大家发现没有，这个方法的巧妙之处在于把重复的小数分别消去了！怎么消去的呢？生：把原来的数扩大了。师：扩大了多少倍。生：师：其实这种
20、做法也是和等比数列有关的，小马在求 的分数形式的时候是将原来的数扩大了 10 倍，而求 的分数形式的时候是将原来的数扩大了 1000 倍。这其中有什么道理吗？小马：=0 5+0 05+0005+00005+=501+5001+50001+500001+=5(01+0 01+0 001+0 0001+)，对应的等比数列的公比是 01，所以在计算 的分数形式的时候是将原来的扩大了 10 倍。 对应的那个等比数列的公比是 0001，所以在计算的时候将原来的扩大了 1000 倍。（大部分学生都明白其中的道理了）师：很好，大家都明白了吧。我现在想问大家，把原来的数扩大多少倍后再和原来的式子作差，这种方法我们接触过吗？（预设）个别学生：刚刚就见过。在推导等比数列前 n 项和的时候就是这么推导的。前两天刚讲过，叫错位相减法。师：很好！看来有的同学发现了，这就是在推导等比数列前 n 项和时用到的错位相减法。师：小贾同学的做法是把循环小数转化成等比数列求和问题，再利用等比数列前 n 项和公式直接计算。小马同学的做法是巧妙地利用循环小数本身的特点，用错位相减法解决了问题。两种办法都很好，大家要把这两种方法都学会。这个问题我们课堂上就讨论这两种方法，同学课下再相互交流一下还有没有其他的做法。
