1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 52及答案与解析一、单项选择题1 若 =，则下列表达式正确的是 ( )。（A） x(x0，x 0+)，有|f(x)|M（B） x(x0，x 0+)，有|f(x)| M（C） x(x0，x 0+)，且 xx0，有|t(x)| M（D） x(x0，x 0+)，且 xx0，有|f(x)|M2 在空间直角坐标系下，过点（2，1，3），且以 n=（1，2，3）为法向量的平面方程是( ) 。（A）2x+y3z 9=0（B） 2x+y3z+9=0（C） x2y+3z9=0（D）x2y+3z+9=03 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，
2、分别为 A 对应于 1， 2 的特征向量，则 ，( )。（A）线性相关（B）线性无关（C）正交（D）平行4 曲线 =1(a0，b0)和两坐标轴所围成的面积是( )。5 =次型 f(x1， x2，x 3)=(x1+x22x3)2+(2x2+3x3)2+(x1+3x2+ax1)2 正定的充分必要条件是( )。（A）a1（B） a1（C） a1（D）a16 已知随机变量 X 的分布律为 PX=k= ，k=01，2，则常数 C 等于( )。（A）1（B） e（C） e1（D）e 27 费马对微积分诞生的贡献主要在于其发明的( )。（A）求瞬时速度的方法（B）求切线的方法（C）求极值的方法（D）求体积的
3、方法8 在等腰三角形、平行四边形、椭圆和抛物线四个图形中，是中心对称图形的有( )。（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个二、简答题8 在某次考试中共有 12 道选择题，每道选择题有 4 个选项，其中只有一个是正确的。评分标准规定：“ 每题只选一项，答对得 5 分，不答或答错得 0 分。” 某考生每道题都给出一个答案，已确定有 9 道题的答案是正确的，而其余题中，有一道题可判断出两个选项是错误的，有一道可判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜。试求出该考生：9 选择题得 60 分的概率：10 选择题所得分数 的数学期望。10 已知直线 l：ax+y=1 在矩阵 对应
4、的变换作用下变为直线 l：x+by=1。11 求实数 a， b 的值；12 若点 P(x0，y 0)在直线 l 上，且 求点 P 的坐标。13 设有线性方程组 问：m，k 为何值时，方程组有唯一解？有无穷多组解？有无穷多组解时，求出一般解。14 请简要描述数学应用意识及推理能力的主要表现。15 下列框图反映了函数与相关内容之间的关系，请用恰当词语补充完整。三、解答题16 求矩阵 的特征值和特征向量。四、论述题17 举例说明在教学中如何处理“预设” 与“形成”的关系。五、案例分析题17 案例：下面是学生小李在解答一道题目时的解法：题目：关于 x 的不等式组只有 3 个整数解，则 a 的取值范围是
5、_。解由不等式组得，ax20 因为不等式组只有 3 个整数解，即为3，4，5，所以6a 5。问题：18 请指出学生小李的错误，并分析出现错误的原因；19 如果你是小李的老师，在教学过程如何帮助小李避免这样的错误再出现。六、教学设计题19 参数方程的教学要求是：把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义。在此基础上完成下列教学任务：20 设计参数方程的三维教学目标；21 设计两种参数方程的引入方法；22 分析两种方法的优点。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 52答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 由
6、函数极限的定义，若函数 f(x)在 x0 的某一去心邻域内有定义，如果对任意给定的正数 M（不论它多大），总存在正数 ，只要 x 适合不等式0|x x0|，对应的函数值 f（x）总满足不等式|f(x)|M，则有x(x0，x 0+)，且 xx0，有|f(x)| M 。2 【正确答案】 D【试题解析】 所求平面的法向量为 n=（1，2，3），故可设平面方程为 x2y+3z+m=0，代入点（2，1，3），有 229+m=0，得 m=9。所以所求平面方程为 x2y+3z+9=0。3 【正确答案】 C【试题解析】 属于不同特征值的特征向量线性无关。4 【正确答案】 D【试题解析】 由 0t1，则 dx=
7、2atdt。曲线(a0，b0)和两坐标轴所围成的面积 S=0ab(1 ） 2dx=01b(1一 t)22atdt=2ab01（t2t 2+t3)dt=5 【正确答案】 C【试题解析】 根据二次型正定，即对任意 x0，f(x)0。又由题干中 f 的结构，知恒有 f0，题干中二次型正定等价于齐次线性方程组 只有零解。即系数矩阵的行列式 =2a20，得 a1。6 【正确答案】 C【试题解析】 由规范性知， C=e C=1，所以 C=e1。7 【正确答案】 C【试题解析】 费马是微积分的先驱者，他在求曲线围成的图形的面积过程中，提出用微分子法求极大、极小的步骤，这是早期微积分的雏形。8 【正确答案】
8、B【试题解析】 四个图形中，椭圆既是轴对称图形又是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形，等腰三角形和抛物线是轴对称图形，所以这四个图形中有 2 个是中心对称图形。二、简答题9 【正确答案】 得分为 60 分，12 道题必须全做对。在其余的 3 道题中，有 1 道题答对的概率为 ，有 1 道题答对的概率为 ，还有 1 道答对的概率为 ，所以得分为 60 分的概率为10 【正确答案】 依题意，该考生得分的范围为45，50，55，60 。得分为 45 分表示只做对了 9 道题，其余各题都做错，所以概率为 得分为 50 分的概率为 同理求得得分为 55 分的概率为P3= ；得分为 60 分的概率为
9、P4=1/24。所以得分的分布列为数学期望11 【正确答案】 设直线 l：ax+y=1 上任意点 M(x，y）在矩阵 A 对应的变换作用下的像是 M(x，y) 。 又点 M(x，y )在 l上，所以 x+by=1，即 x+(b+2)y=1，依题意得12 【正确答案】 由 解得 y0=0。又点 P(x0，y 0)在直线上 l上，所以 x0=1。故点 P 的坐标为(1，0)。13 【正确答案】 对此线性方程组的系数矩阵 A 的增广矩阵进行初等变换如下：(1)当 m一 1 时，r(A)= =3，方程组有唯一解；(2)当 m，=1，k1 时，r(A) ，方程组无解；(3)当 m=1，k=1 时，r(A
10、)= =23，方程组有无穷多解，此时基础解系含解向量个数为 3r(A)=1。原方程组对应的齐次方程组经过初等变换后等价于 ，所以 x2=0。令 x3=1，得 x1=1，基础解系的解向量为 =（1，0，1） T。原方程组经初等变换后等价的非齐次方程组为 令 x3=0，得x1= ，非齐次方程组的一个特解为 通解为14 【正确答案】 应用意识主要表现在认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。推理能力主要表现在能通过观察、实验、归纳、
11、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。15 【正确答案】 类比； 映射；特殊化。三、解答题16 【正确答案】 因为特征多项式为 所以特征值是1（二重）和 5。把特征值1 代入齐次方程组它的基础解系是因此属于特征值1 的全部特征向量是 k1 其中 k1，k 2 是不同时为零的任意实数对。再用特征值 5 代入，得到 它的基础解系是 因此属于特征值 5 的全部特征向量是 ，其中 k 是不等于零的任意实数。四、论述题17 【正确答案】 教学从本质上讲就是“预设”
12、 与“生成”的矛盾统一体。“ 预设”是预测与设计，是教师在课前对教学进行有目的的、有计划的设想和安排。“生成” 是生长和构想，是师生在与教学情境的交互作用以及师生对话互动中超出师生预设方案的新问题、新情况。因此，在新课程理念下的教学设计，应充分考虑学生的知识背景、生活经历与情感体验，在知识学习的过程中，吸引学生的主动参与，处理好预设与生成的关系，是激发学生学习兴趣，引导学生主动探究的关键。在“勾股定理的应用”教学中这样设计了一堂课：准备了皮尺，把学生带到操场上，让学生分别在体育老师、校长那里获取篮板和教学楼的高度后，提出问题：在篮板的右上角有一只小鸟要飞到教学楼的左上角，请你利用皮尺和所学知识
13、求出小鸟飞行的最短路径（篮板和教学楼的顶端不能到达）。学生开始活动，有的测量篮板顶端与教学楼顶端的水平距离，有的在绘制几何图形，每一个同学都很认真，大家也很开心，乐在其中，课堂上洋溢着和谐、愉悦、轻松的气息。这堂课既训练了学生的数学“建模”思想，又让学生亲历了数学与生活、生产的关系。教学应当在预设与生成的和谐中发展，只有架起教学预设与动态生成和谐的桥梁，才能让智慧之火“激情” 燃烧在课堂教学之中。五、案例分析题18 【正确答案】 没有考虑区间端点时的情况，a 的取值范围应为6a 5。错误原因：忽略了当 a=6 时的情形，当 a=6 时，6x2，不等式的整数解仍然是 3 个：3，4，5。学生小李
14、没有对特殊点处进行验证，导致错误的出现。19 【正确答案】 这种错误是普遍存在的，学生在经过思考计算后得出结果，但往往因为忽略了一些细节而导致最后的结果不正确。这就是很多学生口头所说的“粗心了”，但作为教师，应该教学生尽可能地杜绝这种“ 粗心”。我认为教师可以从以下几点着手做：在新知识教学时注重突出基础知识基本概念的重点，在学生知识和思维的薄弱点设置教学环节，帮助学生真正掌握知识点。在日常学习练习中养成正确的学习习惯和思维习惯。比如：正确对待草稿纸，整洁的草稿纸是调理性思维的外在表象。做题时不是一味求快，要认真仔细，适当的时候“瞻前顾后” ，把握整体，对已知条件、已得结论、所求结果等统筹把握，
15、而不是想到什么写什么。思维缜密，在易错点、特殊点处能重点对待。养成良好的心态。很多学生在平时练习时和考试中的心态是不一样的，考试中由于紧张的气氛和时间的限制会出现一些“粗心”，会把“+”误写成 “一”，“”误写成“ ” 等，因此，在日常学习中养成良好的心态也是减少做题中错误的关键。六、教学设计题20 【正确答案】 三维教学目标：知识与技能：通过分析抛射物体运动中时间与物体位置的关系，了解一般曲线的参数方程，体会参数的意义。过程与方法：选取适当的参数，求简单曲线的参数方程。情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。21 【正确答案】 复习导入法：回忆旧知，导入新课，教师
16、提出问题。在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？根据直线的几何条件，你认为应当怎样选择参数，如何建立直线的参数方程？情景导入法：引例 1：一架救援飞机在离灾区地面 500m 高处以 100m/s 的速度做水平直线飞行，为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？救援物资做何运动？你能用物理知识解决这个问题吗？引例 2：你能说说 这个方程的特征吗？有几个变量？ x，y 都可以用什么来表示？ 给定 t 的一个值，方程中 x，y的值确定吗？22 【正确答案】 情景引入法的优点：通过创设情景激发学生兴趣，提高学生学习的积极性，并且在创设情景的过程中有利于利用一个熟悉的参照物，帮助学习者将一个要探索的概念与熟悉的经验联系起来，并建立生活与数学之间的联系，引导他们利用这些经验来解释、说明，形成自己的知识。创设的情景好，吸引学生积极参与和主动学习，他们会体味到数学的美和趣味。复习引入方法的优点：承上启下，使学生有准备、有目的地进入新课的学习，对于接下来的学习有很大的帮助，也为引导学生从几何条件思考参数的选择，为学生推导直线的参数方程做好准备。
