1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 53及答案与解析一、单项选择题1 下列说法与数列极限 an=A 不等价的是( )。2 已知曲面方程为 x2+y2+z22x+8y+6z=10，则过点（5，2，1）的切平面方程为( )。（A）2x+y+2z=0（B） 2x+y+2z=10（C） x2y+6z=15（D）x2y+6z=03 已知线性方程组 AX=k1+2 有解，其中则 k 等于( )。（A）1（B） 1（C） 2（D）24 有矩阵 A32，B 23，C 33，下列运算正确的是( )。（A）AC（B） ABC（C） ABBC（D）AC+BC5 函数 的间断点有( )个。（A
2、）4（B） 3（C） 2（D）16 设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立分布，且方差 20，记的相关系数为( )。（A）1（B） 0（C）（D）17 ( )代数学 的出版，标志着近世代数基本理论的建立。（A）范德瓦尔登（B）黎曼（C）埃尔米特（D）希尔伯特8 下列关于高中数学课程变化的内容，说法不正确的是( )。（A）高中数学课程中的向量既是几何的研究对象，也是代数的研究对象（B）高中数学课程中，概率的学习重点是如何计数（C）算法是培养逻辑推理能力的非常好的载体（D）集合论是一个重要的数学分支二、简答题9 求由两个圆柱面 x2+y2=a2 与 z2+x2=a2 所围成立体的体积。9 设
3、 1=（1，一 1，2，4）， 2=(0，3，1，2)， 3=(3，0，7，14) ， 4=（1，1，2，0）， 5=(2，1，5，6)。10 证明 1， 2 线性无关；11 把 1， 2 扩充成一极大线性无关组。12 在一次军事演习中，某舟桥连接到命令要赶到某小河 D 岸为进行中的 A 部队架设浮桥。假设舟桥连到达 D 岸的时间服从 7 点到 7 点 30 分这时间段内的均匀分布，架设需要 20 分钟时间，A 部队到达 D 岸的时间服从 7 点 30 分到 8 点这时间段内的均匀分布，且舟桥连的到达时间和 A 部队的到达时间相互独立。求 A 部队到达D 岸时能立即过桥的概率。13 高中数学课
4、程是如何体现选择性的？14 怎么理解学生主体地位和教师主导作用的关系，如何让学生成为学习的主体。三、解答题15 试分别叙述罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。若以 S(x)记由（a ，f(a)），（b，f(b）， (x，f(x)）三点组成的三角形面积，试对 S(x)应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。四、论述题16 普通高中数学课程标准（实验）指出“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动
5、经验。”简要说明数学思想方法的含义，并给出高中数学教学中常用的几种数学思想方法（至少 5 种），且任选一种思想进行举例说明，以及如何在教学过程中让学生感悟这种思想。五、案例分析题16 案例：在求解题目“ 已知双曲线的右准线为 x=4，右焦点 F(10，0)，离心率e=2，求双曲线方程。”两位同学解题方法如下：方法一：x=a2/c=4，c=10， a2=40， b2=c2a2=60，故所求的双曲线方程为 方法二：由焦点 F(10，0)知 c=10， e= =2，a=5，b 2=c2a2=75。17 指出学生的错误之处；18 分析学生的错误原因；19 写出正确解法。六、教学设计题19 高中“逻辑联
6、结词 ”设定的教学目标如下：理解逻辑联结词“ 或”“且”“非”的含义，了解“或“且”“ 非” 的复合命题的构成。能熟练判断一些复合命题的真假性。通过逻辑联结词的学习，初步体会数学语言的严密性、准确性，并在今后数学学习和交流中，能够准确运用逻辑联结词。完成下列任务：20 请设计一个情境导入。21 根据教学目标，设计至少两个实例，并说明设计意图。22 相对义务教育阶段的统计教学，本节课的教学重点是什么？23 本节课教学难点是什么？中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 53答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 数列的极限定义 an=A 的本意是：|a nA|
7、可以无限小。选项A、B、C 中的 2（ 无限小）， （后无限大），100( 无限小)都可以无限小，因此 A、B、C 与极限的定义是等价的。当 n 很大时，n 不一定小。2 【正确答案】 B【试题解析】 方法一：设球面方程为 x2+y2+z2+2px+2qy+2rz+d=0，则过球面上点(x0，y 0，z 0)的切平面方程为 x0x+y0y+z0z+p(x+x0)+q(y+y0)+r(z+z0)+d=0由曲面方程为 x2+y2+z22x+8y+6z=10 可知 p=1，q=4，r=3，d=10，则过点（5，2，1）（点在球面上）的切平面为 5x2y+z(x+5)+4(y2)+3(z+1)10=0
8、 整理得2x+y+2z=10。方法二：曲面 x2+y2+z22x+8y+6z=10 为球面，标准方程为（x 一1） 2+(y+4)2+(z+3)2=36。球心为（1，4，3），半径为 6。由 A，B ，C，D 四个选项中，只有 B、C 过点（5，2，1）。故 A，D 排除，同时球心到切平面的距离应该等于球的半径，选项 B，球心到平面的距离为等于球半径，满足题意。3 【正确答案】 D【试题解析】 已知线性方程组是非齐次的，方程组有解，则系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，由此可以求出 k。因为已知线性方程组 AX=k1+2，将 AX=k1+2的增广矩阵作初等行变换，AX=k1+2 有解 r(A|k1+
9、2)=r(A)=2，RP5k10=0，得 k=2。4 【正确答案】 B【试题解析】 两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同。矩阵加减要求矩阵要具有相同的行数和列数。所以矩阵 A 和 C 不能相乘A 错；AB为 33 维的矩阵，BC 为 23 维的矩阵，二者不能做减法运算，所以 C 项错；同理 D 项也错。选项 B 满足要求。5 【正确答案】 C【试题解析】 当|x|05 时，分子 sinx 有界，分母 1+(2x)2n=，所以 f(x）=0，函数 f(x)在区间（一 ，05）(05，+)上是连续的。当|x|05 时，函数 f(x)在区间（05，05）上是连续的。因为所以函数 f
10、(x)有两个跳跃间断点 x=05 和 x=05。6 【正确答案】 B【试题解析】 由于 Xi 独立分布，7 【正确答案】 A【试题解析】 范德瓦尔登代数学的出版，标志着近世代数基本理论的建立。8 【正确答案】 B【试题解析】 高中数学课程中的向量既是几何的研究对象，也是代数的研究对象，向量是沟通代数与几何的一座天然桥梁；算法是培养逻辑推理能力的非常好的载体，在大学和中学数学教育中都发挥着重要的作用；集合论是一个重要的数学分支，教师要准确把握高中数学课程中集合这一内容的定位；在概率课中，学习的重点是如何理解随机现象而不是如何计数。二、简答题9 【正确答案】 如图所示为该立体在第一卦限部分的图像（
11、占整体的八分之一）。对任一 x00，a，平面 x=x0 与这部分立体的截面是一个边长为 的正方形，所以截面函数 A（x）=a 2x2，x0，a 。由定积分的知识知，对截面函数 A（x）在区间0 ，a上积分就是该立体在第一卦限部分的体积。所以 V=80a（a 2x2）dx=16/3a3。10 【正确答案】 由于 1， 2 的对应向量不成比例，因而 1， 2 线性无关。11 【正确答案】 因为 3=1+2，且由 k 11+k22+k44=0， 可解得 k 1=k2=k4=0， 所以 1， 2， 4 线性无关。 再令 k 11+k22+k44+k55=0， 代入向量后，由于相应的齐次线性方程组的系数
12、行列式为 0，因为该齐次线性方程组存在非零解，即1， 2， 4， 5 线性相关，所以 5 可以由 1， 2， 4 线性表出。 所以 1， 2， 4就是原向量组的一个极大线性无关组。12 【正确答案】 假设 7 点是零时，记 x，y 分别表示舟桥连与 A 部队到达 D 岸的时间，则 A 部队到达 D 岸时能立即过桥的充要条件是 这是一个几何概型（如图所示），所求概率是13 【正确答案】 (1)选择性是整个高中课程的基本理念，也是本次高中课程改革的最大变化之一。高中阶段是培养学生选择能力的最佳时期。新的高中课程方案提出了在高中阶段培养学生的人生规划能力的目标。学会选择正是培养学生人生规划能力的需要
13、。在数学教学大纲中，将普通高中的课程分为必修课和选修课两部分，设置了文科系列和理科系列的课程。在新课程标准中，加大了培养选择性的力度。(2)高中数学课程中选修课的设置体现了选择性。新课程标准中将高中数学课程知识内容分为必修和选修两大部分。对于选修部分，包括 4 个系列。系列 1 是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的；系列 2 则是为了那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的。除此之外，为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生设置了系列 3 和系列 4。高中数学课程中选修课的设置就是希望从不同的角度激发学生学习数学的兴趣，帮助学生发现、培养自己的兴趣、特长，希望数学能为学
14、生的发展提供帮助，这是高中数学新课程的最高追求。14 【正确答案】 好的教学活动，应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一。一方面，学生主体地位的真正落实，依赖教师主导作用的有效发挥；另一方面，有效发挥教师主导作用的标志，是学生能够真正成为学习的主体，得到全面的发展。启发式教学是处理好学生主体和教师主导作用的有效途径。教师富有启发性的讲授，创设情境、设计问题，引导学生自主探索、合作交流，组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，都能有效地启发学生的思考，使学生成为学习的主体。三、解答题15 【正确答案】 罗尔中值定理：若函数 f(x)满足如下条件：(1)f(x) 在闭区间a ，b上连续
15、；(2)f(x) 在开区间（ a，b）内可导；(3)f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点，使得 f()=0。拉格朗日中值定理：若函数 f(x)满足如下条件： (1)f(x)在闭区间a， b上连续；(2)f(x) 在开区间(a ，b)内可导，则在(a，b)内至少存在一点 f，使得在 xOy 面上考虑，记由4（a，f(a），0），B（b，f(b），0），C(x，f(x)，0）三点组成的三角形面积 S(x)，则由向量矢量积的几何意义得，若 f(x)在a ，b上连续，在(a，b)内可导，又S(a)=S(b)=0，所以由罗尔中值定理知：在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()=0。四、论述
16、题16 【正确答案】 含义：数学思想方法是数学思想与数学方法的合称。所谓数学思想是指从具体的数学内容中提炼出来的对数学知识的本质认识，它在数学认识活动中被普遍使用，是建立数学理论和解决数学问题的指导思想。所谓数学方法是指在研究数学问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径、步骤、程序等，它通过一些可操作的规则或模式达到某种预期的目的。高中常用的思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想、有限与无限的思想、或然与必然的思想。例如，分类是一种重要的数学思想。学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类、图形的分类、代数式的分类、函数的分类等。在研究数学问题中
17、，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。教学活动中，要使学生逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程中如何认识对象的性质，如何区别不同对象的不同性质。通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想。学会分类，可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学问题。数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。五、案例分析题17 【正确答案】 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在
18、原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。18 【正确答案】 学生对双曲线的标准方程产生惯性思维，审题不认真，进入思维误区产生错误。19 【正确答案】 解法一：设 P(x，y)为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为x=4，右焦点 F(10，0) ，离心率 e=2，由双曲线的定义知解法二：依题意，设双曲线的中心为(m，0)，则 所以 b2=c2a2=6416=48故所求双曲线方程为六、教学设计题20 【正确答案】 生活中，我们要经常用到许多有自动控制功能的电器。例如，洗衣机在甩干时，如果“ 到达预定的时间 ”或“机盖被打开”，就会停机，即当两个条件至
19、少有一个满足时，就会停机。与此对应的电路，就叫或门电路。又如，电子保险门在“钥匙插入 ”且“密码正确”两个条件都满足时，才会开启。与此对应的电路，就叫与门电路。随着高科技的发展，诸多科学领域均离不开类似以上的逻辑问题。因此，我们有必要对简易逻辑加以研究。21 【正确答案】 实例 1：在初中，我们已学过命题，知道可以判断真假的语句叫作命题。试分析以下 8 个语句，说出哪些是命题，哪些不是命题，哪些是真命题，哪些是假命题。125 3 是 12 的约数 10 可以被 2 或 5 整除菱形的对角线互相垂直且平分 不是整数（可以让学生回答，教师给出点评）我们可以看出，是真命题； 是假命题；因为不涉及真假
20、； 不能判断真假，所以都不是命题； 是真命题。其中， “或”“且”“ 非” 这些词叫作逻辑联结词，像这样的命题，不合逻辑联结词，叫简单命题；像这样，由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫复合命题。（设计意图：将初中所学知识与本节要学习的知识连接起来，方便学生理解简单命题与复合命题的概念与区别）实例 2：对于三种复合命题，如何判断其真假呢？下面要求学生自己设计或真或假的命题来填下面表格：结合学生回答情况，将上面的表格补充完整，并给出真值表的定义。要求学生对每一真值表用一句话总结：“非 p”形式的复合命题的真假与 p 的真假相反。“p 且 q”形式的复合命题当 p 与 q 同为真时为真，其他情况时为假。“p 或 q”形式的复合命题当 p 与 q 同为假时为假，其他情况时为真。（设计意图：运用图表的形式，形象而直观地将如何判断复合命题的真假展现给学生，学生自己动手填写更能加深印象）22 【正确答案】 重点：了解命题和开语句的区别。23 【正确答案】 难点：由于逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“ 或”“ 且”“非”的意义不完全相同，故要直接讲清楚它们的意义，比较困难。
