1、教师公开招聘考试中学数学（数列）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题1 已知 a1、一 1、1、a 2 成等差数列，一 3、b n、b 2 成等比数列，则代数式(a 1+a2)b1b2=( )（A）1（B） 3（C） 0（D）92 数列 0， ，的一个通项公式为( )3 已知等差数列a n，若满足 a1+a2+a25=380，a 26+a27+a50=1130，则 a1=( )（A）12（B） 1（C） 08（D）064 已知数列a n是等差数列，且满足 a1+a2+a3=6，a 4+a5+a6=33，则 S10=( )（A）99（B） 125（C） 150（D）1995 已知数列a n是各项
2、均为正数的等比数列，且 a3a 8=4，则log2a1+log2a2+log2a10=( )（A）log 220（B） 20（C） log210（D）106 下列说法中正确的一项是( )（A）数列是按照一定顺序排列起来的一列数（B）每个数列的通项公式都是唯一确定的（C）组成两个数列的数相同，则这两个数列为同一数列（D）所有数列都可以写出通项公式7 若a n为公差不为零的等差数列，且满足 ，则 a5=( )（A）6（B） 8（C） 10（D）128 下列四个数字中，有三个可与 组成一个等比数列，则不属于这个等比数列的一项是( ) 9 已知等比数列a n的公比为 =( )（A） +1（B） 3（C
3、） 9（D）2710 方程 x2 一 20x+16=0 有两个不相等的实数根，若这两根是等差数列中的两项，则其等差中项是( ) ，若这两根是等比数列中的两项，则其等比中项是( )（A）20 8（B） 20 4（C） 10 8（D）10 411 已知方程(x 2 一 2x+m)(x2+2x+n)=0 的四个不相等的实数根可组成一个等差数列，且数列第三项为 ，则这个等差数列的第四项的值是( )12 设 Sn 是等差数列 an的前 n 项和，已知 a3=165，a 8=54，则 S8=( )（A）222（B） 223（C） 224（D）22513 若数列a n是等比数列，则公比 q1 是 a3a 2
4、a 1 的( )（A）充分条件（B）充要条件（C）必要条件（D）既不充分也不必要条件14 若数列a n的各项满足 an+1=2an 一 n+1，则下列说法中正确的是 ( )（A）数列a n为等差数列（B）数列 an 一 n为等差数列（C）数列 an+n为等比数列（D）数列a n 一 n为等比数列15 已知数列a n是首项为 1，公差为 2 的等差数列，若此数列含有 2001 项，则奇数项的和与偶数项的和之差等于( )（A）2000（B） 2001（C） 2。02（D）1000二、填空题16 设数列a n的前 n 项和公式为 Sn= +(一 1)n2n，则 a3=_17 设数列b n的通项公式
5、bn=An2+B，且满足 ，则代数式A+B=_18 在 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积是_19 已知数列 a，5，b 既是等差数列又是等比数列，则其公差是_，其公比是_20 已知数列a n为公比大于 1 的等比数列，且满足 9a3 一 a5=0，则=_21 设 Sn 是等比数列 an的前 n 项和，且满足 6S7=a8+6，6S 6=a7+6，则此数列的公比为_22 设数列a n为等比数列，若 a1999 和 a2000 分别为方程 4x2 一 8x+3=0 的两根，则a2001+a2002=_。23 已知数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，则数字 12
6、第一次出现是在第_项三、解答题24 已知a n为各项均为正数的数列，且其前 n 项和 Sn 满足等式：S n2 一(n 一 2n+1)Sn+(n2 一 2n)=0 (1)求数列a n的通项公式 an 和前 n 项和 Sn (2)证明：若数列bn的通项公式 bn= ，则b n中任意一项均大于一 425 已知数列a n的前 n 项和 Sn=An2+n，其中 AN*，则： (1)求数列的通项公式an(结果用含 A 的代数式表示) ； (2)若存在正整数 B，使得 aB、a B、a B 成等比数列，求数列的通项公式 an。26 已知数列a n的前 n 项和 Sn= ，则求： (1)此数列的通项公式 a
7、n； (2)a2+a4+a6+a94+a96+a98 的值27 已知数列a n中 a1=3，当 n2 时，满足 an 一 an-1=an-1 一 1， (1)求数列a n的通项公式； (2)若 bn=3(an 一 1)，求数列b n中小于 100 的项有多少个?28 已知两数列a n和b n，a n是公差为 1 的等差数列，且点(a n，b n)在直线y=3x+2 上， (1)若点(2a 5，b 7)也在直线 y=3x+2 上，则求数列a n的通项公式； (2)若数列b n满足 ，则求数列a n的通项公式29 已知数列a n和b n均为等差数列，且它们的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，若的
8、最大值30 小王今年大学毕业，在找工作时他同时被甲、乙两个公司录取甲公司开出的工资待遇是：第一年月工资为 3000 元，以后月工资每年上涨 500 元乙公司开出的工资待遇是：第一年月工资为 2000 元，以后月工资每年上涨 20(1)若小王连续在甲公司或乙公司工作 n 年，则他在第 n 年的月工资分别为多少?(2)小王打算在一家公司连续工作 3 年，若仅以工资收入总数决定去向，则小王应该去哪家公司?教师公开招聘考试中学数学（数列）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 已知 a1，一 1，1，a 2 成等差数列，则其公差为 1 一(一 1)=2，故a1=(一 1)一
9、 2=一 3，a 21+23，则 a1+a2一 3+30所以(a 1+a2)b1b2=0【知识模块】 数列2 【正确答案】 A【试题解析】 观察从第二项起数列中数字的分母可发现，他们分别是 3、5、7，即全部都是奇数，满足 2n 一 1分析分子与分母的关系可发现 8=32 一 1，24=5 2一 1，48=7 2 一 1，即分子与 n 的关系可表述为(2n 一 1)2 一 1，故此数列的一个通项公式为 本题也可直接将 n=1，2，3，4 代入选项，很容易得出只有 A 项公式前四项与题干所给数字相同故本题选 A【知识模块】 数列3 【正确答案】 C【试题解析】 已知此数列为等差数列，则 a26
10、一 a1=(a1+25d)一 a1=25d，同理可知a27 一 a2=(a1+26d)一(a 1+d)=25d，依此规律将题中两式相减，可得 2525d=1130380=750，解得 d=12a 1+a2+a25=25a1+ =380，解得a1=0 8【知识模块】 数列4 【正确答案】 B【试题解析】 数列a n是等差数列，则a1+a2+a3=3a2=6，a 2=2a 4+a5+a6=3a5=33，a 5=11 根据等差数列的性质可知，a5a2=3d 一 112，则 d=3，因此 a1 一 a2 一 d=一 1，所以 S10=a110+3=125【知识模块】 数列5 【正确答案】 D【试题解析
11、】 因为数列a n为各项均为正数的等比数列，所以log2a1+log2a2+log2a10=log2(a1a2a3a10)=log1(a110q 1+2+9)=log2(a110q 45)因为 a3a 8=4，即 a12q 9=4，所以 log2(a110q 45)=log2(a12q 9)5=10【知识模块】 数列6 【正确答案】 A【试题解析】 A 项是数列的概念，故正确；同一数列可以有不同形式的通项公式，如数列 1，0，1，0，的通项公式可以是 an=，故 B 项错误；数列具有有序性，如数列 1，2，3 与数列 3，2，1 不是同一数列，故 C 项错误；有的数列的项与项数之间不存在对应的
12、通项公式，如数列 1，3，8，3，2，5 无通项公式，D 项错误【知识模块】 数列7 【正确答案】 C【试题解析】 因为a n为等差数列，则设 an=a1+(n1)d，题中方程组即为，即a n为首项和公差均为 2 的等差数列，a5=a1+4d-10【知识模块】 数列8 【正确答案】 D【试题解析】 已知等比数列中的一项是 ，则根据公比不变可检验数字是否属于此等比数列【知识模块】 数列9 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 数列10 【正确答案】 D【试题解析】 已知方程为 x 一 20x+16=0，则 x1+x2=20，x 1x2=16若 x1、x 2 为等差数列中的两项，则其等差中项
13、为 =10；若 x1、x 2 为等比数列中的两项，则其等比中项为 =4【知识模块】 数列11 【正确答案】 D【试题解析】 方程有四个不相等的实数根，设为 x1、x 2，x 3、x 4，则x1+x2= =2，x 3+x4=一 2，【知识模块】 数列12 【正确答案】 A【试题解析】 因为数列a n为等差数列，所以 a8 一 a3=5d=54-165，所以d=75a 3=a1+2d=165，所以 a1=165275=15 S 8=8a1+ =815+2875=222【知识模块】 数列13 【正确答案】 D【试题解析】 a n=a1q n-1，要使 a3a 2a 1 成立，需要使 a1q 2a 1
14、qa 1，是否成立同时取决于 a1 和 q 的值若一个数列 q=2，a 1=一 1，则 a3a 2a 1若一个数列中 a3a 2a 1，当 a1=一 1，q= 是成立的所以公比 q1 是 a3a 2a 1 的既不充分也不必要条件【知识模块】 数列14 【正确答案】 D【试题解析】 已知 an+1=2an 一 n+1，则可将等式转换为 an+1=2an 一 2n+n+1，a n+1一 n 一 1=2(an 一 n)， =2，即数列a n-n为等比数列，公比为 2【知识模块】 数列15 【正确答案】 B【试题解析】 已知数列a n中 a1=1，d=2 ，则 an=2n 一 1因为 a1 一 a2=
15、一 2，a 3一 a4=一 2，a 1999-a2000=一 2设当 n=2001 时奇数项的和与偶数项的和之差为D，D=(a 1+a3+a2001)一(a 2+a4+a2000)=(a1a2)+(a3 一 a4)+(a1999 一 a2000)+a2001=(一 2)1000+(220011)=2001【知识模块】 数列二、填空题16 【正确答案】 375【试题解析】 根据数列的性质可知，a 8=S8 一 S7= 一 27)=375【知识模块】 数列17 【正确答案】 2 或一 4【试题解析】 已知 bn=An2+B，则 b1=A+B，b 2=4A+B，b 3=9A+B，将各项的值代入 ，解
16、得 A=1，B=1 或一5所以 A+B=2 或 A+B=一 4【知识模块】 数列18 【正确答案】 1000【试题解析】 设插入的三个数分别为 a、b、c，则根据等比数列的性质可知ac=b2= =100 若公比为负数，则 a、c 为负，b 为正；若公比为正数，则 a、b、C 均为正，所以 b=10，故 abc=10010=1000【知识模块】 数列19 【正确答案】 0 1【试题解析】 因为数列 a，5，b 既是等差数列又是等比数列，则满足，解得 a=b=5，数列的公差 d=5-5=0，公比 q= =1【知识模块】 数列20 【正确答案】 82【试题解析】 已知数列a n为等比数列，则 9a3
17、 一 a5=9a1q2 一 a1q4=0，因为数列an公比大于 1，所以q2=9， =1+q4=82【知识模块】 数列21 【正确答案】 7【试题解析】 根据数列的性质可知，a 7=S7 一 S6，则 6(S7 一 S6)=(a8+6)一(a 7+6)，6a7=a8 一 a7，即 =7，所以此数列的公比为 7【知识模块】 数列22 【正确答案】 18 或【试题解析】 【知识模块】 数列23 【正确答案】 67【试题解析】 根据题意可知，数字 1 第一次出现是在第 1 项；数字 2 第一次出现是在第 2 项；数字 3 第一次出现是在第 4 项，数字 4 第一次出现是在第 7 项用n 来表示数字，
18、用 an 来表示数字第一次出现时的项数依据题中规律可得到：a n一 an-1=n 一 1，a n-1 一 an-2=n 一 2，a 2 一 a1=1各项左右相加，可得 an 一a1=(n1)+(n2)+1= 当 n=12 时，a 12=67【知识模块】 数列三、解答题24 【正确答案】 (1)已知 Sn2 一(n 一 2n+1)Sn+(n2 一 2n)=0， 分解因式可得：S n 一(n2 一 2n)(Sn 一 1)=0， 则 Sn=n 一 2n 或 Sn=1 因为a n为各项均为正数的数列，则不可能出现 n 增大而 Sn 一直不变的情况， 故 Sn=1 舍去，S n=n2 一 2n 当 n=
19、1时，a 1=S1=一 1；当 n2 时，以 an=Sn 一 Sn-1=2n 一 3 当 n=1 时也符合通项公式，所以 an=2n 一 3 即 bn一 4，由此可知，数列b n中任意一项均大于一 4【知识模块】 数列25 【正确答案】 (1)当 n=1 时，S 1=a1=A+1； 当 n2 时，a n=Sn 一 Sn-1=An 2+n 一A(n 一 1)2 一 (n 一 1)=2An 一 A+1 又 n=1 时，a 1=2AA+1=A+1， 所以数列的通项公式 an=2An 一 A+1 (2)根据已求得的通项公式可知， a B=2ABA+1，a 2B=4ABA+1，a 4B=8AB 一 A+
20、1 因为 aB、a 2B、a 4B 成等比数列， 所以(4ABA+1)2=(2ABA+1)(8ABA+1) 化简可得，16A 2B2 一 8AB(A 一 1)+(A一 1)2=16A2B2 一 10AB(A 一 1)+(A 一 1)2， 所以 AB(A 一 1)=0， 已知 A、B 均为正整数，则 A 一 1=0，所以 A=1 数列的通项公式 an=2n【知识模块】 数列26 【正确答案】 又 n=1 也符合 an=n49，则此数列的通项公式 an=n49，即数列a n是以一 48 为首项，公差为 1 的等差数列(2)由(1) 可知，偶数项是首项为 a2=一 47，公差为 2的等差数列，则 a
21、2+a4+a6+a94+a96+a98=T49， T 49=一 4749+ 2=49【知识模块】 数列27 【正确答案】 (1)已知 n2 时，a n 一 an-1=an-1 一 1，即 an=2an-11， 利用迭代法，an=22an-221，a n=23an-322 一 21， 依此规律可知， an=2n-2a2 一(2 n-3+2n-4+22+2+1)， 其中 1+2+2 2+2n-4+2n-3= =2n-21 所以 an=2n-2a2 一(2 n-2 一 1)， 又 a1=3，则 a2=2an1=5， 代入前面的式子中可得， an=52n-2一(2 n-2 一 1)=42n-2+1=2
22、n+1， 当 n=1 时，a 1=3 符合通项公式， 故 an=2n+1 (2)因为 bn=3(an 一 1)，所以 bn=32n， 要求数列b n中小于 100 的项，即 bn100 故可知，数列b n中小于 100 的项有 5 个【知识模块】 数列28 【正确答案】 (1)因为点(a n，b n)在直线 y=3x+2 上， 所以 bn=3an+2， 又因为点(2a5，b 7)也在直线 y=3x+2 上， 所以 b7=6a5+2， 综合两式可得 化简得 a7=2a5， 又因为数列a n为等差数列，即 a1+6d=2(a1+4d)， 解得 a1=一 2d=一 2， 故数列a n是以一 2 为首
23、项， 1 为公差的等差数列，即 an=n 一 3 (2)已知数列a n是公差为 1 的等差数列，设 an=an+(n 一 1) 【知识模块】 数列29 【正确答案】 因为数列a n和b n均为等差数列， 【知识模块】 数列30 【正确答案】 (1)根据已知条件可知，甲公司每年的月工资成等差数列，首项为3000，公差为 500 设这个数列为a n，则第 n 年的月工资为 an=3000+(n1)500=500n+2500 乙公司每年月工资成等比数列，首项为 2000，公比为(1+20) 设这个数列为b n，则第 n 年的月工资为 bn=2000(1+20) n-1=200012 n-1 (2) 设数列 an的前 n 项和为 Sn，在甲公司工作 n 年后，其收入总额即为 12Sn， Sn=3000n+ 500=250n2+2750n， 当 n=3 时，12S3=12(25032+27503)=126000 元 设数列b n的前 n 项和为 Tn，在乙公司工作 n 年后，其收入总额即为 12Tn， T n= =10000(12 一 1)， 当 n=3 时，12T 3=1210000(12 3 一 1)=87360 元 因为 12600087360，则当小王分别在两家公司工作三年时，在甲公司所得的工资较多，故小王应该选择甲公司【知识模块】 数列
