1、教师公开招聘考试小学数学（向量）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题1 下列说法正确的是( ) （A）单位向量都相等（B）若 a=b，则 a 与 b 方向相同（C）两个向量平行，则一定有相同的起点（D）若 ab，则 a 与 b 的方向相同或相反2 已知 a=(3，1)，b=(1，2) ，则(a+2b)(2ab)=( )（A）一 25（B） 5（C） 20（D）253 在平面直角坐标系中，O 点坐标为(0，0)，A 点坐标为(3，一 4)，将向量，的坐标为( )（A）(一 4，一 3)（B） (一 3，一 4)（C） (4，3)（D）(3 ，4)4 已知向量 a=(1，2，3)，b=(x，x 2
2、+y 一 2，y)，a 与 b 同向，则 x，y 的值分别为( )（A）1，3（B）一 2，一 6（C） 1，3 或一 2，一 6（D）一 1，一 3 或 2，65 在直角坐标系 xOy 上，已知ABC，=( )（A） (a+b+c)（B） (c 一 a 一 b)（C） 3c 一 a 一 b（D）4c 一 2a 一 2b6 下列各组向量中，互相垂直的是( )（A）a=(1，1，3)，b=(一 2，0，1)（B） c=(一 2，一 1，4) ，d=(2，1，一 4)（C） e=(一 1，0，一 2)，f=(0 ，1，4)（D）g=(一 2，一 1，1)，h=(1，一 1，1)7 在空间直角坐标系
3、 Oxyz 中，已知两点 A(1，1，2)、B(2，一 1，2)，则的夹角 的正弦值为( )二、填空题8 已知平面向量 a=(1，一 3)，b=(4，一 2)，a+b 与 a 垂直，则 =_9 已知 一 5i，若 A、B、C 三点共线，则 x=_10 已知向量 a=(1，3)，b=(一 2，4) ，且(2a 一 mb)(a+b)，则m=_11 已知 a= ，ab，则 +=_12 在空间直角坐标系中，若 A 点坐标为(一 1，1，1)，B 点坐标为(1，一 1，0)，C 点坐标为 (x，y，6)，且 ，则 x=_，y=_13 与向量 a=(3，一 4)平行的单位向量 b=_或_14 已知非零向量
4、 a、b，满足 (a+b)(a 一 b)，则a_b(填“”“”或“=”)15 已知 e1，e 2 是夹角为 的两个单位向量，a=e 1+2e2，b=ke 1 一 e2若 ab，则实数 k 的值为_16 在四面体 OABC 中，=_(用a，b，c 表示)三、解答题17 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(一 2，0)，点 B 在直线 x=一 6 上，点 M满足 ，求点 M 的轨迹方程 C18 已知向量 a=(sinx，cosx)，b=(cosx，cosx)，xR，设函数 f(x)=ab， (1)求函数f(x)的最小值和最小正周期； (2) 已知ABC 的三个角 A、B、C 的对边分别为a、
5、b、c，且 A+BC，c=2，f(C)=0 ，若向量 m=( ，sinA)与 n=(1，sinB)互相平行，求 A 的值19 如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中， =c，20 已知平面内的三个向量 a=(2，3)，b=(3，1) ，c=(10，1)(1)求满足 c=ma+nb 的 m、n 的值；(2)求4a 一 b 一 c的值21 已知正方体 ABCDA1B1C1D1，E 是棱 DD1 的中点在棱 C1D1 上是否存在一点F，使 B1F平面 A1BE?并证明你的结论22 如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是棱BC、CC 1 上的点，CF=AB=2CE，
6、AB：AD：AA 1=1：2：4 (1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值； (2)证明： AF平面 A1ED23 如下图，在OAB 中，教师公开招聘考试小学数学（向量）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 长度等于 1 个单位的向量叫作单位向量，单位向量的模都相等，其方向不一定相同，故 A 选项错误；长度相等且方向相同的两个向量叫作相等向量，故 B 选项正确；两个向量是否平行与起点没有关系，故 C 选项错误；O 与任意向量平行，但其方向是任意的，故 D 选项错误【知识模块】 向量2 【正确答案】 D【试题解析】 a+2b=(3， 1)+2(1，2)=(
7、5，5)，2a 一 b=2(3，1)一(1，2)=(5，0)，则(a+2b)(2a 一 b)=(5，5)(5，0)=25+0=25【知识模块】 向量3 【正确答案】 A【试题解析】 以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则由已知可得，故答案选 A【知识模块】 向量4 【正确答案】 A【试题解析】 由题意可知 ab，从而 当 x=1，y=3 时，向量b=(1，2，3) ，当 x=一 2， y=一 6 时，向量 b=(一 2，一 4，一 6)，a 与 b 两向量方向相反，不符合题意，舍去故 x，y 的值分别为 1，3【知识模块】 向量5 【正确答案】 C【试题解析】 G 为ABC 的重心
8、，则 (O 为 ABc 所在平面上的任意一点)，所以 c= =3c 一 a 一 b【知识模块】 向量6 【正确答案】 D【试题解析】 两向量垂直，则两向量的数量积为 0，经计算，gh=(一 2，一1，1) (1，一 1，1)=一 2+1+1=0，故本题选 D【知识模块】 向量7 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 向量二、填空题8 【正确答案】 一 1【试题解析】 a+b=(+4 ，一 3 一 2)，因为 a+b 与 a 垂直，所以+4+9+6=0，所以 =一 1【知识模块】 向量9 【正确答案】 一 15【试题解析】 A、B、C 三点共线，即向量故 x=一 15【知识模块】 向量10
9、 【正确答案】 一 2【试题解析】 由已知可得，2amb=(2+2m，6+4m)，a+b=(一 1，一 1)，又因为(2amb)(a+b)，故 ，解得 m=一 2【知识模块】 向量11 【正确答案】 k(kZ)【试题解析】 因为 ab，则 ab= sin(+)=0，故+=k(kZ)【知识模块】 向量12 【正确答案】 一 12 12【试题解析】 由已知可得，解得 x=12，y=12 【知识模块】 向量13 【正确答案】 【试题解析】 因为a=5，所以与口平行的单位向量 b=【知识模块】 向量14 【正确答案】 =【试题解析】 如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，=a 一 b，又因为(a+b
10、)(a 一 b)，则平行四边形AOBC 的两条对角线互相垂直，故平行四边形 AOBC 是菱形，所以 OA=OB，即a=b【知识模块】 向量15 【正确答案】 【试题解析】 因为 ab，所以 ab=0 ，即(e 1+2e2)(ke 1 一 e2)=0ke 12+(2k 一 1)e1e 22e22=0因为 e1，e 2 是夹角为詈的两个单位向量，所以 cos(e1，e 2)=【知识模块】 向量16 【正确答案】 【试题解析】 如右图所示由题意可得【知识模块】 向量三、解答题17 【正确答案】 设 M 的坐标为(x，y)，则由 可知，B 的坐标为(一6，y) 所以(一 82x，一 y)(一 4，y)
11、=32+8x y2=0，即 y2=8x+32， 所以点 M 的轨迹方程C：y 2=8x+32【知识模块】 向量18 【正确答案】 【知识模块】 向量19 【正确答案】 【知识模块】 向量20 【正确答案】 (1)由题意可得(10，1)=m(2，3)+n(3，1)，即 (2)因为 a=(2，3)，b=(3，1)，c=(10，1)，所以 4a 一bc=(一 5，10)，故4a 一 bc= 【知识模块】 向量21 【正确答案】 在棱 C1D1 上存在一点 F，使 B1F平面 A1BE 如下图，以 A 点为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 2a，则 A1(0，0，2a)， B1(2a，0，
12、2a)，B(2a，0，0)，E(0，2a ，a)，则 =(2a，0，一 2a) 设平面 A1BE 的法向量 n(x，y，z) ，则 n=2ax 一 2az=0当 z=1 时，x=1，y=*，1) 假设在棱C1D1 上存在点 F(t，2a，2a)(0t2a)使 B1F平面 A1BE，则+0=0，解得 t=aF 点的坐标为(a ，2a，2a)，为 C1D1 中点故在棱 C1D1 上存在一点 F，使 B1F平面 A1BE【知识模块】 向量22 【正确答案】 (1)由已知条件建立空间直角坐标系，如下图所示，长方体的棱AB 为 x 轴，棱 AD 为 y 轴，棱 AA1 为 z 轴设 B 点坐标为(1，0，0)，因为AB：AD：AA 1=1：2：4 ，则 D(0，2，0) ，A 1(0，0，4)，又 CF=AB=2CE，所以E(1， ，1)故异面直线 EF 和DA1 所成的角的余弦值为所以 AF平面 A1ED【知识模块】 向量23 【正确答案】 【知识模块】 向量
