1、专升本高等数学一（常微分方程）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题1 微分方程(y )2=x 的阶数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）42 微分方程 y2dx 一(1 一 x)dy=0 是 ( )（A）一阶线性齐次方程（B）一阶线性非齐次方程（C）可分离变量方程（D）二阶线性齐次方程3 已知函数 y= +x+C 是微分方程 y=x 一 1 的解，则下列正确的是 ( )（A）y 是该微分方程的通解（B） y 是微分方程满足条件 y x=0=1 的特解（C） y 是微分方程的特解（D）以上都不是4 方程 xy=2y 的特解为 ( )（A）y=2x（B） y=x2（C） y=2x3（D）y
2、=2x 45 微分方程 y+ 的通解是 ( )（A）arctanx+C（B） (arctanx+C)（C） arctanx+C（D） +arctanx+C6 方程 y一 y=ex+1 的一个特解具有形式 ( )（A）Ae x+B（B） Axex+B（C） Aex+Bx（D）Axe x+Bx7 某二阶常微分方程的下列解中为特解的是 ( )（A）y=Csinx（B） y=C1sin3x+C2cos3x（C） y=sin3x+cos3x（D）y=(C 1+C2)cosx8 下列方程中，可用代换 p=y，p =y降为关于 p 的一阶微分方程的是 ( )（A） +xy一 x=0（B） yy 一 y2=0
3、（C） x 2y一 y2x=0（D） x=0二、填空题9 方程(xy 2+x)dx+(yx 2y)dy=0 满足 y x=0=1 的特解为 _10 已知微分方程 y+ay=ex 的一个特解为 y=xex，则 a=_11 微分方程 y一 4y+3y=excosx+xe3x 对应齐次微分方程的通解为 =_，它的特解形式为 y*=_12 非齐次微分方程 y+9y=cosx，它的一个特解应设为_13 设二阶常系数线性齐次微分方程 yay +by=0 的通解为 y=C1ex+C2e2x，那么非齐次微分方程 y+ay+by=1 满足的条件 y(0)=2，y (0)=一 1 的解为_14 求微分方程 dy=
4、sin(x+y+100)dx 的通解15 求微分方程 xy一 =0 的通解16 求方程 xsecydx+(1+x2)dy=0，满足初始条件 y x=0= 的特解17 求微分方程 secxy +tanxy=e cosx 的通解18 (1)求微分方程 xy+ay=1+x2 满足 y x=1=1 的解 y(x，a)，其中 a 为常数(2)证明(x，a) 是方程 xy=1+x2 的解19 求微分方程 y+3x2y=xex3 的通解20 求微分方程 xy+2y=xlnx 满足 y(1)= 的解21 求解方程 0x(xs)y(s)ds=sinx+0xy(s)ds22 已知某曲线经过点(1，1)，它的切线在
5、纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程23 求 y一 2y+y=x3 的特解24 求 y一 5y一 14y=9e7x 的特解25 求 y一 4y+4y=xe2x 的通解26 已知函数 y=(x+1)ex 是一阶线性微分方程 y+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程 y+3y+2y=f(x)的通解27 求 y=y+x 的通解27 设函数 f(x)在1，+)上连续，若由曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体体积为 V(t)= t2f(t)一 f(1)，求：28 y=f(x)所满足的微分方程；29 该微分方程满足条件 y x
6、=2= 的解专升本高等数学一（常微分方程）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶，故此微分方程的阶数为 1【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 C【试题解析】 将该微分方程整理可得 dx，所以该微分方程是可分离变量方程【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 D【试题解析】 方程为二阶微分方程，则通解中应含有两个任意常数，因此y= x3 一 x2+x+C 显然不是方程的通解，又 y= 一 x+1，y =x1，故可知 y= x2+x+C 为 y=x1 的解，因含有未知数，故不是特解，因此选 D【知识模
7、块】 常微分方程4 【正确答案】 B【试题解析】 分离变量可得 ，两边积分得 lny=lnx 2C 1，即 y=Cx2，所以方程的特解中 x 的最高次数也应该为 2，故选 B【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 B【试题解析】 所求方程为一阶线性微分方程，由通解公式可得 其中 C 为任意常数，故选 B【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 D【试题解析】 方程对应二阶齐次线性微分方程的特征方程为 r2 一 r=r(r 一 1)=0，所以 r1=0，r 2=1，又有 f(x)=ex1， 1=0， 2=1 是该二阶非齐次微分方程的一重特征根，所以特解形式为 y*=Axex+Bx故选 D【知识
8、模块】 常微分方程7 【正确答案】 C【试题解析】 由特解定义可知，特解中不含有任意常数，故排除 A、B 、D 项，选 C【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 A【试题解析】 可降阶方程中的 y=f(x，y )型可用代换 p=y，p =y，观察四个选项，只有 A 项是 y=f(x，y )型，故选 A【知识模块】 常微分方程二、填空题9 【正确答案】 =2【试题解析】 分离变量得 ，两边积分得 lnx 2 一 1= 所以 x2 一1=C(y2+1)，又 y x=0=1，故 =2【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 一 1【试题解析】 把 y=xex，y =ex+xex 代入微分方程 y
9、+ay=ex=(1+a)xex+ex，利用对应系数相等解得 a=一 1【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 C 1ex+C2e3x，e x(Acosx+Bsinx)+x(ax+b)e3x【试题解析】 事实上，原方程对应的齐次微分方程的特征方程为 r2 一4r+3=0，r 1=1，r 2=3，故齐次微分方程的通解为 =C1ex+C2e3x非齐次方程特解形式的假设，可分为两个方程进行：y 一 4y+3y=excosx， y一 4y+3y=xe3x =1i 不是特征方程的特征根，故的特解形式是 y1*=ex(Acosx+Bsinx)；=3 是特征方程的一重特征根，故的特解形式应是 y2*=x(
10、ax+b)e3x，则 y1*+y2*=y*即是原方程的特解形式【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 y=Acosx+Bsinx【试题解析】 方程对应二阶齐次线性微分方程的特征方程为 r2+9=0，所以r1，2 =3i，f(x)=cosx，则i 不是该二阶齐次微分方程的特征根，所以特解形式为y=Acosx+Bsinx【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 y=4e x 一【试题解析】 二阶线性常系数齐次方程对应的特征方程为 r2+ar+b=0，又由通解可得特征根 r1=1，r 2=2，即(r 一 1)(r 一 2)=0，r 2 一 3r2=0 ，故 a=一 3，b=2所以非齐次微分方程
11、为 y一 3y2y=1，由于 =0 不是特征方程的根，因此，设特解y*=A，则 (y*)=0，(y *)=0，代入可得 ，所以 y一 3y2y=1 的通解为y=C1exC 2e2x+ ，再由 y(0)=2，y (0)=一 1，可得 C1=4，C 2= ，故满足初始条件的特解为 y=4ex 一 【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 方程可写成 y=sin(x+y+100)，令 =x+y+100，则 ，于是原方程化为 =1+sin，就得到了可分离变量方程分离变量，得 =dx，恒等变形，有 =dx，即 (sec2tansec)d=dx两边积分，得 tansec=x+C，将=x+y+100 回代
12、，得方程通解为 tan(x+y+100)一 sec(x+y+100)=x+C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 方程分离变量得 ，两边积分有 +C1，则方程的通解为2lny+y 2 一 ln2x=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 方程分离变量得 dy，即 dx=一 cosydy，两边积分有dx=cosydy，即 n(1+x2)=一 siny+C，由初始条件 y x=0= 得 C=1，则方程的特解为 siny =1【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 将原方程改写成 y+ysinx=cosxecosx，则 y=esinxdx
13、(cosxecosxesinxdxdx+C)=ecosx(cosxdxC) =e cosx(sinx+C) 其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 (1)原方程可改写成 y+ ，微分方程的通解为 (2) 设 y0=+lnx，则 xy0=x(x )=1+x2，故结论成立【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 由通解公式得 y=e3x2dx (xex3 e3x2dxdx+C)=ex3 (xdx+C)= x2ex3 +Cex3 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 方程 xy+2y=xlnx 两边同时除以 x，得 y y=lnx，是一阶线性微分方程，其
14、中 P(x)= ，Q(x)=lnx，利用通解公式得【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 0x(xs)y(s)ds=x0xy(s)ds 0xsy(s)ds=sinx+0xy(s)ds，两边对 x 求导，得 0xy(s)ds=cosx+y(x)，且 y(0)=一 1，再次对 x 求导，得 y一 y=sinx 为一阶线性非齐次微分方程其中 P(x)=一 1，Q(x)=sinx ，故解为 y=eP(x)dx Q(x)eP(x)dxdx+C=exsinxex dx+C=Cex 一 (sinx+cosx)，又由 y(0)=一 1，得 C= ，故原方程解为 y(x)= (ex+sinx+cosx)【知
15、识模块】 常微分方程22 【正确答案】 根据题意可知，f(1)=1由导数几何意义可知，曲线 y=f(x)上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为：yy 0=f(x0)(xx0)令 x=0，y=一 f(x0)x0+y0，其中，y0=f(x0)， x0=一 x0f(x0)+f(x0)，即 x0f(x0)一 f(x0)=一 x0，求曲线方程相当于求 =一 1 满足 y(1)=1 的特解由通解公式得 又 y(1)=1， C=1，故所求曲线方程为y=一 xlnx +x【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 对应的齐次方程的特征方程为 r2 一 2r1=0，解得 r=1，为二重根，故 =0 不是特征
16、方程的根 由 f(x)=x3，设特解为 y=Ax3+Bx2Cx+D，则 y=3Ax2+2BxC，y =6Ax2B， 代入原方程得 6Ax2B 一 2(3Ax22Bx+C)Ax 3+Bx2+CxD =Ax 3+(B 一 6A)x2(6A+C 一 4B)x2B+D2C=x 3， 则A=1，B=6 ，C=18，D=24，故特解为 y=x 3+6x2+18x+24【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 原方程对应的齐次方程的特征方程为 r2 一 5r 一 14=0，解得 r=一2，7，=7 是特征方程的一重根，故设原方程的特解为 y=Axe7x，则 y =A(7x+1)e7x，y =A(49x+1
17、4)e7x， 代入原方程得 A(49x+14)e 7x 一 5A(7x+1)e7x 一14Axe7x=9e7x，则 A=1，故特解为 y=xe7x【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 原方程对应的齐次方程的特征方程为 r2 一 4r+4=0，解得 r=2(二重根)，所以对应的齐次方程的解为 =(C1x+C2)e2x，=2 是特征方程的二重根，故设原方程的特解为 y*=x2e2x(Ax+B)，则(y *)=2xe2x(Ax+B)+x2e2x(2Ax+2B+A)，(y *)=e2x(2Ax+2B)+xe2x(8Ax+8B+4A)+x2e2x(4Ax+4B+4A)，代入原方程得 e2x(2Ax
18、+2B)+xe2x(8Ax+8B+4A)+x2e2x(4Ax+4B+4A)一 8xe2x(Ax+B)一 4x2e2x(2Ax+2B+A)+4x2e2x(Ax+B)=xe2x，解得 A= ，B=0 ，故原方程的通解为 y=(C1x+C2)e2x+ x3e2x其中 C1， C2 为任意常数【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 据题意的，y =ex+(x+1)ex=(x+2)ex，f(x)=y +2y=(x+2)ex+2(x+1)ex=(3x+4)ex，则下面求微分方程 y+3y+2y=(3x+4)ex 的通解，特征方程为r2+3r+2=0，求得 r1=一 1， r2=一 2，所以 y+3y+
19、2y=0 的通解为 y=C1ex +C2e2x ， 因 =1 不是特征方程的根，所以设 y*=(Ax+B)ex 为原方程 y+3y+2y=(3x+4)ex 的一个特解，则把(y *)=(Ax+A+B)ex，(y *)=(Ax+2A+B)ex 代入原方程，并比较系数得A= ，B= ，所以微分方程 y+3y+2y=(3x+4)ex 的通解为 y=C1ex +C2e2x +ex其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 令 y=p，y =p，原方程化为 p=p+x，解此一阶线性非齐次方程得p=edxxedx dx+C1=ex(xex dx+C1)=C1exx1 即 y=
20、C1ex 一 x 一 1，两边积分得通解为 y=C1ex 一 一 x+C2，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 据题意，V(t)= 1tf(x)2dx= t2f(t)一 f(1)，即 31tf(x)2dx=t2f(t)一 f(1)，上式两边同时对 t 求导得，3f 2(t)=2tf(t)+t2f(t)，即 y=f(x)所满足的微分方程为 x2y+2xy 一 3y2=0；【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 将微分方程 x2y+2xy 一 3y2=0，化为 ，即为齐次方程令 =，代入方程并化简得 =32 一 3变量分离得 ，两端积分并代入= 得通解为 yx=Cx3y，再把 y x=2= 代入可得 C=1，故该微分方程满足条件 y x=2= 的解为 yx=一 x3y【知识模块】 常微分方程
