1、专升本高等数学一（常微分方程）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题1 下列方程是一阶微分方程的是 ( )（A）2y +x2y+y=0（B） (7x 一 6y)dx+(x+y)dy=0（C） (y)2+xy(4)一 y2=0（D）(y )2+5(y)2 一 y5+x7=02 下列哪组函数是线性相关的 ( )（A）e 2x，e 2x（B） e2x ，e x2（C） ex2，e x2（D）3 y= 的通解为 ( )（A）arctanyarctanx=C（B） arctany+arctanx=C（C） arcsinyarcsinx=C（D）arcsiny+arcsinx=C4 设函数 y(x)满足微分
2、方程 cos2xy +y=tanx，且当 x= 时，y=0，则当 x=0 时，y= ( )（A）（B）（C）一 1（D）15 微分方程 y一 2y=x 的特解应设为 ( )（A）Ax（B） Ax+B（C） Ax2+Bx（D）Ax 2+Bx+C6 设方程 y一 2y一 3y=f(x)有特解 y*，则它的通解为 ( )（A）y=C 1ex +C2e3x+y*（B） y=C1ex +C2e3x（C） y=C1xex +C2e3x+y*（D）y=C 1ex+C2e3x +y*7 已知曲线 y=y(x)经过原点，且在原点处的切线平行于直线 2xy+5=0，而 y(x)满足微分方程 y一 6y+9y=e3
3、x，则此曲线方程为 y= ( )（A）sin2x（B） x2e3x+sin2x（C） x(x+4)e3x（D）(x 2cosx+sin2x)e3x8 微分方程 y= 的通解为 ( )二、填空题9 微分方程的解中含有独立的任意常数的个数若与微分方程的_相同，则该解叫作微分方程的通解10 微分方程 3extanydx+(1 一 ex)sec2ydy=0 的通解是_11 微分方程(1+x)ydx+(1 一 y)xdy=0 的通解为_12 方程 y一 2y+5y=exsin2x 的特解可设为 y*=_13 满足 y=x，且经过点(0，1)，在该点与直线 y= +1 相切的积分曲线为_14 求方程 y=
4、e3x2y 满足初始条件 y x=0=0 的特解15 求微分方程(1+y 2)arctanydx+(1+x2)arctanxdy=0 的通解16 求方程(1+x 2)ydy(1+y 4)dx=0，满足 y x=0=1 的特解17 求微分方程(x 2+3)y+2xye2x=0 的通解18 设 f(x)+20xf(t)dt=x2，求 f(x)19 已知连续函数 f(x)满足 f(x)=03xf( )dte 2x,求 f(x)20 求一个不恒等于零的可导函数 f(x)，使它满足 f2(x)=0x 21 假设： (1)函数 y=f(x)(0x+) 满足条件 f(0)=0 和 0f(x)ex 一 1；
5、(2) 平行于 y轴的动直线 MN 与曲线 y=f(x)和 y=ex 一 1 分别相交于点 P1 和 P2； (3)曲线 y=f(x)、直线 MN 与 x 轴所封闭图形的面积 S 恒等于线段 P1P2 的长度，求函数 y=f(x)的表达式22 求 9y6y +y=0 的通解23 求微分方程 y一 2y一 3y=3x+1 的一个特解24 求 y4y +5y=e2x(sinx+cosx)的通解25 已知函数 f(x)满足方程 f(x)+f(x)一 2f(x)=0，且 f(x)+f(x)=2ex，求表达式 f(x)26 求微分方程 的通解27 求 =0 的通解专升本高等数学一（常微分方程）模拟试卷
6、2 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 A、D 项是二阶微分方程，C 项是四阶微分方程，只有 B 项是一阶的，故选 B【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 B【试题解析】 =e4，是常数，故 B 项的函数是线性相关的；而 ，都不是常数，故 A、C、D 项函数都是线性无关的，故选 B【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 C【试题解析】 分离变量可得 ，两边积分得 arcsiny=arcsinx+C，C 为任意常数，故选 C【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 C【试题解析】 方程两边同时除以 cos2x，得 y+sec2xy=tanxsec 2x此为一阶线性非齐次方
7、程，由其通解公式可得 y=eP(x)dx Q(x)eP(x)dxdx+C=esec2xdx tanxsec2xesec2xdxdx+C=etanx tanxsec2xetanxdx+C=etanx tanxetanx 一sec2xetanxdx+C=etanx tanxetanx 一 etanzx+C=tanx 一 1+Cetanx ，又当 x= 时，y=0，则 C=0，即 y=tanx 一 1所以 x=0 时，y=01=一 1，故选 C【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 C【试题解析】 因 f(x)=x 为一次函数，且特征方程为 r2 一 2r=0，得特征根为r1=0，r 2=2于是特
8、解应设为 y*=(AxB)x=Ax 2+Bx【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 A【试题解析】 考虑对应的齐次方程 y一 2y一 3y=0 的通解特征方程为 r2 一 2r一 3=0，所以 r1=一 1，r 2=3，所以 y一 2y一 3y=0 的通解为 =C1ex C 2e3x，所以原方程的通解为 y=C1ex C 2e3x+y*，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 C【试题解析】 原方程对应的二阶齐次微分方程的特征方程 r2 一 6r+9=(r3) 2=0，所以其特征根为 r1=r2=3，二阶齐次方程对应通解为 y=(C1+C2x)e3x，=3 是
9、方程的二重特征根，原方程特解形式为 y*=Ax2e3x，(y *)=(3Ax2+2Ax)e3x，(y *)=(9Ax2+12Ax2A)e 3x代入到方程中可得 A= 则原方程通解为 y=(C1+C2x)e3x+ x2e3x由题意可得 y(0)=2，y(0)=0，代入可得 C1=0，C 2=2，故所求曲线方程为 y=( x2+2x)e3x= x(x+4)e3x【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 C【试题解析】 设 =， y=x，y = =tan所以 ，lnsin=lnx+lnC，sin=Cx ，原方程的通解为 =Cx(C 为任意常数)【知识模块】 常微分方程二、填空题9 【正确答案】 阶数
10、【试题解析】 由微分方程通解定义可知，通解中任意常数的个数与微分方程中的未知数的最高阶导数的阶数即方程的阶数一致【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 tany=C(e x 一 1)3【试题解析】 两边同乘以 ，方程分离变量为 ，积分得lntany=3lne x 一 1+1nC所以方程有通解为 tany=C(ex 一 1)3，其中C 为任意常数【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 y=lnxy +x+C【试题解析】 分离变量，(1+x)ydx+(1 一 y)xdy=0 x+lnx+C=ylny，即通解为 y=x+lnxy C，C 为任意常数【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】
11、xe x(Asin2x+Bcos2x)【试题解析】 由特征方程为 r22r+5=0，得特征根为 12i，而非齐次项为exsin2x，因此其特解应设为 y*=xex(Asin2x+Bcos2x)【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 y= 1【试题解析】 对等式积分得 y= x2+C1，再积分得 y= x3+C1x+C，且直线过点(0， 1)，则 C=1，又直线在该点与 y= +1 相切，所以 y(0)= ，故所求积分曲线为 y= 1【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 原题可改写为 ，即 e2ydy=e3xdx，两边积分得e2y= e3x+C，代入初始条件 y x=0=0，得 C，所
12、以 C= 【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 方程分离变量得 ，两边积分有 ，即 lnarctany=一lnarctanx +lnC，则方程的通解为 arctany arctanx=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 方程分离变量得 ，丙边积分有 arctany2=一 arctanx+C，将初始条件 y x=0=1 代入得 C= ，则方程的特解为 arctany2+2arctanx= 【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 将原方程改写成 y+ ，则 y= 其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 由 f(x)+20xf(t)d
13、t=x2，两边对 x 求导得 f(x)+2f(x)=2x，这是一个一阶线性常微分方程，由通解公式得 f(x)=e2dx (2xe2dxdx+C)=e2x (2xe2xdx+C)=x 一+Ce2x 又由题意可得 f(0)=0，则 C= e2x 【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 等式两端对 x 求导得 f(x)一 3f(x)=2e2x， 利用通解公式得 y=e3dx2e2xe3dx dx+C=e3x2ex dx+C =e3x(一 2ex +C)=Ce3x 一 2e2x， 又 f(0)=0+1=1，所以 C 一 2=1，C=3， 故 f(x)=3e3x 一 2e2x【知识模块】 常微分方程
14、20 【正确答案】 据题意，f 2(x)=0xf(t) 两边同时对 x 求导，可得 2f(x)f (x)=f(x) ，即 f(x)= ，解微分方程 两端积分得 又因 f(0)=0，可得 C=ln3，所以所求函数 f(x)= ln3【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 由题设可得示意图如图 61 所示由图可知 0xf(t)dt=ex 一 1 一f(x)，两端求导，得 f(x)=ex 一 f(x)，即 f(x)+f(x)=ex由一阶线性微分方程求解公式，得 f(x)=eP(x)dx Q(x)eP(x)dxdx+C=ex (exe xdx+C)=Cex + ex由 f(0)=0，得 C=因此，
15、所求函数为 f(x)= (ex 一 ex )【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 对应的特征方程为 9r2+6r1=0，解得 r= ，为二重根，故原方程的通解为 y= (C1+C2x)其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 这是二阶线性常系数非齐次线性微分方程，其中 f(x)=3x+1，方程的特征方程为 r2 一 2r 一 3=0其特征根为 r1=一 1，r 2=3由于 =0 不是特征根，所以设特解为 y*=Ax+B把 y*=Ax+B 代入所给方程，得一 3Ax 一 2A 一3B=3x+1，比较系数，得 A=一 1，B= 于是求得所给方程的一个特解为 y
16、*=一 x 【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 原方程对应的齐次方程的特征方程为，r 24r+5=0，解得 r=2i，所以对应的齐次方程的解为 =(C1sinx+C2cosx)e2x，i=2i，是特征方程的根，故设原方程的特解为 y=xe2x(Asinx+Bcosx)，则 Y=e2x(Asinx+Bcosx)+xe2x(2AB)sinx+(A+2B)cosx，Y =e2x(4A 一 2B)sinx+(2A+4B)cosx+xe2x(3A 一 4B)sinx+(4A+3B)cosx，代入原方程得 e2x(4A 一 2B)sinx+(2A+4B)cosx+xe2x(3A 一4B)sinx+
17、(4A+3B)cosx一 4e2x(Asinx+Bcosx)一 4xe2x(2AB)sinx+(A+2B)cosx+5xe2x(Asinx+Bcosx)=e2x(sinx+cosx)，解得 ，故原方程的通解为y=(C1sinx+C2cosx)e2x+ (sinx 一 cosx)其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 解微分方程 f(x)+f(x)一 2f(x)=0， 特征方程 r2+r 一 2=0，解得 r1=一 2，r 2=1， 所以微分方程的通解为 f(x)=C1e2x +C2ex，其中 C1，C 2 为任意常数 则 f(x)=一 2C1e2x +C2ex
18、，又 f(x)+f(x)=2ex， 所以一 C1e2x +2C2ex=2ex，得C1=0，C 2=1，所以 f(x)=ex【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 方程化为 为齐次方程，令 =，dy=dx+xd，代入上式再分离变量 cosd= dx两边积分得 sin=一 ln x+C，将 = 代入得通解为 =一 lnx+C，C 为任意常数【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 令 y=p，y = p=0，分离变量得 ，两边积分得lnp=ln y+ln C 1即 p=C1y，即 y=C1y，再分离变量得 dy=C1dx，两边积分得 lny=C 1x+C，即通解 y=C2eC1x，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程
