1、专升本高等数学二（常微分方程）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题1 下列方程中是线性微分方程的为 ( )（A）(y )2+xy=x（B） yy一 2y=x（C） y一 =ex（D）y y 3xy2=cosy2 C、C 1、C 2 为任意常数，微分方程 +2y=0 的通解是 ( )（A）y=cosx（B） y=Csinx（C） y=C1cosx+C2sinx（D）y=Ccosx+Csinx3 微分方程 3x2+5x 一 5y=0 的通解为 ( )（A）y= +C（B） y=x3+x2+C（C） y= +C（D）y=4 已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量y= a，且当x0 时，a 是x
2、 的高阶无穷小，y(0)=，则 y(1)= ( )（A）2（B） （C）（D）5 已知某二阶常系数齐次线性微分方程的两个特征根分别为 r1=1，r 2=2，则该方程为 ( )（A）y 一 y+y=0（B） y一 3y2=0（C） y一 3y一 2y=0（D）y 一 3y+2y=06 设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y+py+qy=e3x 满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 的极限 ( )（A）不存在（B）等于 1（C）等于 2（D）等于 37 已知二阶微分方程 y+y一 6y=3e2xsinxcosx，则设其特解形式为 ( )（A）e 2x(acosx+b
3、sinx)（B） e2x(acos2x+bsin2x)（C） xe2x(acosxbsinx)（D）xe 2x(acos2x+bsin2x)8 微分方程(1 一 y)y+2(y)2=0，降阶时可令 y=p，则需将 y转化为 ( )二、填空题9 设 y1=x，y 2=ex，y 3=ex 是 yPy +qy=f(x)(其中，p，q 都是常数)的三个特解，则该方程的通解为_10 已知 01f(tx)dt= f(x)+1，则 f(x)=_11 非齐次微分方程 y一 5y+6y=xe2x，它的一个特解应设为 _12 以 y=e2x(C1cosxC 2sinx)为通解的二阶常系数线性微分方程为_13 求微
4、分方程 ysin dy=0 的通解14 求微分方程 3x2 一 2x 一 3y=0 的通解15 求方程(y 2+1)dxxydy=0，满足 y x=1=1 的特解16 求微分方程 xy+y=4x3+3x2+2x+1 的通解17 求微分方程 y+ysinx=sinx 满足 = 的特解18 求微分方程 y+ycosxesinx lnx=0 的通解19 求微分方程(x+1) 一 2y=(x+1)4 的通解20 设 f(x)=sinx+0xetf(x 一 t)dt，其中 f(x)连续，求满足条件的 f(x)21 求微分方程 xdy+(x 一 2y)dx=0 的一个解 y=y(x)，使得由曲线 y=y(
5、x)与直线x=1，x=2 以及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积最小22 求 2y一 y一 3y=0 的通解23 求 y一 4y=8e2x 的特解24 求微分方程 y一 4y+8y=sinx 的一个特解25 设微分方程 y+ay+by=cex 的一个特解为 y=e2x+(1+x)ex，求该微分方程26 求微分方程(x 2+2xy 一 y2)dx+(y2+2xyx2)dy=0 满足 y x=1=1 的特解27 求方程 xy+y=3 满足条件 y(1)=0，y (1)=1 的解专升本高等数学二（常微分方程）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 A
6、项中由于存在(y )2 项，所以是非线性的； B 项由于存在 yy项，所以是非线性的；C 项为二阶线性非齐次微分方程； D 项由于含有 y2，cosy 项，所以是非线性的【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 C【试题解析】 方程的阶数与通解中任意常数的个数相同，故排除 A、B 、D 项，验证可得 C 项正确【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 C【试题解析】 原微分方程分离变量为 dy= (3x2+5x)dx，两边同时积分可得 y=+C【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 D【试题解析】 由 分离变量得 ，积分并整理得 y=Cearctanx，把 y(0)= 代入上式得 C=，则
7、y=earctanx，从而 y(1)= 【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 D【试题解析】 由特征根的值可知方程对应的特征方程为(r 一 1)(r 一 2)=r2 一3r2=0，所以对应的二阶常系数齐次线性微分方程为 y一 3y+2y=0【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 C【试题解析】 由 ypy +qy=e3x 得 y(x)连续，且 y(0)=一 py(0)qy(0) e 30=1，而 故选 C【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 B【试题解析】 特征方程为 r2+r 一 6=0，解得 r1=一 3，r 2=2，而 +i=2+2i 不是特征根，所以 y+y一 6y=3e2x
8、sinxcosx= e2xsin2x 的特解形式可设为y*=e2x(acos2x+bsin2x)，故选 B【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 C【试题解析】 对于可降阶方程中的 y=f(y，y )型，需令 y=p，则 y= ，故选C【知识模块】 常微分方程二、填空题9 【正确答案】 y=x+C 1(ex 一 x)+C2(ex 一 x)【试题解析】 y 1=x，y 2=ex，y 3=ex 是 y+py+qy=f(x)(其中，p，q 都是常数) 的三个特解，且线性无关，则 exx，e x x 是 y+py+qy=0 的解，且 ex 一 x，e x x线性无关，故 C1(ex 一 x)+C2(
9、ex x)是 y+py+qy=0 的通解，故 y+pyqy=f(x)的通解为 y=C1(ex 一 x)+C2(ex 一 x)+x其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 Cx2【试题解析】 将所给方程两边同乘以 x，得 01f(tx)d(tx)= xf(x)+x，令 =tx，则上式变为 0xf()d= xf(x)+x，两边对 x 求导，得 f(x)= xf(x)1，即 f(x)，利用一阶线性非齐次方程通解公式，得 其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 y=x(Ax+B)e 2x【试题解析】 方程对应二阶齐次线性微分方程的特征方程为 r2
10、 一 5r+6=(r 一 2)(r一 3)=0，所以 r1=2，r 2=3，=2 是该特征方程的一重特征根，所以特解形式为y=x(Ax+B)e2x【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 y 一 4y5y=0【试题解析】 由通解可知该方程的特征根为 r1=2+i，r 2=2 一 i，从而可得特征方程为 r2 一 4r5=0，故此二阶常系数齐次线性微分方程为 y一 4y+5y=0【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 分离变量，得 ，两边积分，有lny=2ln cos +ln C 1，故方程通解为 y= ，其中 C(C=2C1)为任意常数【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 方程分离
11、变量得 dy=(x2 一 x)dx，两边积分得dy=(x 2 一 x)dx，即通解为 y= +C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 方程分离变量得 两边积分有 ln(y2+1)+lnC，则=C由 y x=1=1 代入方程得 C= 则方程的特解为 【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 将原方程改写成 y+ =4x2+3x+2+ ，则y= = (4x2+3x2 2x+1)dx+C)= (x4+x3+x2+x+C)=x3+x2+x+1 其中C 为任意常数【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 利用一阶非齐次线性微分方程的通解公式可得y=esinxdx (sin
12、xesinxdx+C)=ecosx(sinxecosx dx+C)=ecosx(ecosx d(cosx)+C)=ecosx(ecosx +C)=Cecosx+1，将初始条件 =，代入得 C= 一 1，故原方程的特解为 y=ecosx( 一 1)+1【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 P(x)=cosx，Q(x)=e sinx lnx，故 y=e coxdx e sinx lnxe cosxdxdx+C =esinx lnxdx+C =x(lnx 一 1)esinx +Cesinx C 为任意常数【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 (x+1) 一 2y=(x+1)4 化为标准形
13、式为 =(1+x)3，它是一阶线性非齐次微分方程，P(x)=一 ，Q(x)=(1+x) 3，其通解为 y=eP(x)dx Q(x)e P(x)dxdxC= =(1+x)2(1+x)3(1+x) 2 dx+C=(1+x)2 x2+x+C其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 设 =xt，则 0xetf(x 一 t)dt=x0ex f()d()= 0xex f()d=ex0xe f()d 故原方程整理后，得 ex f(x)=e xsinx+0xe f()d，两端同时对x 求导，得 ex f(x)一 ex f(x)=ex cosxex sinxe x f(x)，化简为一阶线性
14、方程得f(x)一 2f(x)=cosxsinx，由一阶线性方程的通解公式得：f(x)=e 2dx(cosxsinx)e2dx dx+C=e2xe2x (cosxsinx)dxC，即 f(x)=Ce2xe 2xe2x (cosxsinx)dx分部积分可得e 2x (cosxsinx)dx= e2x (3sinxcosx)+C1，其中 C1 是任意常数，故原方程的通解为 y=Ce2x 一 ，又 f(0)=0，故 C= ，所以 f(x)= 【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 原方程可化为 =一 1则 由曲线 y=xCx 2 与直线x=1，x=2 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的
15、旋转体体积为 V(C)=12(x+Cx2)2dx= 令 V(C)= 又 V(C)= 为唯一极小值点，也是最小值点，于是得 y=y(x)=x 一 x2【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 对应的特征方程为 2r2 一 r 一 3=0，解得 r=一 1， ，故原方程的通解为 y=C1ex +C2 其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 原方程对应的齐次方程的特征方程为 r2 一 4=0，解得 r=2，=2是特征方程的一重根，故设原方程的特解为 y=Axe2x，则 y =A(2x+1)e2x，y =A(4x+4)e2x， 代入原方程得 A(4x+4)e 2x
16、一 4Axe2x=8e2x， 则 A=2，故特解为y=2xe2x【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 y 一 4y+8y=e0x(sinx+0cosx)，因特征方程为 r2 一 4r+8=0，特征根为 r=22i，因 0+i 不是特征根，所以设 y*=C1sinx+C2cosx，代入原方程 ，所以，特解 y*= 【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 特解的一阶导数 y=2e2x+(2+x)ex，y =4e2x+(3+x)ex，将 y，y 代入到原方程中可得 4e2x+(3+x)ex+a2e2x+(2+x)ex+be2x+(1+x)ex=(4+2a+b)e2x+(a+b+1)x+2a
17、+b+3ex=cex对应系数相等，故可得 故原方程为 y一 3y+2y=一 ex【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 原方程化为 积分得 lnx+lnC= ，即+1=Cx(2+1)代入 = ，得通解 x+y=C(x2+y2)由初始条件 y x=1=1 知C=1，故特解为 x+y=x2+y2【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 将原方程改写为 y ，把 y看作未知函数，因此把此方程看成 y的一阶线性非齐次方程由公式 y= (3xC)代入 y(1)=1，得 C=一 2，由y= (3x 一 2)，得 y=3x 一 2lnx+C 2，由 y(1)=0，得 C2=一 3，特解为 y=3x一 2lnx一 3【知识模块】 常微分方程
