1、选修4-5 不等式选讲,热点题型1 绝对值不等式 【感悟经典】 【典例】(2018合肥二模)已知函数f(x)=|2x-a|+a. (1)当a=2时,求不等式f(x)6的解集. (2)设函数g(x)=|2x-1|.当xR时,f(x)+g(x)3,求a的取值范围.,【联想解题】(1)看到解绝对值不等式,想到利用绝对值的意义. (2)看到xR时的恒成立问题,想到分类讨论解绝对值不等式.,【规范解答】(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+26,得-1x3, 因此f(x)6的解集为x|-1x3.,(2)当xR时, f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a
2、+1-2x|+a= |1-a|+a, 当x= 时等号成立, 所以当xR时,f(x)+g(x)3等价于|1-a|+a3.,当a1时,等价于1-a+a3,无解; 当a1时,等价于a-1+a3,解得a2; 所以a的取值范围是2,+).,【规律方法】 含绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法:对a0,|x|axa或x-a. (2)平方法:两边平方去掉绝对值符号.这适应于两边都是正数的绝对值不等式.,(3)零点分区间法(或叫定义法):含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.,(4)几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴
3、,将绝对值转化为数轴上两点的距离求解. (5)数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解.,【对点训练】 1.已知函数f(x)=|x-a|+|x+2|. (1)当a=1时, 求不等式f(x)5的解集. (2)x0R,f(x0)|2a+1|,求a的取值范围.,【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x+2|, 当x-2时,f(x)=-2x-1, 令f(x)5即-2x-15,解得-3x-2, 当-2x1时,f(x)=3, 显然f(x)5成立,所以-2x1,当x1时,f(x)=2x+1, 令f(x)5即2x+15,解得1x2, 综上所述,不等式的解集为
4、x|-3x2. (2)因为f(x)=|x-a|+|x+2|(x-a)-(x+2)|=|a+2|, 因为x0R,有f(x)|2a+1|成立,所以只需|a+2|2a+1|, 化简可得a2-10,解得a-1或a1, 所以a的取值范围为(-,-11,+).,2.已知函数f(x)=|2x-4|+|x+1|,xR. (1)解不等式f(x)9. (2)若方程f(x)=-x2+a在区间0,2有解,求实数a的取值范围.,【解析】(1)f(x)9可化为|2x-4|+|x+1|9或 或 ; 2x4或-1x2或-2x-1; 所以不等式的解集为-2,4.,(2)由题意:f(x)=-x2+aa=x2-x+5,x0,2,
5、所以方程f(x)=-x2+a在区间0,2有解函数y=a和函 数y=x2-x+5图象在区间0,2上有交点, 因为当x0,2时,y=x2-x+5 ,7, 所以a ,7 .,【提分备选】 1.(2018南阳三模)已知函数f(x)=|3x+2|. (1)解不等式f(x)0),若|x-a|-f(x) + (a0) 恒成立,求实数a的取值范围.,【解析】(1)不等式f(x)4-|x-1|, 即|3x+2|+|x-1|4,x . (2) + = (m+n) =1+1+ + 4,令g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|=,所以x=- 时,g(x)max= +a,要使不等式恒成立,只 需g(x
6、)max= +a4 即0a .,2.(2018沈阳一模)已知关于x的不等式 |ax-2|+|ax-a|2(a0). (1)当a=1时,求此不等式的解集. (2)若此不等式的解集为R,求实数a的取值范围.,【解析】(1)当a=1时,不等式为|x-2|+|x-1|2, 由绝对值的几何意义知,不等式的意义可解释为数轴上 的点x到点1,2的距离之和大于等于2. 所以x 或x .,所以不等式的解集为 注:也可用零点分段法求解.,(2)因为|ax-2|+|ax-a|a-2|, 所以原不等式的解集为R等价于|a-2|2, 所以a4或a0.又a0,所以a4. 所以实数a的取值范围是4,+).,热点题型2 不等
7、式的证明 【感悟经典】 【典例】1.(2017江苏高考)已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd8. 2.已知x, yR.,(1)若x, y满足|x-3y| , |x+2y| , 求证: |x| . (2)求证: x4+16y42x3y+8xy3.,【联想解题】1.看到a2+b2,c2+d2与ac+bd,想到利用柯 西不等式. 2.(1)看到绝对值不等式,想到利用|a+b|a|+|b|. (2)看到高次多项式的证明,想到利用作差比较法.,【规范解答】1.由柯西不等式可得: (ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2), 因为a2+b2=4,c2+d2=16,
8、 所以(ac+bd)264, 因此ac+bd8.,2.(1)因为|5x|=|2(x-3y)+3(x+2y)|2(x3y)| +|3(x+2y)|2 +3 = , 所以|x| ,(2)x4+16y4-(2x3y+8xy3) =x3(x-2y)-8y3(x-2y) =(x-2y)(x3-8y3) =(x-2y)2(x2+2xy+4y2) =(x-2y)2(x2+2xy+y2)+3y20, 即得x4+16y42x3y+8xy3.,【规律方法】 绝对值不等式的证明 含绝对值不等式的证明题主要分两类:一类是比较简单 的不等式,往往可通过公式法、平方法、换元法等去掉 绝对值转化为常见的不等式证明题,或利用
9、绝对值三角,不等式性质定理:|a|-|b|ab|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明;另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.,【对点训练】 1.已知函数f(x)=|x+1|. (1)求不等式f(x)f(a)-f(-b).,【解析】方法一:(1)当x-1时,原不等式可化为 -x-1-2x-2,解得x-1, 此时原不等式的解是x-1;,当-1x- 时,原不等式可化为x+1-2x-2,解得 x-1, 此时原不等式无解;,当x- 时,原不等式可化为x+11, 此时原不等式的解是x1; 综上,M=x|x1.
10、,(2)因为f(ab)=|ab+1|=|(ab+b)+(1-b)| |ab+b|-|1-b| =|b|a+1|-|1-b|. 因为a,bM,所以|b|1,|a+1|0,所以f(ab)|a+1|-|1-b|, 即f(ab)f(a)-f(-b). 方法二:(1)同方法一. (2)因为f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1| |a+1-(-b+1)|=|a+b|,所以,要证f(ab)f(a)-f(-b), 只需证|ab+1|a+b|, 即证|ab+1|2|a+b|2, 即证a2b2+2ab+1a2+2ab+b2,即证a2b2-a2-b2+10,即证(a2-1)(b2-1)0. 因为a,bM,所以a21,b21,所以(a2-1)(b2-1)0成立, 所以原不等式成立.,2.设函数f(x)=|x-a|+|2x+4|-3(a-2). (1)试比较f(a)与f(-2)的大小. (2)若函数f(x)的图象与x轴能围成一个三角形,求实数a的取值范围.,【解析】(1)因为f(a)-f(-2)=2|a+2|-|a+2|=|a+2|0, 而a-2 所以f(a)f(-2). (2)当a-2时,f(x)=,因为f(a)f(-2),所以围成三角形 , 所以- a1.,当a-2时,f(x)=,同理得 -5a- , 综上所述a .,
