1、1专题综合检测练（四）(120 分钟 150 分)第卷(选择题,共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在区域 内任取一点 P ,满足 y 的概率为 ( )02,01 (,)A. B. C. D.12 23 4 4-4【解析】选 C.如图,曲线 y= 的轨迹是以(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆,由几何概型得 P= = .42.已知 P 是ABC 所在平面内的一点,且 + +4 =0,现向ABC 内随机投掷一针,则该针扎在PBC 内的概率为 ( )A. B. C. D.14 13 12 23【解析】选 D.设边
2、BC 的中点为 D,因为 + +4 =0,所以 2 +4 =0,所以 =-2,所以 SPBC = SABC ,所以向 ABC 内随机投掷一针,该针扎在PBC 内的概率为 .23 233.某景区在开放时间内,每个整点时会有一 趟观光车从景区入口发车,某人上午到达景区入口,准备乘坐观光车,则他等待时间不多于 10 分钟的概率为 ( )A. B. C. D.16 15 56【解析】选 B.因为每个整点发车,所以他等待时间不多于 10 分钟的概率为 = .1060164.甲乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种,则他们选择相同颜色运动服的概率为 ( )2A. B. C.
3、 D.13 12 23 34【解析】选 A.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种有 9 种不同的结果,分别为(红,红),(红,白),(红,蓝),(白,红),(白,白),(白,蓝),(蓝,红),(蓝,白),(蓝,蓝).他们选择相同颜色运动服有 3 种不同的结果,即(红,红),(白,白),(蓝,蓝),故他们选择相同颜色运动服的概率为 = .39135.三国时期吴国的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中,四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形,若直角三角形中较小的锐角
4、 = ,现在向该正方6形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内的概率是 ( )A.1- B. C. D.【解析】选 A.因为小正方形的边长为2 = -1,小正方形的面积为( -1)2=4-2 ,( 6- 6) 3 3 3所以向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内的概率是 =4-234=1- .6.已知正方形 ABCD 如图所示,其中 AC,BD 相交于 O 点,E,F,G,H,I,J 分别为AD,AO,DO,BC,BO,CO 的中点,阴影部分中的两个圆分别为ABO 与CDO 的内切圆,若往正方形 ABCD 中随机投掷一点,则该点落在图中阴影区域内的概率为 ( )3A. B
5、.C. D.【解析】选 C.依题意,不妨设 AO=2,则四边形 EFOG 与四边形 HIOJ 的面积之和为 S=2;两个内切圆的面积之和为 S=2(2- )2=(12-8 ), 故所求概率2P= = .2+(12-82)87.(2018山东师范大学附中一模)在区间 上随机取一个数 x,则sin x+cos x1, 的概率是 ( )2A. B.23 34C. D.12 13【解析】选 B.因为 y=sin x+cos x= sin 1, ,2 (+4) 2又因为 x ,所以 x ,所以所求的概率为 P= = .348.某公司某件产品的定价 x 与销量 y 之间的统计数据如表,根据数据,用最小二乘
6、法得出 y与 x 的线性回归直线方程为 =6x+6,则表格中 n 的值为 ( )x 1 3 4 5 7y 10 20 n 35 45A.25 B.30 C.40 D.454【解析】选 C.因为 =4, = ,110+5所以 =64+6,解得 n=40.9.(2018长沙一模)某地区想要了解居民生活状况,先把居民按所在行业分为几类,然后每个行业抽取 的居民家庭进行调查,这种抽样方法是 ( )A.简单随机抽样 B.系统抽样C.分类抽样 D.分层抽样 【解析】选 D.由于居民按所在行业可分为不同的几类,符合分层抽样的特点.10.(2018 郑州一模)某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出 7 名学生参
7、加 2018 年全国高中数学联赛,他们取得的成绩(满分 140 分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的中位数是 81,乙班学生成绩的平均数是 86,若正实数 a,b 满足 a,G,b 成等差数列且 x,G,y 成等比数列,则 + 的最小值为 ( )14A. B.2 C. D.949 94【解析】选 C.因为甲班学生成绩的中位数是 81,所以 x=1,因为乙班学生成绩的平均数是 86,所以 =86,76+80+82+80+96+93+917所以 y=4,因为 x,G,y 成等比数列, 所以 G2=xy=4,因为正实数 a,b 满足 a,G,b 成等差数列,所以 a+b=4,所以 + = =14
8、5 (5+2 )= ,14 494当且仅当 = ,即 b= ,a= 时取等号. 83 4311.(2018兰州五校联考) 下列两变量中不存在相关关系的是 ( )人的身高与视力;曲线上的点与该点的坐标之间的关系;某农田的水稻产量与施肥量;某同学考试成绩与复习时间的投入量;匀速行驶的汽车的行驶的距离与时间;家庭收入水平与纳税水平;商品的销售额与广告费.A. B.C. D.【解析】选 A.人的身高与视力无任何关系,故不存在相关关系;曲线上的点与该点的坐标之间,存在一一对应的关系,故不存在相关关系;某农田的水稻产量与施肥量,两变量有关系,但不确定,故存在相关关系;某同学考试成绩与复习时间的投入量,两变
9、量有关系,但不确定,故存在相关关系;匀速行驶的汽车的行驶的距离与时间,它们之间的关系是函数关系,故不存在相关关系; 家庭收入水平与纳税水平,存在相关关系;商品的销售额与广告费,两变量有关系,但不确定,故存在相关关系.12.在 1, 2, 3, 6 这组数据中随机取出三个数 ,则数字 2 是这三个不同数字的平均数的概率是 ( )A. B. C. D. 14 13 12 34【解析】选 A.在 1, 2, 3, 6 这组数据中随机取出三个数,基本事件总数(1, 2, 3) , (1, 2, 6), (1, 3, 6),(2, 3, 6)共 4 个,则数字 2 是这三个不同数字的平均数所包含的基本事
10、件只有(1, 2, 3) 1 个.因此,数字 2 是这三个不同数字的平均数的概率是 P= .14第卷(非选择题,共 90 分)6二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上)13.对具有线性相关关系的变量 x,y 有一组观测数据(x i,yi)(i=1,2,8),其回归直线方程是 = x+ 且 x1+x2+x8=3,y1+y2+y8=5,则实数 =_. 13【解析】因为 x1+x2+x8=3,所以 = ,38因为 y1+y2+y8=5,所以 = ,58因为回归直线经过样本点的中心( , ),所以 = + ,解得 = .581338 12答案:1214.
11、(2018湖北省八校联考)通常,满分为 100 分的试卷,60 分为及格线.若某次满分为 100分的测试卷,100 人参加测试,将这 100 人的卷面分数按照24,36), 36,48), 84,96)分组后绘制的频率分布直方图如图所示.由于及格人数较少,某位老师准备将每位学生的卷面得分采用“开 方乘以 10 取整”的方法进行换算以提高及格率(实数 a 的取整等于不超过a 的最大整数),如:某位学生卷面 49 分,则换算成 70 分作为他的最终考试成绩,则按照这种方式,这次测试的及格率将变为_. 【解析】因为采用“开方乘以 10 取整”的方法进行换算,原来的 36 分不及格变为 60 分及格,
12、因为原来分数低于 36 分的频率为 0.01512=0.180,所以换算后及格率将变为 1-0.180=0.820.答案:0.82015.(2018衡水中学一模)某次考试有 64 名考生,随机编号为 0,1,2,63,依编号顺序平均分成 8 组,组号依次为 1,2,3,8.现用系统抽样方法抽取一个容量为 8 的样本,若在第7一组中随机抽取的号码为 5,则在第 6 组中抽取的号码为_. 【解析】因为在第一组中随机抽取的号码为 5,所以由系统抽样方法的规则得在第 6 组中抽取的号码为 5+(6-1)8=45.答案:4516.为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化繁殖情况,得如下实验数据,计算得回
13、归方程为 =0.85x-0.25.由以上信息,得到下表中 c 的值为_. 天数 t(天) 3 4 5 6 7繁殖个数 y(千个) 2.5 3 4 4.5 c【解析】因为 = (3+4+5+6+7)=5, = (2.5+3+4+4.5+c)= ,15 15 14+5所以这组数据的样本中心点是 ,把样本中心点代入回归方程 =0.85x-0.25,所以 =0.855-0.25,14+5所以 c=6.答案:6三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(12 分)为了解甲、乙两种产品的质量,从中分别随机抽取了 10 件样品,测量产品中某种元素的含量(单位
14、:毫克),如图所示是测量数据的茎叶图.规定:当产品中的此种元素的含量不小于 18 毫克时,该产品为优等品.(1)试用样品数据估计甲、乙两种产品的优等品率.(2)若从甲、乙两种产品的优等品中各随机抽取 1 件,抽到的 2 件优等品中,“甲产品的含量28 毫克优等品必须在内,且乙产品的含量 28 毫克优等品不包含在内”为事件 A,求事件 A 的概率.8【解析】(1)从甲产品抽取的 10 件样品中优等品有 4 件,优等品率为 = ,从乙产品抽取25的 10 件样品中优等品有 5 件,优等品率为 = ,故甲、乙两种产品的优等品率分别为 ,12 25.12(2)记甲种产品的 4 件优等品分别记为 A1,
15、A2,A3,A4,且甲产品的含量 28 毫克优等品设为 A1;乙种产品的 5 件优等品分别记为 B1,B2,B3,B4,B5,且乙产品的的含量 28 毫克优等品设为 B1;若从中各随机抽取 1 件,构成的所有基本事件为:A 1B1,A1B2,A1B3, A1B4,A1B5,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,A2B5,A3B1,A3B2,A3B3,A3B4,A3B5,A4B1,A4B2,A4B3,A4B4,A4B5,共有20 种;事件 A 所含基本事件为:A 1B2,A1B3,A1B4,A1B5,共有 4 种.所求概率为 P(A)= = .1518.(12 分)某校从高一年级参加期末考试的
16、学生中抽出 50 名学生,并统计了他们的数学成绩(满分为 100 分),将数学成绩进行分组,并根据各组人数制成如下频率分布表:分组 频数 频率40,50) a 0.0450,60) 3 b60,70) 14 0.2870,80) 15 0.3080,90) c d90,100 4 0.08合计 50 1(1)写出 a,b,c,d 的值,并估计本次考试全年级学生的数学平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)现从成绩在90,100内的学生中任选出两名同学,从成绩在40,50)内的学生中任选一名同学,共三名同学参加学习习惯问卷调查活动.若 A1同学的数学成绩为 43 分,B 1同学的
17、数学成绩为 95 分,求 A1,B1两同学恰好都被选出的概率.9【解析】(1)a=2,b=0.06,c=12,d=0.24.估计本次考试全年级学生的数学平均分为450.04+550.06+650.28+750.3+850.24+950.08=73.8.(2)设数学成绩在90,100内的四名同学分别为 B1,B2,B3,B4,成绩在40,50)内的两名同学分别为 A1,A2,则选出的三名同学可以为:A1B1B2、A 1B1B3、A 1B1B4、A 1B2B3、A 1B2B4、A 1B3B4、A 2B1B2、A 2B1B3、A 2B1B4、A 2B2B3、A 2B2B4、A 2B3B4,共有 12
18、 种情况.A1,B1两名同学恰好都被选出的有 A1B1B2、A 1B1B3、A 1B1B4,共有 3 种情况,所以 A1,B1两名同学恰好都被选出的概率为 P= = .1419.(12 分)某厂家为了了解一款产品的质量,随机抽取 200 名男性使用者和 100 名女性使用者,对该款产品进行评分,绘制出如下频率分布直方图.(1)利用组中值(数据分组后,一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数),估计 100 名女性使用者评分的平均值.(2)根据评分的不同,运用分层抽样从这 200 名男性中抽取 20 名,在这 20 名中,从评分不低于 80 分的人中任意抽取 3 名,求这 3 名男性中
19、恰有一名评分在区间 90,100的概率.【解析】(1)平均分为550.0110+650.0210+750.0410+850.02510+950.00510=74.5.(2)运用分层抽样从这 200 名男性用户中抽取 20 名,评分不低于 80 分的有 6 人,其中评分小10于 90 分的人数为 4 人,记为 A,B,C,D,评分在区间90,100的人数为 2 人,记为 M,N,共有 20个基本事件,3 人中恰有一名评分在区间90,100包含 如下 12 个基本事件:(M,A,B)、(M,A,C)、(M,A,D)、(M,B,C)、(M,B,D)、(M,C,D)、(N,A,B)、(N,A ,C)、
20、(N,A,D)、(N,B,C)、(N,B,D)、(N,C,D),这 3 名男性中恰有一名评分在区间90,100的概率为= .12203520.(12 分 )海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目,因其外形仿照古代海盗船而得名,现有甲、乙两游乐场统计了一天 6 个时间点参与海盗船游玩的游客数量,具体数据如下:时间点 8 点 10 点 12 点 14 点 16 点 18 点甲游乐场 10 3 12 6 12 20乙游乐场 13 4 3 2 6 19(1)从所给 6 个时间点中任选一个,求参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少的概率.(2)记甲、乙两游乐场 6 个时间点参与海盗船游玩的游客数量
21、分别为 xi,yi (i=1,2,3,4,5,6),现从该 6 个时间点中任取 2 个,求恰有 1 个时间满足 xiyi的概率.【解析】(1)事件“参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少”的情况有 8 点、10点两个时间点,一共有 6 个时间点,所以所求概率为 P= = .2613(2)依题意,x iyi有 4 个时间点,记为 A,B,C,D;xi6,故满足认购条件.再分析该窑炉烧制的单件平均利润值:由直方图可知,该新型窑炉烧制的产品 T 为一、二、三等品的概率估计值分别为0.36,0.54,0.1.故 2 000 件产品中,一、二、三等品的件数估计值分别为 720 件,1 080 件,
22、200 件.一等品的销售总利润为 720 (20-10)89=6 400 元;二等品的销售总利润为 1 080 (16-10)-1 080 (10-8)=3 600 元;23 13三等品的销售总利润为 200 (12-10)-200 (10-6)=-320 元.25 35故 2 000 件产品的单件平均利润值的估计值为(6 400+3 600-320)2 000=4.84(元),满足认购条件,综上所述,该新型窑炉达到认购条件.方法二:再分析该窑炉烧制的单件平均利润值:由直方图可知,该新型窑炉烧制的产品 T 为一、二、三等品的概率估计值分别为0.36,0.54,0.1.故 2 000 件产品的单
23、件平均利润值的估计值为0.36 (20-10)+0.54 +0.189 23(16-10)-13(10-8)=4.84(元),16满足认购条件.综上所述,该新型窑炉达到认购条件.3.我国 PM2.5 标准采用世界卫生组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下,空气质量为一级;在 35 微克/立方米75 微克/立方米之间,空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上,空气质量为超标.某城市环保局从该市市区 2017 年上半年每天的 PM2.5 监测数据中随机抽取 18 天的数据作为样本,将监测值绘制成茎叶图如图所示(十位为茎,个位为叶).(1)求这 18 个数据中不超标数
24、据的方差.(2)在空气质量为一级的数据中,随机抽取 2 个数据,求其中恰有一个为 PM2.5 日均值小于30 微克/立方米的数据的概率.(3)以这 18 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 360 天计算)中约有多少天的空气质量超标.【解析】(1)平均值 =40,方差 s2=133.(2)由题目条件可知,空气质量为一级的数据共有 4 个,分别为 26,27,33,34.则由一切可能的结果组成的基本事件为(26,27),(26,33),(26,34),(27,33), (27,34),(33,34),共 6 个,设“其中恰有一个为 PM2.5 日均值小于 30 微克/立方米的数据”为事件 A,则 A 包含的基本事件有(26,33),(26,34),(27,33),(27,34),共有 4 个,所以 P(A)= = .4623(3)由题意知,一年中空气质量超标的概率 P= = , 360=160,所以一年(按4949360 天计算)中约有 160 天的空气质量超标.
