1、1标准仿真模拟练（一）(120分钟 150 分)第卷一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.已知集合 A=(x,y)|x,yR,且 x2+y2=1,B=(x,y)|x,yR,且 y=x,则 AB 的元素个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选 C.集合 A表示的是圆心在原点的单位圆,集合 B表示的是直线 y=x,据此画出图象,可得图象有两个交点,即 AB 的元素个数为 2.2.设 z=1+i(i是虚数单位),则 - = ( )A.i B.2-i C.1-i D.0【解析】选 D.因为 - = -1+i= -1+i=1-i-1
2、+i=0.21+ 2(1-)(1+)(1-)3.“直线 y=x+b与圆 x2+y2=1相交”是“02 019成立的 i的最小正整数值,则输出框中应填 ( )3A.输出 i-2 B.输出 i-1C.输出 i D.输出 i+1【解析】选 A.假设使不等式成立的 i的最小正整数为 k.则当 i=k-2时,S2 019不成立,继续循环;S=2468(k-2),i=i+2=k;S2 019不成立,继续循环;S=2468k,i=i+2=k+2,S2 019成立,跳出循环,此时 i值为 k+2,故应输出 i-2.8.已知 f(x)=2sin ,若将它的图象向右平移 个单位 ,得到函数 g(x)的图象,则函数
3、 g(x)图象的一条对称轴的方程为 ( )A.x= B.x= C.x= D.x=【解析】选 C.f(x)=2sin ,若将它的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)=2sin =2sin 的图象,2(-6)+6令 2x- =k+ ,kZ,得 x= + ,kZ,故函数图象的一条对称轴的方程为 x= .29.已知 ,| |= ,| |=t,若 P点是ABC 所在平面内一点,且 = +1,当 t变化时, 的最大值等于 ( )A.-2 B.0 C.2 D.4【解析】选 B.以 A为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,4因为 ,| |= ,| |=t,所以 B ,1C(0,t),因为 P点是ABC
4、 所在平面内一点,且 = + ,所以 =(1,0)+(0,1)=(1,1),即 P(1,1),所以 = , =(-1,t-1),(1-1,-1)所以 =- +1-t+1=2- ,1因为 +t2 =2,1 1所以 的最大值等于 0,当且仅当 t= ,即 t=1时,取等号 .110.已知函数 f(x)满足 f(x)+1= ,当 x0,1时,f(x)=x.若 g(x)= f(x)-mx-2m在区间(-1,1上有两个零点,则实数 m的取值范围是 ( )A.00,即直线 y=mx+2m的斜率大于 0,而此时应使直线 y=mx+2m上的点(1,3m)位于点(1,1)或其下方,则可得3m1,即 m .综上所
5、述,01),若对任意的 x10,4,总13 +12 13存在 x20,4,使得 f(x1)=g(x2),则实数 a的取值范围为 ( )6A. B.9,+)C. 9,+) D. 9,+)32,94【解析】选 C.函数 f(x)=x3-6x2+9x,导数为 f(x)=3x 2-12x+9=3(x-1)(x-3),可得 f(x)的极值点为 1,3,由 f(0)=0,f(1)=4,f(3)=0,f(4)=4,可得 f(x)在0,4的值域为0,4;g(x)= x3- x2+ax- (a1),13 +12 13导数为 g(x)=x 2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a),当 1a时,g(x)0,g(x
6、)递增.由 g(0)=- ,g(1)= (a-1),13 12g(a)=- a3+ a2- ,g(4)=13-4a,16 12 13当 3a4 时,13-4a (a-1),12g(x)在0,4的值域为 ,-13,12(-1)由对任意的 x10,4,总存在 x20,4,使得 f(x1)=g(x2),可得0,4 ,-13,12(-1)即有 4 (a-1),解得 a9 不成立 ;12当 1 (a-1),127g(x)在0,4的值域为 ,-13,13-4由题意可得0,4 ,-13,13-4即有 413-4a,解得 a ,即为 14时,可得 g(1)取得最大值,g(4)|PF2|,则 的值为_. |1|
7、2|【解析】若PF 2F1=90,则|PF 1|2=|PF2|2+ ,因为|PF 1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 ,5解得 |PF1|= ,|PF2|= ,所以 = .若F 2PF1=90,则43 |1|2|72|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2,解得|PF 1|=4,|PF2|=2,所以 =2.|1|2|综上所述, =2或 .|1|2| 72答案:2 或72三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 12分)数列a n中,a 1=8,a4=2,且满足 an+2-2an+1+an=0.(1)求数列的通项公式.(2)
8、设 Sn=|a1|+|a2|+|an|,求 Sn.【解析】(1)因为 an+2-2an+1+an=0,所以 an+2-an+1=an+1-an,所以a n是以 a1为首项的等差数列,则an=a1+(n-1)d,a4=a1+3d,所以 d= =-2,所以 an=10-2n.2-83(2)令 Tn=a1+a2+an,因为 an=10-2n,令 an=0,得 n=5.当 n5时,a n0.所以当 n5时,S n=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+a5-(a6+a7+an)= T5-(Tn-T5)=2T5-Tn=n2-9n+40,当 n5 时,S n=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+
9、an=Tn=9n-n2.10所以 Sn=18.(本小题满分 12分)全世界人们越来越关注环境保护问题,某监测站点于 2016年 8月某日起连续 n天监测空气质量指数(AQI),数据统计如下:空气质量指数(g/m 3)区间0,50)50,100)100,150)150,200)200,250)空气质量等级 空气优 空气良轻度污染中度污染重度污染天数 20 40 m 10 5(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 n,m的值,并完成频率分布直方图.(2)由频率分布直方图求该组数据的平均数 与中位数.(3)在空气质量指数分别属于50,100)和150,200)的监测数据中,用分层抽样的方法
10、抽取 5天,再从中任意选取 2天,求事件 A“两天空气都为良”发生的概率.【解析】(1)因为 0.00450= ,所以 n=100因为 20+40+m+10+5=100,所以 m=25.=0.008, =0.005, =0.002, =0.001.510050(2)由组中点值代替组中值计算平均数0.225+0.475+0.25125+0.1175+0.05225=95,由 50+ 50=87.5知中位数为3487.5.11所以平均数为 95,中位数为 87.5.(3)在空气质量指数为50,100)和150,200)的监测天数中应分别抽取 4天和 1天,在所抽取的 5天中,将空气质量指数为50,
11、100)的 4天分别记为 a,b,c,d;将空气质量指数为150,200)的 1天分别记为 e;从中任取 2天的基本事件分别为:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)共 10种.其中事件 A“两天空气都为良”包含的基本事件为:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)共 6种.所以事件 A“两天空气都为良”发生的概率是 P(A)= = .3519.(本小题满分 12分) 如图 1,在边长为 4的菱形 ABCD中,DAB=60,点 E,F分别是边CD,CB的中点,ACEF=O.沿 EF将C
12、EF 翻折到PEF,连接 PA,PB,PD,得到如图 2的五棱锥P-ABFED,且 PB= .(1)求证:BD平面 POA.(2)求四棱锥 P-BFED的体积.【解析】(1)因为点 E,F分别是边 CD,CB的 中点,所以 BDEF.因为 ABCD是菱形,所以 BDAC,所以 EFAC,所以翻折后 EFAO,EFPO,因为 AO平面 POA,PO平面 POA,AOPO=O,所以 EF平面 POA,所以 BD平面 POA.(2)设 AOBD=H,连接 BO,因为 ABCD是菱形,所以 AB=AD,因为DAB=60,12所以ABD 为等边三角形,所以 BD=4,BH=2,HA=2 ,HO=PO=
13、,3 3在 RtBHO 中,BO= = ,2+2 7在PBO 中,BO 2+PO2=10=PB2,所以 POBO,因为 POEF,EFBO=O,EF平面 BFED,BO平面 BFED,所以 PO平面 BFED,又梯形 BFED的面积为 S= (EF+BD)HO=3 ,12 3所以四棱锥 P-BFED的体积 V= SPO= 3 =3.13 13 3 320.(本小题满分 12分)已知椭圆 C的对称中心为原点 O,焦点在 x轴上,左,右焦点分别为F1,F2,上顶点和右顶点分别为 B,A,线段 AB的中点为 D,且 kODkAB=- ,AOB 的面积为 212.2(1)求椭圆 C的方程.(2)过 F
14、1的直线 l与椭圆 C相交于 M,N两点,若MF 2N的面积为 ,求以 F2为圆心且与直线 l相切的圆的方程.【解析】(1)设椭圆方程为 + =1(ab0).由已知得 A(a,0),B(0,b),D ,所以2222 (2,2)kODkAB= =- ,即 a2=2b2,22 -12又 SAOB = ab=2 ,所以 ab=4 ,12 2 2由解得 a2=8,b2=4,所以椭圆方程为 + =1.13(2)当直线 lx 轴时,易得 M(-2, ),N(-2,- ),MF 2N的面积为 4 ,不合题意.2 2 2当直线 l与 x轴不垂直时,设直线 l的方程为 y=k(x+2),代入椭圆方程得(1+2k
15、 2)x2+8k2x+8k2-8=0.显然有 0,设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= ,82-81+22所以|MN|= 1+2(1+2)2-412= ,化简得|MN|= .42(1+2)1+22设圆的半径为 r,则 r= ,所以 = |MN|r= 4|1+2 212 1242(1+2)1+22= = ,4|1+282|1+21+22化简得 k4+k2-2=0,解得 k=1,所以 r=2 ,所以所求圆的方程为(x -2)2+y2=8.221.(本小题满分 12分)设函数 f(x)=aln x+ x2-bx(a1),曲线 y=f(x)在点(1,f(1 )处1-2
16、的切线斜率为 0.(1)求 b.(2)若存在 x01,使得 f(x0)1,故当 x 时,f(x)0,f(x)在 上单调递减,f(x)在 上单调递增.所以,存在1-,+ )x01,使得 f(x0) ,所以不符合题意.1- 22(1-) -1 -1若 a1,则 f(1)= -1= .1-2 -1综上,a 的取值范围为:(- -1, -1)(1,+).2 2请考生在第 22、23 二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分 10分)选修 4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中,以 O为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C的极坐标方程为cos =1,M,N
17、分别为曲线 C与 x轴,y 轴的交点.(1)写出曲线 C的直角坐标方程,并求点 M,N的极坐标.(2)设 MN的中点为 P,求直线 OP的极坐标方程.15【解析】(1)因为 cos =1,所以 cos cos +sin sin =1.又所以 x+ y=1,=,=, 12即曲线 C的直角坐标方程为 x+ y-2=0.令 y=0,则 x=2,令 x=0,则 y= ,3233所以 M(2,0),N ,所以 M的极坐标为(2,0),N 的极坐标为 .(233,2)(2)MN连线的中点 P的直角坐标为 ,直线 OP的极角为 = ,所以直线 OP 的极坐(1,33)标方程为 = (R).23.(本小题满分 10分)选修 4-5:不等式选讲已知 f(x)=|x-a|+|x-1|.(1)当 a=2时,求不等式 f(x)4的解集.(2)若对任意的 x,f(x)2 恒成立,求 a的取值范围.【解析】(1)当 a=2时,不等式 f(x)4,即|x-2|+|x-1|4,可得 或 或2,-2+-14 12,2-+-14解得- x ,12 72所以不等式的解集为 .|-1272(2)因为 |x-a|+|x-1|a-1|,当且仅当(x-a)(x-1)0 时等号成立,由|a-1|2,得 a-1 或 a3,即 a的取值范围为(-,-13,+).
