1、第2讲 导数的简单应用与定积分,高考导航,热点突破,备选例题,阅卷评析,高考导航 演真题明备考,真题体验,1.(2018全国卷,理5)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( ) (A)y=-2x (B)y=-x (C)y=2x (D)y=x,D,解析:因为函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数, 所以f(-1)+f(1)=0, 所以-1+a-1-a+(1+a-1+a)=0,解得a=1, 所以f(x)=x3+x,所以f(x)=3x2+1, 所以f(0)=1, 所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x
2、.故选D.,2.(2014全国卷,理8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点 (0,0) 处的切线方程为y=2x,则a等于( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3,D,3.(2017全国卷,理11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为( ) (A)-1 (B)-2e-3 (C)5e-3 (D)1,A,解析:f(x)=x2+(a+2)x+a-1ex-1 则f(-2)=4-2(a+2)+a-1e-3=0得a=-1, 则f(x)=(x2-x-1)ex-1, f(x)=(x2+x-2)ex-1, 令f(x)=0,得x=-2或x=1, 当x1时,f(x)
3、0, 当-2x1时,f(x)0, 则f(x)极小值为f(1)=-1.故选A.,4.(2015全国卷,理12)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是( ),D,5.(2018全国卷,理13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 .,答案:y=2x,6.(2018全国卷,理14)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= .,解析:因为y=(ax+a+1)ex, 所以当x=0时,y=a+1, 所以a+1=-2,得a=-3.,答案:-3,7.(2018全国卷,理16)已知函数f(x)=2si
4、n x+sin 2x,则f(x)的最小值是 .,8.(2018全国卷,理21)已知函数f(x)= -x+aln x. (1)讨论f(x)的单调性;,(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明: a-2.,考情分析,1.考查角度 (1)考查导数的几何意义的应用,包括求曲线的切线方程、根据切线方程求参数值等; (2)考查导数在研究函数性质中的应用,包括利用导数研究函数性质判断函数图象、利用导数求函数的极值和最值、利用导数研究不等式与方程等. 2.题型及难易度 选择题、填空题、解答题均有,其中导数几何意义的应用为中等难度偏下,其他问题均属于较难的试题.,热点突破 剖典例促迁移,热点一,导数的几何
5、意义,【例1】 (1)(2018山东日照校际联考)已知f(x)=ex(e为自然对数的底数), g(x)=ln x+2,直线l是f(x)与g(x)的公切线,则直线l的方程为( ),答案:(1)C,(2)(2018河南南阳一中三模)经过原点(0,0)作函数f(x)=x3+3x2图象的切线,则切线方程为 ;,答案:(2)y=0或9x+4y=0,(3)(2018黑龙江省哈尔滨九中二模)设函数f(x)=(x-a)2+(ln x2-2a)2.其中x0,aR,存在x0使得f(x0) 成立,则实数a的值为 .,解析:(3)由题意,问题等价于f(x)min .,(1)求切线方程的关键是求切点的横坐标,使用切点的
6、横坐标表示切线方程,再根据其他已知求解;(2)两曲线的公切线的切点未必是同一个点,可以分别设出切点横坐标,使用其表达切线方程,得出的两方程表示同一条直线,由此得出方程解决公切线问题;(3)从曲线外一点P(m,n)引曲线的切线方程,可设切点坐标为(x0,f(x0),利用方程 =f(x0) 求得x0后得出切线方程; (4)一些距离类最值,可以转化为求一条直线上的点到一条曲线上的点的最小值,此时与已知直线平行的曲线的切线到已知直线的距离即为其最小值.,方法技巧,热点训练1:(1)(2018辽宁省辽南协作校一模)已知函数f(x)在R上满足f(x)= 2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在
7、点(1,f(1)处的切线方程是( ) (A)y=-2x+3 (B)y=x (C)y=3x-2 (D)y=2x-1,解析:(1)由f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,可得f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8-8x, 即f(2-x)=2f(x)-x2-4x+4代入f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8, 可得f(x)=4f(x)+8-8x-2x2-x2+8x-8,即f(x)=x2,故f(x)=2x, 因为f(1)=1,所以切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.故选D.,答案:(1)D,(2)(2018安徽皖南八校4月联考)若x,a,b,均为任意实数,且(a+2)2+(b-3
8、)2=1,则(x-a)2+(ln x-b)2的最小值为( ),答案:(2)D,(3)(2018天津部分区质量调查二)曲线y=aex+2的切线方程为2x-y+6=0,则实数a的值为 .,解析:(3)根据题意,设曲线y=aex+2与2x-y+6=0的切点的坐标为(m,aem+2),其导数y=aex+2,则切线的斜率k=aem+2,又由切线方程为2x-y+6=0,即y=2x+6, 则k=aem+2=2,则切线的方程为y-aem+2=aem+2(x-m), 又由aem+2=2,则切线方程为y-2=2(x-m),即y=2x-2m+2. 则有-2m+2=6,可解得m=-2,则切点的坐标为(-2,2),则有
9、2=ae(-2)+2, 所以a=2.,答案:(3)2,热点二,导数研究函数的单调性,考向1 确定函数的单调性 【例2】 (2018河南洛阳第三次统一考试)已知函数f(x)=(x-1)ex- x2,其中tR. (1)函数f(x)的图象能否与x轴相切?若能,求出实数t,若不能,请说明理由;,(2)讨论函数f(x)的单调性.,解:(2)由于f(x)=xex-tx=x(ex-t),当t0时,ex-t0,当x0时,f(x)0,f(x)单调递增,当x0时,由f(x)=0得x=0或x=ln t, 当00时,f(x)0,f(x)单调递增, 当ln t0,f(x)单调递增; 当t=1时,f(x)0,f(x)单调
10、递增; 当t1时,ln t0,当xln t时,f(x)0,f(x)单调递增, 当00,f(x)单调递增. 综上,当t0时,f(x)在(-,0)上是减函数,在(0,+)上是增函数; 当01时,f(x)在(-,0),(ln t,+)上是增函数; 在(0,ln t)上是减函数.,方法技巧 确定函数单调性就是确定函数导数为正值、为负值的区间,基本类型有如下几种:(1)导数的零点是确定的数值,只要根据导数的零点划分定义域区间,确定在各个区间上的符号即可得出其单调区间;(2)导数零点能够求出,但含有字母参数时,则需要根据参数的不同取值划分定义域区间,再确定导数在各个区间上的符号;(3)导数存在零点,但该零
11、点无法具体求出,此时一般是根据导数的性质、函数零点的存在定理确定导数零点的大致位置,再据此零点划分定义域区间,确定导数在各个区间上的符号.,考向2 根据单调性求参数范围 【例3】 (1)(2018吉林大学附中四模)已知a0,函数f(x)=(x2-2ax)ex,若f(x)在-1,1上是单调减函数,则a的取值范围是( ),(2)(2018云南昆明5月适应考)已知函数f(x)=(x2-2x)ex-aln x(aR)在区间(0,+)上单调递增,则a的最大值是( ) (A)-e (B)e (C)- (D)4e2,亦即aex(x3-2x)在区间(0,+)上恒成立,令h(x)=ex(x3-2x), 所以h(
12、x)=ex(x3-2x)+ex(3x2-2)=ex(x3-2x+3x2-2)=ex(x-1)(x2+4x+2), 因为x(0,+),所以x2+4x+20, 因为ex0.所以令h(x)0,可得x1. 所以函数h(x)在区间(1,+)上单调递增,在区间(0,1)上单调递减. 所以h(x)min=h(1)=e1(1-2)=-e.所以a-e,即a的最大值是-e,故选A.,方法技巧 函数f(x)在区间D上单调递增(减),等价于在区间D上f(x)0(0)恒成立;函数f(x)在区间D上不单调,等价于在区间D上f(x)存在变号零点.,考向3 函数单调性的简单应用 【例4】 (1)(2018东北三省三校二模)已
13、知定义域为R的函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)f(x)+1,则下列正确的是( ) (A)f(2 018)-ef(2 017)e-1 (B)f(2 018)-ef(2 017)e+1 (D)f(2 018)-ef(2 017)e+1,法二 构造特殊函数f(x)=ex-2,该函数满足f(x)f(x)+1,而f(2 018)-ef (2 017)=(e2 018-2)-e(e2 017-2)=2e-2, 结合2e-2e-1可知f(2 018)-ef(2 017)e-1,排除B选项, 结合2e-2f(x)+1, 而f(2 018)-ef(2 017)=(e2 018-100)-e(e2
14、017-100)=100e-100, 结合100e-100e+1可知f(2 018)-ef(2 017)e+1,排除D选项,故选A.,(3)(2018湖南永州市一模)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f (x),若对于任意实数x有f(x)+f(x)0,且f(0)=1,则不等式exf(x)1的解集为( ) (A)(-,0) (B)(0,+) (C)(-,e) (D)(e,+),解析:(3)令g(x)=exf(x),故g(x)=exf(x)+f(x), 由f(x)+f(x)0可得,g(x)0, 所以函数g(x)在R上单调递增,又f(0)=1,所以g(0)=1, 所以不等式exf(x)1的解
15、集为(0,+).故选B.,方法技巧 函数单调性的简单应用主要有两个方面:(1)根据函数的单调性,比较函数值的大小;(2)根据函数的单调性解函数不等式.解题的基本思路是根据已知条件和求解目标,构造函数,通过构造的函数的单调性得出结论.常见的构造函数类型为乘积型h(x)g(x)和商型 ,具体的如xf(x),exf(x), ,tan xf(x)等,视具体情况而定.,热点训练2:(1)(2018安徽江南十校二模)y=f(x)的导函数满足:当x2时, (x-2)(f(x)+2f(x)-xf(x)0,则( ),(2)(2018河北石家庄二模)定义在(0,+)上的函数f(x)满足xf(x)ln x+ f(x
16、)0(其中f(x)为f(x)的导函数),若a1b0,则下列各式成立的是( ) (A)af(a)bf(b)1 (B)af(a)1bf(b),(3)(2018黑龙江哈师大附中三模)若函数f(x)=2x+sin xcos x+acos x在 (-,+)上单调递增,则a的取值范围是( ) (A)-1,1 (B)-1,3 (C)-3,3 (D)-3,-1,(3)解析:因为f(x)=2x+sin xcos x+acos x, 所以f(x)=2+cos 2x-asin x=-2sin2x-asin x+3, 设sin x=t,-1t1.令g(t)=-2t2-at+3, 因为f(x)在(-,+)上单调递增,所
17、以g(t)0在-1,1上恒成立, 因为二次函数图象开口向下,热点三,导数研究函数的极值、最值,考向1 导数研究函数极值 【例5】 (1)(2018河南中原名校质检二)已知函数f(x)=2f(1)ln x-x,则f(x)的极大值为( ) (A)2 (B)2ln 2-2 (C)e (D)2-e,方法技巧 (1)可导函数的极值点是其导数的变号零点,在零点处“左负右正”的为极小值点、“左正右负”的为极大值点;(2)根据极值点的个数确定参数范围的问题可以转化为其导数零点个数的问题讨论.,方法技巧,(1)闭区间a,b上图象连续的函数其最值在极值和端点值的比较中找到;(2)在区间D上如果f(x)有唯一的极大
18、(小)值点,该点也是函数的最大(小)值点.,(3)(2018东北师大附中四模)已知函数f(x)= ax2-(x-1)ex,若对区间0,1内的任意实数x1,x2,x3,都有f(x1)+f(x2)f(x3),则实数a的取值范围是( ) (A)1,2 (B)e,4 (C)1,4 (D)1,2e,4,解析:(3)根据题意,题中条件可以转化为2f(x)minf(x)max, f(x)=ax-xex=x(a-ex),当ae时,f(x)0恒成立, 所以f(x)在区间0,1上是增函数,即2f(0)f(1), 即2 a,解得ea4.,热点四,定积分和微积分基本定理,【例7】 (1)(2018皖北名校大联考)由直
19、线y=0,x=e,y=2x及曲线y= 所围成的封闭图形的面积为( ) (A)3 (B)3+2ln 2 (C)2e2-3 (D)e,答案:(1)A,方法技巧,(1)定积分的计算方法:微积分基本定理法和几何意义法;(2)定积分的应用:求曲边梯形的面积以及在物理上的简单应用,特别注意曲线y=f(x),y=g(x)与直线x=a,x=b(ab)所围成的封闭图形的面积为 |f(x)-g(x)|dx.,备选例题 挖内涵寻思路,(2)(2018重庆綦江区5月调研)设函数f(x)=|ex-e2a|,若f(x)在区间(-1,3-a)内的图象上存在两点,在这两点处的切线相互垂直,则实数a的取值范围为( ),【例2】
20、 (1)(2018江西重点中学协作体二联)已知定义在e,+)上的函数f(x)满足f(x)+xln xf(x)0的解集为( ) (A)e,2 018) (B)2 018,+) (C)(e,+) (D)e,e+1),(2)(2018江西六校联考)已知定义在(0,+)上的函数f(x),恒为正数的f(x) 符合f(x)f(x)2f(x),则f(1)f(2)的取值范围为( ),(3)(2018陕西咸阳二模)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),且f(x)+f(x)1,设a=f(2)-1, b=ef(3)-1,则a, b的大小关系为( ) (A)ab (C)a=b (D)无法确定,解析:(3)令
21、g(x)=exf(x)-ex,则g(x)=ex(f(x)+f(x)-ex =ex(f(x)+f(x)-1)0. 即g(x)在R上为增函数. 所以g(3)g(2),即e3f(3)-e3e2f(2)-e2, 整理得ef(3)-1f(2)-1,即ab.故选A.,【例3】 (2018陕西西工大附中六模)若存在两个正实数x,y,使得等式3x+a (2y-4ex)(ln y-ln x)=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是( ),阅卷评析 抓关键练规范,【典例】 (2018全国卷,理21)(12分)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x. (1)若a=0,证明:当-10时,f(x)0;,(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.,评分细则: (2)解:若a0,由(1)知,当x0时,f(x)(2+x)ln(1+x)-2x0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾. 6分,【答题启示】 (1)导数解答题的基础是正确求出函数的导数,这是解题的起始,一定要细心处理,不要“输在起跑线上”. (2)含有证明参数的问题通常需要分类讨论,分类讨论的标准是解题的关键,如本题第二问中把问题化为研究x=0为函数h(x)极大值点时,分类的标准就是函数在x=0处如果存在极大值,则在x=0处的h(x)“左正右负”,然后结合h(x)的具体表达式得出分类讨论标准.,
