1、1专题八 选修 4系列1.(2018全国卷,理 22)在直角坐标系 xOy中,曲线 C1的方程为 y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 2+2cos -3=0.(1)求 C2的直角坐标方程;(2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点,求 C1的方程.解:(1)由 x=cos ,y=sin 得 C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知 C2是圆心为 A(-1,0),半径为 2的圆.由题设知,C 1是过点 B(0,2)且关于 y轴对称的两条射线.记 y轴右边的射线为 l1,y轴左边的射线为 l2.由于点 B在圆 C2的外面,
2、故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1与 C2只有一个公共点且l2与 C2有两个公共点,或 l2与 C2只有一个公共点且 l1与 C2有两个公共点.当 l1与 C2只有一个公共点时,点 A到 l1所在直线的距离为 2,所以 =2,故 k=- 或 k=0.43经检验,当 k=0时,l 1与 C2没有公共点;当 k=- 时,l 1与 C2只有一个公共点,43l2与 C2有两个公共点.当 l2与 C2只有一个公共点时,点 A到 l2所在直线的距离为 2,所以 =2,故 k=0或 k= .43经检验,当 k=0时,l 1与 C2没有公共点;当 k= 时,l 2与 C2没有公共点.43综上,所求
3、 C1的方程为 y=- |x|+2.432.(2018全国卷,理 23)已知 f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当 a=1时,求不等式 f(x)1的解集;(2)若 x(0,1)时不等式 f(x)x成立,求 a的取值范围.解:(1)当 a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即 f(x)=2,1,2,11的解集为 x x .12(2)当 x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x 成立等价于当 x(0,1)时|ax-1|0,则|ax-1|1,即 , 或 , .34综上, 的取值范围是 , .34(2)l的参数方程为 t为参数, 0,b0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b
4、5)4;(2)a+b2.3证明:(1)(a+b)(a 5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+ (a+b)=2+ ,所以(a+b) 38,因此 a+b2.1.考查角度(1)坐标系与参数方程主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程化为普通方程,两曲线相交问题.(2)不等式选讲主要考查含绝对值不等式的解法,含参不等式恒成立或有解问题以及不等式的证明.2.题型及难易度解答题,难度中低档.(对应学生用书第 6365页)坐标系与参数方程考
5、向 1 极坐标方程及其应用【例 1】 (2017全国卷)在直角坐标系 xOy中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C1的极坐标方程为 cos =4.(1)M为曲线 C1上的动点,点 P在线段 OM上,且满足|OM|OP|=16,求点 P的轨迹 C2的直角坐标方程;(2)设点 A的极坐标为 2, ,点 B在曲线 C2上,求OAB 面积的最大值.解:(1)设 P的极坐标为(,)(0),M 的极坐标为( 1,)( 10).由题设知|OP|=,|OM|= 1= .由|OM|OP|=16 得 C2的极坐标方程=4cos (0).因此 C2的直角坐标方程为(x-2) 2+y2=4(x
6、0).(2)设点 B的极坐标为( B,),( B0).由题设知|OA|=2, B=4cos ,于是OAB 面积S= |OA| Bsin AOB12=4cos sin -=2 sin 2- - 2+ .34当 =- 时,S 取得最大值 2+ .12 3所以OAB 面积的最大值为 2+ .3考向 2 参数方程及其应用【例 2】 (2017全国卷)在直角坐标系 xOy中,曲线 C的参数方程为 ( 为参=3,=数),直线 l的参数方程为 (t为参数).=+4,=1,(1)若 a=-1,求 C与 l的交点坐标;(2)若 C上的点到 l的距离的最大值为 ,求 a.解:(1)曲线 C的普通方程为 +y2=1
7、,当 a=-1时,直线 l的普通方程为 x+4y-3=0.由 解得 或+43=0,29+2=1, 从而 C与 l的交点坐标为(3,0), - , .21252425(2)直线 l的普通方程为 x+4y-a-4=0,故 C上的点(3cos ,sin )到 l的距离为d= .当 a-4 时,d 的最大值为 .+917由题设得 = ,所以 a=8;+917当 a0).在以 O为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l:cos - = .2(1)若 l与曲线 C没有公共点,求 t的取值范围;(2)若曲线 C上存在点到 l的距离的最大值为 + ,求 t的值.2解:(1)因为直线 l的极坐标方程为
8、 cos - = ,25即 cos +sin =2,所以直线 l的直角坐标方程为 x+y=2,又因为 ( 为参数,t0),所以曲线 C的直角坐标方程为 +y2=1.22由 得(1+t 2)y2-4y+4-t2=0,+=2,22+2=1,所以 =16-4(1+t 2)(4-t2)0,所以 t= .2 2(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式 x=cos 及 y=sin 直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如 cos ,sin , 2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以) 及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须保持同解,因此
9、应注意对变形过程的检验;(2)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.对于与角 有关的参数方程,经常用到的公式有 sin2+cos 2=1,1+tan 2= 等;12(3)在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的 x,y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性;(4)涉及圆、椭圆上的点到直线距离时,可考虑用参数方程,设曲线上点的坐标,利用点到直线距离公式求解;(5)对于极坐标方程或参数方程应用不够熟练的情况下,可以先化为普通方程,然后求解;(6)极坐标方程为 = 的直线与曲线相交于 M1,M2两点,坐标为( 1,),( 2
10、,),则有以下结论:|M 1M2|=| 1- 2|;若 M( 0,)是 M1M2的中点,则 0= .1+22(7)参数方程为 (t为参数)的直线 l必过定点 M(x0,y0),若直线 l与曲线相交于 M1,M2两点,M 1,M2所对应的参数分别为 t1,t2,则有以下结论:|M 1M2|=|t1-t2|;若6M(x0,y0)是弦 M1M2的中点,则 t1+t2=0;若弦 M1M2的中点 M,则点 M对应的参数 tm= .1+22热点训练 1:(2018石家庄市质检)在平面直角坐标系中,直线 l的参数方程是 (t为=,=2参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C的极
11、坐标方程为 2+2sin -3=0.(1)求直线 l的极坐标方程;(2)若直线 l与曲线 C相交于 A,B两点,求|AB|.解:(1)由 消去 t得 y=2x,=,=2把 代入 y=2x,得 sin =2cos ,所以直线 l的极坐标方程为 sin =2cos .(2)因为 2=x2+y2,y=sin ,所以曲线 C的直角坐标方程为 x2+y2+2y-3=0,即 x2+(y+1)2=4.圆 C的圆心 C(0,-1)到直线 l的距离 d= ,所以|AB|=2 = .热点训练 2:(2018南昌市模拟)在平面直角坐标系 xOy中,曲线 C的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为
12、极轴建立极坐标系.(1)求曲线 C的极坐标方程;(2)若直线 l1,l2的极坐标方程分别为 1= ( 1R), 2= ( 2R),设直线 l1,l2与曲线23C的交点分别为 O,M和 O,N,求OMN 的面积.解:(1)由参数方程得普通方程为 x2+(y-2)2=4,把 代入 x2+(y-2)2=4,得 2-4sin =0.所以曲线 C的极坐标方程为 =4sin .(2)由直线 l1: 1= ( 1R)与曲线 C的交点为 O,M,得|OM|=4sin =2.由直线 l2: 2= ( 2R)与曲线 C的交点为 O,N,237得|ON|=4sin =2 .23 3易知MON= ,所以 SOMN =
13、 |OM|ON|= 22 =2 .12 12 3 3不等式选讲考向 1 绝对值不等式的解法【例 4】 (2018合肥市质检)已知函数 f(x)=|2x-1|.(1)解关于 x的不等式 f(x)-f(x+1)1;(2)若关于 x的不等式 f(x)(|2x-1|+|2x+1|)min.由于|2x-1|+|2x+1|=|1-2x|+|2x+1|1-2x+2x+1|=2,当且仅当(1-2x)(2x+1)0,即 x - , 时等号成立,故 m2.1212所以 m的取值范围是(2,+).考向 2 不等式的证明【例 5】 (2018广州市普通高中综合测试)已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x-1|,不等
14、式 f(x)2 的解集为 M.(1)求 M;(2)证明:当 a,bM 时,|a+b|+|a-b|1.(1)解:f(x)2,即|2x+1|+|2x-1|2,当 x- 时,得-(2x+1)+(1-2x)2,12解得 x- ,故 x=- ,12 12当- 5,这与 x1,故此时不等式的解集为(1,3;当 x3时,不等式可化为 2(x-3)-(x+1)1 有解,求 a的取值范围.解:(1)当 a=1时,f(x)=|2x-1|-|x-1|=,12,32,121, 当 x 时,-x-1,12所以-11时,x1 有解|x-a|1,12所以不等式的解集为 x x .12(2)证明:由 f(x)=可得-2f(a
15、)2,因为 02.可得 f(x)0 的解集为x|-2x3.5 分(2)f(x)1 等价于|x+a|+|x-2|4.6 分而|x+a|+|x-2|a+2|,且当 x=2时等号成立.7 分故 f(x)1 等价于|a+2|4.8 分由|a+2|4 可得 a-6 或 a2,9 分所以 a的取值范围是(-,-62,+).10 分注:第(1)问得分说明:按 x与-1,2 的大小关系把 f(x)写成分段函数,得 3分.其中分点可与它的前、后段随意合并,但要做到不漏,每写对一段给 1分.求出不等式的解集,得 2分,结果缺少等号扣 1分.第(2)问得分说明:把所求不等式写成绝对值不等式,得 1分.利用绝对值不等
16、式的性质定理得出|x+a|+|x-2|a+2|,得 1分.把不等式恒成立问题转化为关于参数 a的不等式,得 1分.解关于参数 a的不等式,得 1分.用集合或区间写出结果,得 1分.14【答题启示】(1)求解形如|x-a|+|x-b|m(或m,或b 加以分类讨论),或利用“图象法”加以求解.本题常因分段错误而失分.(2)根据绝对值不等式|a|+|b|ab|,可得函数 f(x)=|x-a|+|x-b|(ab)的最小值为|a-b|;根据绝对值不等式|a|-|b|ab|,可得函数 f(x)=|x-a|-|x-b|(ab)的最小值为-|a-b|,最大值为|a-b|.本题常不能正确运用绝对值不等式的性质求|x+a|+|x-2|的最小值,或不能把不等式恒成立问题转化为参数的不等式而失分.(3)本题易忽略结果是集合或区间形式而失分.
