1、1专题二 数学思想方法(限时:45 分钟)一、选择题1.(2018武汉市武昌区调研)已知奇函数 f(x)在 R 上单调递增,若 f(1)=1,则满足-1f(x-h2)1 的 x 的取值范围是( D )(A)-2,2 (B)-1,1(C)0,4 (D)1,3解析:因为 f(x)为奇函数,且 f(1)=1,所以 f(-1)=-1,故 f(-1)=-1f(x-2)1=f(1),又函数 f(x)在 R 上单调递增,所以-1x-21,解得 1x3.故选 D.2.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x)在(0,+)上单调递增,则( C )(A)f(0)f(log32)f(-log23)(B)f
2、(log32)f(0)f(-log23)(C)f(-log23)f(log32)f(0)(D)f(-log23)f(0)f(log32)解析:因为 log23log22=1=log33log320,且函数 f(x)在(0,+)上单调递增,所以 f(log23)f(log32)f(0),又函数 f(x)为偶函数,所以 f(log23)=f(-log23),所以 f(-log23)f(log32)f(0).故选 C.3.(2018郑州市质检)已知函数 f(x)= (aR),若函数 f(x)在 R 上有两个零点,则实数 a 的取值范围是( A )(A)(0,1 (B)1,+)(C)(0,1) (D)
3、(-,1解析:画出函数 f(x)的大致图象如图所示.因为函数 f(x)在 R 上有两个零点,所以 f(x)在(-,0和(0,+)上各有一个零点.当 x0 时,f(x)有一个零点,需 00 时,f(x)有一个零点,需-a0.综上,00 时,若 f(a)=3,则 log2a+a=3,2解得 a=2(满足 a0);当 a0 时,若 f(a)=3,则 4a-2-1=3,解得 a=3,不满足 a0,所以舍去.于是,可得 a=2.故 f(a-2)=f(0)=4-2-1=- .故选 A.15165.如图所示的几何体是长方体 ABCD A1B1C1D1的一部分,其中 AB=AD=3 cm,DD1=BB1=2
4、cm,则该几何体的外接球的表面积为( B )(A)11 cm 2 (B)22 cm 2(C) cm2 (D)11 cm 211223 22解析:因为底面 ABCD 外接圆的半径为 r= BD= .12 322球心到底面 ABCD 的距离为 d= DD1=1,12所以外接球的半径为 R= = ,2+2112所以外接球的表面积为 S 球 =4R 2=22.故选 B.6.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆 + =1(ab0)的焦点与顶点 ,若双曲线的两条渐2222近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为( D )(A) (B) (C) (D)13 12解析:因为双曲线的顶点与焦点分别是
5、椭圆的焦点与顶点,所以双曲线与椭圆的离心率互为倒数,不妨设为 e1,e2,则 e1e2=1,因为双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,所以双曲线的渐近线方程为 y=x,离心率 e1= ,所以 e2= .故选 D.27.设函数 f(x)= 若 f(1)是 f(x)的最小值,则实数 a 的取值范围为( C )(A)-1,2) (B)-1,0(C)1,2 (D)1,+)解析:法一 当 a=0 时,函数 f(x)的最小值是 f(0),不符合,排除选项 A,B;当 a=3 时,函数f(x)无最小值,排除选项 D,故选 C.法二 因为 f(1)是 f(x)的最小值,所以 f(x)=2|x-
6、a|在(-,1上单调递减,3所以 即 所以1,2|1|2, 1,|1|1, 1,02,所以 1a2,故选 C.8.(2018安徽省知名示范高中联合质检)已知直线 y=k(x+2)(k0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A,B 两点,F 为 C 的焦点.若|FA|=2|FB|,则 k 等于( D )(A) (B) (C) (D)13 23 223解析:设抛物线 C:y2=8x 的准线为 l,易知 l:x=-2,直线 y=k(x+2)恒过定点 P(-2,0),如图,过 A,B 分别作 AMl 于点 M,BNl 于点 N.由|FA|=2|FB|,知|AM|=2|BN|,所以点 B 为线段 AP 的
7、中点,连接 OB,则|OB|= |AF|,12所以|OB|=|BF|,所以点 B 的横坐标为 1,因为 k0,所以点 B 的坐标为(1,2 ),2所以 k= = .223故选 D.9.(2018福州市质检)设函数 f(x)= 则满足 f(x2-2)f(x)的 x 的取值范围是( C )(A)(-,-1)(2,+)(B)(-,- )( ,+)2 2(C)(-,- )(2,+)2(D)(-,-1)( ,+)2解析:法一 当 x0 时,f(x)=e x-e-x随着 x 的增大而增大,故为增函数;当 x0 时,f(x)=0,为常数函数.所以由 f(x2-2)f(x),得 220,22,解得 x2.故选
8、 C.法二 当 x0 时,f(x)=e x-e-x随着 x 的增大而增大,故为增函数;当 x0 时,f(x)=0,为常数函数.f(x 2-2)f(x) 或 解得 x2 或 x0 都有 2f(x)+xf(x)0 成立,则( A )(A)4f(-2)9f(3)(C)2f(3)3f(-2) (D)3f(-3)0 都有 2f(x)+xf(x)0 成立,则当 x0 时,有 g(x)=x(2f(x)+xf(x)0 恒成立,即函数 g(x)在(0,+)上为增函数,又由函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,得 f(-x)=f(x),则有 g(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(x)=g(x),即函数 g(
9、x)也是偶函数,则有 g(-2)=g(2),且 g(2)0),C1与 C2相交于 A,B 两点,|AB|= ,则抛物线 C2的方程为 . 855解析:由题意,知圆 C1与抛物线 C2的其中一个交点为原点,不妨记为 B,设 A(m,n).因为|AB|=,所以855解得 即 A( , ).85将点 A 的坐标代入抛物线方程得( )2=2p ,85所以 p= ,所以抛物线 C2的方程为 y2= x.答案:y 2= x14.(2018郑州市质检)已知数列a n满足 log2an+1=1+log2an(nN *),且 a1+a2+a3+a10=1,则 log2(a101+a102+a110)= . 解析
10、:因为 log2an+1=1+log2an,可得 log2an+1=log22an,所以 an+1=2an,所以数列a n是以 a1为首项,2 为公比的等比数列,又 a1+a2+a10=1,所以 a101+a102+a110=(a1+a2+a10)2100=2100,所以 log2(a101+a102+a110)=log22100=100.答案:10015.(2017全国卷)设函数 f(x)= 则满足 f(x)+f(x- )1 的 x 的取值范围是 .+1,0,2,0, 12解析:当 x0 时,x+1+x- +11,12解得 x- ,146所以- 1 恒成立;12 12当 x 时,2 x+ 1 恒成立.12综上,满足条件的 x 的取值范围是(- ,+).14答案:(- ,+)14
