1、1计算题题型专练(三) 功和能、动量1如图所示是某次四驱车比赛的轨道中的某一段。张华控制的四驱车(可视为质点)，质量 m 1.0 kg，额定功率为 P7 W。张华的四驱车到达水平平台上 A 点时速度很小(可视为 0)，此时启动四驱车的发动机并直接使发动机的功率达到额定功率，一段时间后关闭发动机。当四驱车由平台边缘 B 点飞出后，恰能沿竖直光滑圆弧轨道 CDE 上 C 点的切线方向飞入圆弧轨道，且此时的速度大小为 5 m/s， COD 53，并从轨道边缘 E 点竖直向上飞出，离开 E 以后上升的最大高度为 h0.85 m。已知 A、 B 间的距离 L6 m，四驱车在AB 段运动时的阻力恒为 1
2、N。重力加速度 g 取 10 m/s2，不计空气阻力。sin 53 0.8，cos 530.6，求：(1)四驱车运动到 B 点时的速度大小：(2)发动机在水平平台上工作的时间；(3)四驱车对圆弧轨道的最大压力。答案 (1)3 m/s (2)1.5 s (3)55.5 N2如图所示，两个半径为 R 的四分之一圆弧构成的光滑细管道 ABC 竖直放置，且固定在光滑水平面上，圆心连线 O1O2水平。轻弹簧左端固定在竖直挡板上，右端与质量为 m 的小球接触(不拴接，小球的直径略小于管的内径)，长为 R 的薄板 DE 置于水平面上，板的左端 D 到管道右端 C 的水平距离为 R。开始时弹簧处于锁定状态，具
3、有的弹性势能为 3mgR，其中 g 为重力加速度。解除锁定，小球离开弹簧后进入管道，最后从 C 点抛出。2(1)求小球经 C 点时的动能；(2)求小球经 C 点时所受的弹力大小；(3)讨论弹簧锁定时弹性势能满足什么条件，从 C 点抛出的小球才能击中薄板 DE。解析 (1)解除弹簧锁定后小球运动到 C 点过程，弹簧和小球组成的系统机械能守恒3mgR2 mgR Ek解得 Ek mgR(2)小球过 C 点时的动能 Ek mv212设小球经过 C 点时管道对小球的作用力为 F，则mg Fmv2R解得 F mg，方向竖直向下(3)小球离开 C 点后做平抛运动竖直方向：2 R gt212水平方向： x1
4、v1t若要小球击中薄板，应满足 R x12 R弹簧的弹性势能 Ep2 mgR mv12 21解得弹性势能 Ep满足 mgR Ep mgR 时，小球才能击中薄板。178 52答案 (1) mgR (2) mg (3) mgR Ep mgR178 523如图甲所示，质量均为 m0.5 kg 的相同物块 P 和 Q(可视为质点)分别静止于水平地面上 A、 C 两点； P 在按图乙所示随时间变化的水平力 F 作用下由静止开始向右运动，3 s 后撤去力 F，此时 P 运动到 B 点，之后继续滑行并与 Q 发生弹性碰撞；已知 B、 C 两点间的距离 L3.75 m， P、 Q 与地面间的动摩擦因数均为 0
5、.2，取 g10 m/s 2。求：3(1)P 到达 B 点时的速度大小 v 及其与 Q 碰撞前瞬间的速度大小 v1。(2)Q 运动的时间 t。解析 (1)在 03 s 内，对 P 由动量定理有：F1t1 F2t2 mg (t1 t2) mv0，解得： v8 m/s设 P 在 B、 C 两点间滑行的加速度大小为 a，由牛顿第二定律有： mg maP 在 B、 C 两点间做匀减速直线运动，有： v2 v 2 aL21解得： v17 m/s。(2)设 P 与 Q 发生弹性碰撞后瞬间的速度大小分别为 v1、 v2有： mv1 mv1 mv2mv mv1 2 mv12 21 12 12 2碰撞后 Q 做
6、匀减速直线运动，有 tv2a解得： t3.5 s。答案 (1)8 m/s 7 m/s (2)3.5 s4如图所示，在高 h130 m 的光滑水平平台上，物块 P 以初速度 v0水平向右运动，与静止在水平平台上的物块 Q 发生碰撞， mQ2 mp，碰撞后物块 P 静止，物块 Q 以一定的水平速度向右滑离平台，并恰好沿光滑圆弧形轨道 BC 的 B 点的切线方向进入圆弧形轨道， B点的高度 h215 m，圆弧轨道的圆心 O 与平台等高，轨道最低点 C 的切线水平，并与地面上长为 L70 m 的水平粗糙轨道 CD 平滑连接，物块 Q 沿轨道 BCD 运动与右边墙壁发生碰撞。g 取 10 m/s2。求：
7、(1)物块 Q 由 A 到 B 的运动时间；4(2)物块 P 初速度 v0的大小；(3)若小物块 Q 与墙壁只发生一次碰撞，碰后速度等大反向，反向运动过程中没有冲出B 点，最后停在轨道 CD 上的某点 M(M 点没画出)。设小物块与轨道 CD 之间的动摩擦因数为 ，求 的取值范围。解析 (1)由于 h130 m， h215 m，设物块 Q 从 A 运动到 B 的时间为 t，则 h1 h2gt212t s3(2)由 R h1， Rcos h1 h2，所以 60小物块 Q 平抛的水平速度是 v1，有 tan 60gtv1解得 v110 m/sP 与 Q 发生碰撞的过程中系统的动量守恒，选取向右为正
8、方向，由动量守恒定律得：mpv0 mQv1由于 mQ2 mp解得 v020 m/s(3)设小物块 Q 在水平轨道 CD 上通过的总路程为 s，根据题意，该路程的最大值是smax3 L路程的最小值是 smin L路程最大时，动摩擦因数最小；路程最小时，动摩擦因数最大。由能量守恒知：mQgh1 mQv minmQgsmax12 215mQgh1 mQv maxmQgsmin12 21解得 max ， min12 16即 。16 12答案 (1) s (2)20 m/s (3) 316 125如图所示， AB 为固定在竖直面内，半径为 R 的四分之一圆弧形光滑轨道，其末端(B 端)切线水平，且距水平
9、地面的高度也为 R。1、2 两小滑块(均可视为质点)用轻细绳拴接在一起，往它们中间夹住一个被压缩的微小轻质弹簧。两滑块从圆弧形轨道的最高点 A由静止滑下，当两滑块滑至圆弧形轨道最低点时，拴接两滑块的细绳突然断开，弹簧迅速将两滑块弹开，滑块 2 恰好能沿圆弧形轨道运动到轨道的最高点 A。己知 R0.45 m，滑块1 的质量 m10.16 kg，滑块 2 的质量 m20.04 kg，重力加速度 g 取 10 m/s2，空气阻力可忽略不计。求：(1)两滑块一起运动到圆弧形轨道最低点细绳断开前瞬间对轨道的压力大小；(2)在将两滑块弹开的整个过程中弹簧释放的弹性势能；(3)滑块 2 的落地点与滑块 1
10、的落地点之间的距离。解析 (1)设两滑块一起滑至轨道最低点时的速度为 v，所受轨道的支持力为 N。对两滑块一起沿圆弧形轨道下滑到 B 端的过程，根据机械能守恒定律有6(m1 m2)gR (m1 m2)v2，解得： v3.0 m/s12对于两滑块在轨道最低点，根据牛顿第二定律有N( m1 m2)g( m1 m2)v2R解得： N3( m1 m2)g6.0 N根据牛顿第三定律可知，两滑块对轨道的压力大小 N N6.0 N(2)设弹簧迅速将两滑块弹开时，两滑块的速度大小分别为 v1和 v2，因滑块 2 恰好能沿圆弧形轨道运动到轨道最高点 A，此过程上机械能守恒，所以对滑块 2 有m2gR m2v12
11、 2解得： v23.0 m/s，方向向左对于弹簧将两滑块弹开的过程，设水平向右为正方向，根据动量守恒定律有( m1 m2)v m1v1 m2v2解得： v14.5 m/s对于弹簧将两滑块弹开的过程，根据机械能守恒定律有E 弹 m1v m2v (m1 m2)v212 21 12 2 12解得： E 弹 0.90 J(3)设两滑块平抛运动的时间为 t，根据 h gt2/2，解得两滑块做平抛运动的时间 t 0.30 s2Rg滑块 1 平抛的水平位移 x1 v1t1.35 m滑块 2 从 B 点上滑到 A 点，再从 A 点返回到 B 点的过程，机械能守恒，因此其平抛的速度大小仍为 v2，所以其平抛的水平位移 x2 v2t0.90 m所以滑块 2 的落地点与滑块 1 的落地点之间的距离 x x1 x20.45 m。7答案 (1)6.0 N (2)0.90 J (3)0.45 m
