1、1专题 2.3 动态平衡【题型概览】在动态平衡中，物体由于所处环境或所受某个外力发生缓慢变化，导致物体所受某些外力的大小或方向发生改 变。对象可以是某个物体可以是一个系统；涉及的问题可以是各力变化情况的定性分析，也可以是临界与极值条件的分析与计算；解决方法可以是图解法、解析式法有时也可采用极限法等【题型通解】1.图解法三个力作用下的动态平衡（）.当三个力中有一个力恒定、有一个力方向不变时，可直接由力的矢量三角形来判定。例 1 质量为 m 的物体用轻绳 AB 悬挂于天花板上。用水平向左的力 F 缓慢拉动绳的中点 O，如图所示。用 T表示绳 OA 段拉力的大小，在 O 点向左移动的过程中A. F
2、逐渐变大， T 逐渐变大 B. F 逐渐变大， T 逐渐变小C. F 逐渐变小， T 逐渐变大 D. F 逐渐变小， T 逐渐变小【答案】A例 2重 G 的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小 F1、F 2各自变化情况 例 2 图AF 1逐渐减小、F 2逐渐增大 BF 1逐渐增大、F 2逐渐减小2CF 1逐渐变小，F 2先变小后变大 DF 1先变小后变大，F 2逐渐变小【答案】【解析】 由于挡板是缓慢转动的，可以认为每个时刻小球都处于平衡状态，因此所受合G F2F1例 2 答图力为零。应用三角形定则，G、F 1、F 2三个
3、矢量应组成封闭三角形，其中 G 的大小、方向始终保持不变；F 1的方向不变；F 2的起点在 G 的终点处，而终点必须在 F1所在的直线上，由作图可知，挡板逆时针转动90过程，F 2矢量也逆时针转动 90，因此 F1逐渐变小，F 2先变小后变大.（当 F2F 1，即挡板与斜面垂直时，F 2最小）（)当三个力中有一个力恒定、有一个力大小不变时，所有情况下的矢量三角形中一个顶点位于以恒定力一个端点为圆心、以大小不变的力为半径的圆周上，作出此圆可进行判定。 例 3.如图所示，表面光滑的半圆柱体固定在水平面上，小物块在拉力 F 作用下从 B 点沿圆弧缓慢上滑至 A点，此过程中 F 始终沿圆弧的切线方向则
4、 例 4 图A小物块受的支持力逐渐变大 B小物块受的支持力先变小后变大C拉力 F 逐渐变小 D拉力 F 先变大后变小【答案】3【解析】 在缓慢拉动物体时物体所受合外力始终为零。在物体所受三个力中，重力例 4 答图恒定，支持力与拉力始终垂直，作出平行四边形，则三力构成的三角形是以 重力为直径的圆的内接三角形。由图可以看出，正确。（4）某些情况下物体受到三个以上的作用力时，可以通过先对部分力合成，使物体等效受力个数降为三个时再应用图解法，如可将滑动摩擦力与对应的支持力用其合力全反力来代替例 5.水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为 。现对木箱施加一拉力 F，使木箱做匀速直线运动。设 F
5、 的方向与水平面夹角为 ，如图，在 从 0 逐渐增大到 90的过程中，木箱的速度保持不变，则例 5 图A.F 先减小后增大 B.F 一直增大 C.F 的功率减小 D.F 的功率不变【答案】AC4解法二： 分析物体受力如图所示，其中摩擦力与支持力的合力 R 方向与竖直方向间夹角 恒定，可认为物体在三个力作用下匀速运动，由图解法可以看出，当 F 与 R 垂直即 时 F 最小，即当 从 0 逐渐增大到 90的过程中，F 先减小后增大，A 正确 B 错误。其它同解法一。2.解析式法（）当物体受到三个力的作用而平衡，在作出的平行四边形后所得的三角形中有一个夹角不变，则可将另外一个角作为变量，得到各力的表
6、达式，进而判定力的变 化。（）当物体受到三个力的作用而平衡，在几何三角形中有两个边不变，则可将另外一个边作为变量，由相似三角形性质得到各力的表达式，进而判定力的变化。例 6.一轻杆 BO，其 O 端用光滑铰链固定在竖直轻杆 AO 上， B 端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶 A处的光滑小滑轮，用力 F 拉住，如图所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆 BO 与杆 AO 间的夹角 逐渐减少，则在此过程中，拉力 F 及杆 BO 所受压力 FN的大小变化情况是AF BO例图A FN先减小，后增大 B .FN始终不变C F 先减小，后增大 D. F 始终不变【答案】5【解析】 取 BO 杆的 B 端为研究对
7、象，受到绳子拉力(大小为 F)、BO 杆的支持AF BOGFNFLlH例 6 答图力 FN和悬挂重物的绳子的拉力(大小为 G)的作用，将 FN与 G 合成，其合力与 F 等值反向，如图所示，将三个力矢量构成封闭的三角形(如图中画斜线部分)，力的三角形与几何三角形 OBA 相似，利用相似三角形对应边成比例可得：(如图所示，设 AO 高为 H，BO 长为 L，绳长 l,) ，式中 G、 H、 L 均不变，l 逐渐变小，所以可知 FN不变， F 逐渐变小 。正确。（）当物体在三个以上的力作用下处于平衡时，通常需用解析式法。此时需分清表达式中的变量与常量以及变量的取值范围。 6.光滑滑轮、挂钩、环(1
8、)两侧绳上拉力大小相等、方向与竖直方向夹角相同；(2)绳与竖直方向夹角 取决于绳的总长 l 与两悬点间的水平距离 d： lsin例 11.在上海世博会最佳实践区，江苏城市案例馆中穹形门窗充满了浓郁的地域风情和人文特色如图所示，在竖直放置的穹形光滑支架上，一根不可伸长的轻绳通过轻质滑轮悬挂一重物 G现将轻绳的一端固定于支架上的 A 点，另一端从 B 点沿支架缓慢地向 C 点靠近（C 点与 A 点等高） 则绳中拉力大小变化的情况是A、先变小后变大 B、先变大后不变 C、先变小后不 变 D、先变大后变小【答案】B67.平衡中的极值问题解决极值问题可利用动态平衡的分析过程，三力作用下的平衡可用图解法、
9、多力作用下的平衡中可利用解析式确定极值及其出现的条件例 12.如图所示，三根长度均为 l 的轻绳分别连接于 C、 D 两点， A、 B 两端被悬挂在水平天花板上，相距2l.现在 C 点上悬挂一个质量为 m 的重物，为使 CD 绳保持水平，在 D 点上可施加力的最小值为A. mg B. 3mg C. 21mg D. 41 mg 【答案】C 【解析】由题意可知 AC、BD 两绳与水平方向的夹角皆为 600，分析 C 点受力如图，由平衡条件可得 CD 绳上的张力为 。再分析 D 点受力，因 CD 绳上拉力大小、方向恒定，BD 绳上拉力方向恒定，由图解法可知当在 D 点施加的拉力与 BD 绳垂直时最小
10、，由图中几何关系可得，故 C 正确。【题型对练】.半圆柱体 P 放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的竖直挡板 MN在 P 和 MN 之间放有一个光滑均匀的小圆柱体 Q，整个装置处于静止状态如图所示是这个装置的纵截面图若用外力使 MN 保持竖直地缓慢向右移动，在 Q 落到地面以前，发现 P 始终保持静止在此过程中，下列说法中正确的是7AQ 受到 MN 的弹力逐渐减小BQ 受到 P 的弹力逐渐减小CQ 受到 MN 和 P 的弹力之和保持不变DP 受到地面的支持力和摩擦力均保持不变【答案】C【解析】小 圆柱 Q 受到重力、MN 的弹力 N 与 P 的弹力 Np 三个力的作用，在板 MN 缓慢移动
11、过程中 N 的方向不变，Np 的方向逐渐趋于水平。由于缓慢移动，任一时刻三力的合力为零，N 与 Np 的合力始终等于 Q 的重力不变，C 正确；再由三角形定则作出图示图形，由图可知现两弹力皆逐渐增大，A、B 错误。将 PQ 作为一个整体，竖直方向上只有地面支持力与整体重力，故支持力不 变；水平方向上只有摩擦力与 MN 板的弹力 N，二者始终相等，则可知摩擦力应逐渐增大，D 错误。NpmgN2.如图所示，滑轮 A、B 是轻质滑轮，一条轻绳一端系于 O 点，另一端通过轻滑轮 B 悬吊重物 G，再利用一轻滑轮 A 用水平力 F 通过轻绳拉住滑轮 B。初始状态轻绳 OB 段水平，现使滑轮 B 缓慢上升
12、，则A.拉力 F 增大 B.拉力 F 减小 C. 角增大 D. 角减小【答案】AD【解析】 分析轻滑轮受力，由于 OB 绳对滑轮拉力 T 始终与重物重力相等保持不变，故以 B 为圆心、以拉力 T 为半径作圆，如图所示。当滑轮 B 缓慢上升时，拉力 T 的方向向下转动，则8可以看出，拉力 F 增大、 角减小，AD 正确3.如图所示，物体 G 用两根绳子悬挂，开始时绳 OA 水平，现将两绳同时顺时针转过 90，且保持两绳之间的夹角 不变 )90(，物体保持静止状态，在旋转过程中，设绳 OA 的拉力为 F1，绳 OB 的拉力为F2，则(A)F1先减小后增大 (B) F1先增大后减小 (C)F2逐渐减
13、小 (D) F2最终变为零ABOGFa FbG3 图FaFbGC DEDDD3 答图【答案】A 【解析】取绳子结点 O 为研究对象，受到三根绳的拉力，如图所示分别为 Fa、 Fb、重物通过绳的拉力大小为 G，将三力构成如图中实线所示的矢量三角形 CDE，在旋转过程中满足 G 大小、方向不变.由于绳 oa 与ob 之间的夹角不变,可知角 CDE 不变，由于角DCE 为直角，则三力的几何关系图中 D 点处于以 DE 边为直径的圆周上，画出动态矢量三角形如图中一系列虚线表示的三角形。由此可知， Fa先增大后减小， Fb随始终减小，且转过 90时，F b恰好好为零,A 正确.4.如图所示，固定在竖直平
14、面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为 m 的 小球套在圆环上。一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移。在移动过程中手对线的拉力 F 和轨道对小球的弹力 N 的大小变化情况是FO4 图A F 不变， N 增大 B F 不变， N 减小C F 减小， N 不变 D F 增大， N 减小 【答案】95.如图，一光滑的轻滑轮用细绳 OO悬挂于 O 点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块 a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块 b。外力 F 向右上方拉 b，整个系统处于静止状态。若 F 方向不变，大小在一定范围内变化，物块 b 仍始终保持静止，则A绳 OO
15、的张力也在一定范围内变化B物块 b 所受到的支持力也在一定范围内变化C连接 a 和 b 的绳的张力也在一定范围内变化D物块 b 与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化【答案】BD 【解析】 由物块 B 始终保持静止可知物块 A 也始终保持静止、滑轮两侧绳子夹角也不变，故连接物块 a 和 b 的绳的张力始终等于物块 a 的重力不变、方向不变，则滑轮两侧绳对轻滑轮拉力的合力不变、绳 OO中张力了不变，A、C 皆错误。分析 b 物块受力如图所示，由平衡条件有、 ，由于 gmFaT、 、 皆恒定不变，故 F 的大小在一定范围内变化时， NF、 f也一定随 F 在一定范围内变化，B、D 均正确。 6.如图所
16、示，两块相互垂直的光滑挡板 OP、OQ，OP 竖直放置，小球 a、b 固定在轻弹簧的两端水平力 F作用于 b 时，a、b 紧靠挡板处于静止状态现保证 b 球不动，使挡板 OP 向右缓慢平移一小段距离，则10A弹簧变长 B弹簧变短C力 F 变大 Db 对地面的压力变大【答案】A【解析】 ab 受力如图所示，a 处于平衡状态，当 OP 向右平移后 a 再次平衡时，受到的支持力 Na和弹簧弹力 F 都减小，故弹簧压缩量减小、长度变长，A 正确 B 错误。对 a、b 两球整体分析，平衡时由 f=Na，N b=Ga+Gb，b 球受到向左水平力减小，b 对地面的压力等于两球重力之和保持不变，C、D 错误。
17、7.如 图 所 示 ， 长 度 相 同 且 恒 定 和 光 滑 圆 柱 体 A、 B 质 量 分 别 为 m1、 m2， 半 径 分 别 为 r1、 r2。 A 放 在 物 块 P 与 竖 直 墙 壁之 间 ， B 放 在 A 与 墙 壁 之 间 ， A、 B 处 于 平 衡 状 态 ， 且 在 下 列 变 化 中 物 块 P 的 位 置 不 变 ， 系 统 仍 平 衡 。 则A.若 保 持 B 的 半 径 r2不 变 ， 而 将 B 改 用 密 度 稍 大 的 材 料 制 作 ， 则 物 块 P 受 到 地 面 的 静 摩 擦 力 增 大B.若 保 持 A 的 质 量 m1不 变 ， 而 将
18、 A 改 用 密 度 稍 小 的 材 料 制 作 ， 则 物 块 P 对 地 面 的 压 力 增 大C.若 保 持 A 的 质 量 m1不 变 ， 而 将 A 改 用 密 度 稍 小 的 材 料 制 作 ， 则 B 对 墙 壁 的 压 力 减 小D.若 保 持 B 的 质 量 m2不 变 ， 而 将 B 改 用 密 度 稍 小 的 材 料 制 作 ， 则 A 对 墙 壁 的 压 力 减 小11【答案】A8.如图所示，一小球用轻绳悬于点，用力 F 拉住小球，使悬线保持偏离竖直方向 75角，且小球始终处于平衡状态，为了使 F 有最小值，F 与竖直方向的夹角 应该是750 FOA. 90 B. 15 C. 45 D. 0【答案】B【解析】分析小球受力,建立一坐标轴在轻绳所在直线的正交坐标系,将重力 mg、拉力 F 正交分解,利用平衡条件可得 ,即 ,可见当 015时拉力 F 最小,B 正确.另解:图解法:如图所示,在保持绳的位置不变时,当拉力 F 的方向与绳垂直时拉力最小,此时 015,B正确.
