1、127.2.2 相似三角形的性质1理解相似三角形的性质；(重点)2会利用相似三角形的性质解决简单的问题(难点)一、情境导入两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论例如，在图中， ABC 和 A B C是两个相似三角形，相似比为 k，其中AD、 A D分别为 BC、 B C边上的高，那么 AD、 A D之间有什么关系？二、合作探究探究点一： 相似三角形的性质【类型一】 利用相似比求三角形的周长和面积如图所示，平行四边形 ABCD 中， E 是 BC 边上一点，且 BE EC， BD、 AE 相交于F 点(1)求 BEF 与 AFD 的周长之比；(2)若 S BE
2、F6cm 2，求 S AFD. 解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解解：(1)在平行四边形 ABCD 中， AD BC，且 AD BC， BEF AFD.又 BE BC， ， BEF 与 AFD 的周长之比为 ；12 BEAD BFDF EFAF 12 BE BF EFAD DF AF 12(2)由(1)可知 BEF DAF，且相似比为 ， ( )2， S AFD4 S12 S BEFS AFD 12BEF4624cm 2.方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第 4、
3、6 题【类型二】 利用相似三角形的周长或面积比求相似比若 ABC A B C，其面积比为 12，则 ABC 与 A B C的相似比为( )A12 B. 22C14 D. 12解析： ABC A B C，其面积比为 12， ABC 与 A B C的相似比为1 2. 故选 B.2 2方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方2【类型三】 利用相似三角形的性质和判定进行计算如图所示，在锐角三角形 ABC 中， AD， CE 分别为 BC， AB 边上的高， ABC 和BDE 的面积分别为 18 和 8， DE3，求 AC 边上的高解析：求 AC 边上的高，先将高线作出，由 AB
4、C 的面积为 18，求出 AC 的长，即可求出 AC 边上的高 解：过点 B 作 BF AC，垂足为点 F. AD BC, CE AB，RtADBRt CEB， ，即 ，且 ABC DBE， EBD CBA, (BDBE ABCB BDAB BECB S BEDS BCA)2 .又 DE3， AC4.5. S ABC ACBF18, BF8.DEAC 818 12方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解答变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 6 题【类型四】 利用相似三角形线段的比等于相似比解决问题如图所示， PN BC， AD BC 交
5、 PN 于 E，交 BC 于 D.(1)若 AP PB12， S ABC18，求 S APN；(2)若 S APN S 四边形 PBCN12，求 的值AEAD解析：(1)由相似三角形面积比等于对应边的平方比即可求解；(2)由 APN 与四边形PBCN 的面积比可得 APN 与 ABC 的面积比，进而可得其对应边的比解：(1)因为 PN BC，所以 APN B， ANP C， APN ABC，所以( )2.因为 AP PB12，所以 AP AB13.又因为 S ABC18，所以S APNS ABC APAB( )2 ，所以 S APN2；S APNS ABC 13 19(2)因为 PN BC，所
6、以 APE B， AEP ADB，所以 APE ABD，所以 ， ( )2( )2.因为 S APN S 四边形 PBCN12，所以 ( )APAB AEAD S APNS ABC APAB AEAD S APNS ABC 13 AEAD2，所以 .AEAD 13 33方法总结：利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 7 题【类型五】 利用相似三角形的性质解决动点问题如图，已知 ABC 中， AB5， BC3， AC4， PQ AB， P 点在 AC 上(与 A、 C 不重合)， Q 点在 BC 上3(1)当
7、 PQC 的面积是四边形 PABQ 面积的 时，求 CP 的长；13(2)当 PQC 的周长与四边形 PABQ 的周长相等时，求 CP 的长解析：(1)由于 PQ AB，故 PQC ABC，当 PQC 的面积是四边形 PABQ 面积的 时，13 CPQ 与 CAB 的面积比为 14，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出 CP的长；(2)由于 PQC ABC，根据相似三角形的性质，可用 CP 表示出 PQ 和 CQ 的长，进而可表示出 AP、 BQ 的长根据 CPQ 和四边形 PABQ 的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出 CP 的长解：(1) PQ AB， PQC ABC， S
8、PQC S 四边形 PABQ， S PQC S13ABC14， ， CP CA2；14 12 12(2) PQC ABC， ， ， CQ CP.同理可知 PQ CP， CCPCA CQCB PQAB CP4 CQ3 34 54PCQ CP PQ CQ CP CP CP3 CP， C 四边形 PABQ PA AB BQ PQ(4 CP)54 34 AB(3 CQ) PQ4 CP53 CP CP12 CP，12 CP3 CP， CP12， CP .34 54 12 12 72 247方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段的问题是解题的关键变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 8 题三、板书设计1相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；2相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比；3相似三角形的面积的比等于相似比的平方本节教学过程中，学生们都主动地参与了课堂活动，积极地交流探讨，发现的问题较多：相似三角形的周长比，面积比，相似比在书写时要注意对应关系，不对应时，计算结果正好相反；这两个性质使用的前提条件是相似三角形等等同学们讨论非常激烈，本节课堂教学取得了明显的效果.
