1、1专题五 解析几何全国卷 3年考情分析第一讲 小题考法直线与圆考点(一) 直线的方程 主要考查直线方程、两条直线的位置关系及三个距离公式的应用.典例感悟典例 (1)“ ab4”是“直线 2x ay10 与直线 bx2 y20 平行”的( )A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件(2)过直线 l1： x2 y30 与直线 l2：2 x3 y80 的交点，且到点 P(0,4)距离为2的直线方程为( )A y2 B4 x3 y20C x2 D y2 或 4x3 y20解析 (1)因为两直线平行，所以 22 ab0，可得 ab4，必要性成立，又当a1， b4 时，满足 a
2、b4，但是两直线重合，充分性不成立，故选 C.(2)由Error! 得Error! l1与 l2的交点为(1,2)当所求直线斜率不存在，即直线方程为 x1 时，显然不满足题意当所求直线斜率存在时，设该直线方程为 y2 k(x1)，即 kx y2 k0，2点 P(0,4)到直线的距离为 2，2 ， k0 或 k .| 2 k|1 k2 43直线方程为 y2 或 4x3 y20.答案 (1)C (2)D方法技巧直线方程问题的 2个关注点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用 A1B2 A2B10 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方
3、程形式，同时要考虑直线斜率不存在的情况演练冲关1(2018洛阳模拟)已知直线 l1： x my10， l2： nx y p0，则“ m n0”是“ l1 l2”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 C 若 m n0，当 m n0 时，直线 l1： x10 与直线 l2： y p0 互相垂直；当 m n0 时，直线 l1的斜率为 ，直线 l2的斜率为 n， ( n)1m 1mm1， l1 l2.当 l1 l2时，若 m0， l1： x10，则 n0，此时 m n0；若1mm0，则 ( n)1，即 n m，有 m n0.故选 C.1m2若直线 l1：
4、 x ay60 与 l2：( a2) x3 y2 a0 平行，则 l1与 l2间的距离为( )A. B. 2823C. D.3833解析：选 B 由 l1 l2，得( a2) a13，且 a2a36，解得 a1，所以l1： x y60， l2： x y 0，所以 l1与 l2间的距离 d .23 |6 23|12 1 2 8233直线 x2 y30 与直线 ax4 y b0 关于点 A(1,0)对称，则 b_.3解析：因为两直线关于点 A(1,0)对称，在直线 x2 y30 上取两点 M(1,1)，N(5，1)， M， N关于点 A(1,0)对称的点分别为 M(1，1)， N(3,1)，则M(
5、1，1)， N(3,1)都在直线 ax4 y b0 上，即Error!解得 a b2.答案：2考点(二) 圆 的 方 程主要考查圆的方程的求法，常涉及弦长公式、直线与圆相切等问题.典例感悟典例 (1)已知三点 A(1,0)， B(0， )， C(2， )，则 ABC外接圆的圆心到原点的3 3距离为( )A. B.53 213C. D.253 43(2)已知圆 C的圆心是直线 x y10 与 x轴的交点，且圆 C与直线 x y30 相切，则圆 C的方程为_解析 (1)设圆的一般方程为 x2 y2 Dx Ey F0( D2 E24 F0)，Error! Error! ABC外接圆的圆心为 ，故 A
6、BC外接圆的圆心到原点的距离为 (1，233) .1 (233)2 213(2)易知直线 x y10 与 x轴的交点为(1,0)，即圆 C的圆心坐标为(1,0)因为直线 x y30 与圆 C相切，所以圆心(1,0)到直线 x y30 的距离等于半径 r，即 r ，| 1 0 3|2 2所以圆 C的方程为( x1) 2 y22.答案 (1)B (2)( x1) 2 y22方法技巧圆的方程的 2种求法待定系数法根据题意，选择方程形式(标准方程或一般方程)；根据条件列出关于 a， b， r或 D、 E、 F的方程组；解出 a， b， r或 D、 E、 F，代入所选的方程中即可4几何法在求圆的方程过程
7、中，常利用圆的一些性质或定理直接求出圆心和半径，进而可写出标准方程常用的几何性质有：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心在一条直线上演练冲关1(2018长沙模拟)与圆( x2) 2 y24 关于直线 y x对称的圆的方程是( )33A( x )2( y1) 243B( x )2( y )242 2C x2( y2) 24D( x1) 2( y )243解析：选 D 圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可由题意知已知圆的圆心坐标为(2,0)，半径为 2，设所求圆的圆心坐标为( a， b)，则Error! 解得Error!
8、所以所求圆的圆心坐标为(1， )，半径为 2.3从而所求圆的方程为( x1) 2( y )24.32(2018广州模拟)若一个圆的圆心是抛物线 x24 y的焦点，且该圆与直线y x3 相切，则该圆的标准方程是_解析：抛物线 x24 y的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2( y1) 2 r2(r0)，因为该圆与直线 y x3 相切，所以 r ，故该圆| 1 3|2 2的标准方程是 x2( y1) 22.答案： x2( y1) 223(2018惠州调研)圆心在直线 x2 y0 上的圆 C与 y轴的正半轴相切，圆 C截 x轴所得弦的长为 2 ，则圆 C的标准方程为_3解析：
9、设圆心坐标为( a， b)，半径为 r.由已知Error!又圆心( a， b)到 y轴、 x轴的距离分别为| a|，| b|，所以| a| r，| b|23 r2.综上，解得 a2， b1， r2，所以圆心坐标为(2,1)，圆 C的标准方程为( x2) 2( y1) 24.答案：( x2) 2( y1) 244已知 aR，方程 a2x2( a2) y24 x8 y5 a0 表示圆，则圆心坐标是_，半径是_解析：由二元二次方程表示圆的条件可得 a2 a20，解得 a2 或1.当 a2 时，5方程为 4x24 y24 x8 y100，即 x2 y2 x2 y 0，配方得 2( y1) 252 (x
10、 12)0，不表示圆；当 a1 时，方程为 x2 y24 x8 y50，配方得( x2) 2( y4)54225，则圆心坐标为(2，4)，半径是 5.答案：(2，4) 5考点(三) 直线与圆的位置关系 主要考查直线与圆位置关系的判断、根据直线与圆的位置关系解决弦长问题、参数问题或与圆有关的最值范围问题.典例感悟典例 (1)(2019 届高三齐鲁名校联考)已知圆 x22 x y22 my2 m10，当圆的面积最小时，直线 y x b与圆相切，则 b( )A1 B1C D.2 2(2)(2018全国卷)直线 x y20 分别与 x轴， y轴交于 A， B两点，点 P在圆(x2) 2 y22 上，则
11、 ABP面积的取值范围是( )A2,6 B4,8C ，3 D2 ，3 2 2 2 2(3)已知点 P(x， y)在圆 x2( y1) 21 上运动，则 的最大值与最小值分别为y 1x 2_解析 (1)由题意可知，圆 x22 x y22 my2 m10 化为标准形式为( x1)2( y m)2 m22 m2，圆心为(1， m)，半径 r ，当圆的面积最小时，半径m2 2m 2r1，此时 m1，即圆心为(1,1)，由直线和圆相切的条件可知 1，解得 b .故|b|2 2选 C.(2)设圆( x2) 2 y22 的圆心为 C，半径为 r，点 P到直线 x y20 的距离为 d，则圆心 C(2,0)，
12、 r ，2所以圆心 C到直线 x y20 的距离为 2 ，|2 2|2 2可得 dmax2 r3 ， dmin2 r .2 2 2 2由已知条件可得| AB|2 ，26所以 ABP面积的最大值为 |AB|dmax6，12 ABP面积的最小值为 |AB|dmin2.12综上， ABP面积的取值范围是2,6(3)设 k，则 k表示点 P(x， y)与点 A(2,1)连线的斜率当直线 PA与圆相切时，y 1x 2k取得最大值与最小值设过(2,1)的直线方程为 y1 k(x2)，即 kx y12 k0.由 1，解得 k .|2k|k2 1 33答案 (1)C (2)A (3) ，33 33方法技巧1直
13、线(圆)与圆位置关系问题的求解思路(1)研究直线与圆的位置关系主要通过将圆心到直线的距离同半径做比较实现，两圆位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的大小关系(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算2与圆有关最值问题的求解策略处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，利用转化思想和数形结合思想求解与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：常见类型 解题思路圆的面积最小问题 转化为求半
14、径最小问题圆上的点到圆外的点(直线)的距离的最值应先求圆心到圆外的点(直线)的距离，再加上半径或减去半径求得最值 型y bx a 转化为动直线斜率的最值问题t ax by型转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解m( x a)2( y b)2型 转化为动点与定点的距离的平方的最值问题演练冲关1(2018宁夏银川九中模拟)直线 l： kx y40( kR)是圆C： x2 y24 x4 y60 的一条对称轴，过点 A(0， k)作斜率为 1的直线 m，则直线 m被圆 C所截得的弦长为( )7A. B.22 2C. D26 6解析：选 C 圆 C： x2 y24 x4 y60，即( x2) 2(
15、 y2) 22，表示以 C(2,2)为圆心， 为半径的圆由题意可得，直线 l： kx y40 经过圆心 C(2,2)，所以22 k240，解得 k3，所以点 A(0,3)，故直线 m的方程为 y x3，即x y30，则圆心 C到直线 m的距离 d ，所以直线 m被圆 C所截得的| 2 2 3|2 12弦长为 2 .故选 C.2 12 62(2018江苏苏州二模)已知直线 l1： x2 y0 的倾斜角为 ，倾斜角为 2 的直线 l2与圆 M： x2 y22 x2 y F0 交于 A， C两点，其中 A(1,0)， B， D在圆 M上，且位于直线 l2的两侧，则四边形 ABCD的面积的最大值是_解
16、析：由题意知，tan ，则 tan 2 .12 2tan 1 tan2 43直线 l2过点 A(1,0)，则 l2： y (x1)，即 4x3 y40，43又 A是圆 M上的点，则(1) 22(1) F0，得 F1，圆 M的标准方程为( x1) 2( y1) 21，圆心 M(1,1)，其到 l2的距离 d .| 4 3 4|5 35则| AC|2 .1 (35)2 85因为 B， D两点在圆上，且位于直线 l2的两侧，则四边形 ABCD的面积可以看成是 ABC和 ACD的面积之和，如图所示，当 BD垂直平分AC(即 BD为直径)时，两三角形的面积之和最大，即四边形 ABCD的面积最大，此时 A
17、C， BD相交于点 E，则最大面积S |AC|BE| |AC|DE| |AC|BD| 2 .12 12 12 12 85 85答案：853(2018广西桂林中学 5月模拟)已知从圆 C：( x1) 2( y2) 22 外一点P(x1， y1)向该圆引一条切线，切点为 M， O为坐标原点，且有| PM| PO|，则当| PM|取最小值时点 P的坐标为_解析：如图所示，连接 CM， CP.由题意知圆心 C(1,2)，半径r .因为 |PM| PO|，所以 |PO|2 r2| PC|2，所以2x y 2( x11) 2( y12) 2，即 2x14 y130.要使| PM|的21 218值最小，只需
18、| PO|的值最小即可当 PO垂直于直线 2x4 y30 时，即 PO所在直线的方程为 2x y0 时，| PM|的值最小，此时点 P为两直线的交点，则Error!解得Error!故当|PM|取最小值时点 P的坐标为 .(310， 35)答案： (310， 35)必备知能自主补缺 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干主干知识要记牢1直线方程的五种形式点斜式y y1 k(x x1)(直线过点 P1(x1， y1)，且斜率为 k，不能表示 y轴和平行于 y轴的直线)斜截式y kx b(b为直线在 y轴上的截距，且斜率为 k，不能表示 y轴和平行于 y轴的直线)两点式 (直
19、线过点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)，且 x1 x2， y1 y2，不能表y y1y2 y1 x x1x2 x1示坐标轴和平行于坐标轴的直线)截距式 1( a， b分别为直线的横、纵截距，且 a0， b0，不能表示坐标轴、平xa yb行于坐标轴和过原点的直线)一般式 Ax By C0(其中 A， B不同时为 0)2点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点 P(x0， y0)到直线 Ax By C0 的距离为 d .|Ax0 By0 C|A2 B2(2)两平行线 l1： Ax By C10， l2： Ax By C20 间的距离为 d .|C1 C2|A2 B23圆的方程(1)
20、圆的标准方程：( x a)2( y b)2 r2.(2)圆的一般方程： x2 y2 Dx Ey F0( D2 E24 F0)(3)圆的直径式方程：( x x1)(x x2)( y y1)(y y2)0(圆的直径的两端点是A(x1， y1)， B(x2， y2)4直线与圆位置关系的判定方法(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)： 0相交， r相离， d r相切5圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为 O1， O2，半径分别为 r1， r2，则(1)当| O1O2| r1 r2时，两圆外离；(2)当| O1O2| r1 r2时，两圆外切；(3)当| r1 r2| O1O2| r1
21、 r2时，两圆相交；(4)当| O1O2| r1 r2|时，两圆内切；(5)当 0| O1O2| r1 r2|时，两圆内含二级结论要用好1直线 l1： A1x B1y C10 与直线 l2： A2x B2y C20 的位置关系(1)平行 A1B2 A2B10 且 B1C2 B2C10；(2)重合 A1B2 A2B10 且 B1C2 B2C10；(3)相交 A1B2 A2B10；(4)垂直 A1A2 B1B20.针对练 1 若直线 l1： mx y80 与 l2：4 x( m5) y2 m0 垂直，则m_.解析： l1 l2，4 m( m5)0， m1.答案：12若点 P(x0， y0)在圆 x
22、2 y2 r2上，则圆过该点的切线方程为： x0x y0y r2.针对练 2 过点(1， )且与圆 x2 y24 相切的直线 l的方程为_3解析：点(1， )在圆 x2 y24 上，3切线方程为 x y4，即 x y40.3 3答案： x y403易错易混要明了1易忽视直线方程几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，未讨论截距为 0的情况，直接设为 1；再如，未讨论斜率不存在的情况直接将过xa ya定点 P(x0， y0)的直线设为 y y0 k(x x0)等针对练 3 已知直线过点 P(1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为_解析：当截距为 0时，直线方程
23、为 5x y0；当截距不为 0时，设直线方程为 1，代入 P(1,5)，得 a6，xa ya直线方程为 x y60.答案：5 x y0 或 x y60102讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直，若一条直线的斜率不存在，则另一条直线斜率为 0.如果利用直线l1： A1x B1y C10 与 l2： A2x B2y C20 垂直的充要条件 A1A2 B1B20，就可以避免讨论针对练 4 已知直线 l1：( t2) x(1 t)y1 与 l2：( t1) x(2 t3) y20 互相垂直，则 t的值为_解析： l1 l2，( t2)( t1)(1 t)(2t3)
24、0，解得 t1 或 t1.答案：1 或 13求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式，导致错解|C1 C2|A2 B2针对练 5 两平行直线 3x4 y50 与 6x8 y50 间的距离为_解析：把直线 6x8 y50 化为 3x4 y 0，故两平行线间的距离 d .52 | 5 52|32 42 32答案：324易误认为两圆相切即为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解针对练 6 已知两圆 x2 y22 x6 y10， x2 y210 x12 y m0 相切，则m_.解析：由 x2 y22 x6 y10，得( x1) 2( y3) 211，由x2 y210 x12 y
25、 m0，得( x5) 2( y6) 261 m.当两圆外切时，有 ，解得 m2510 ；当两圆内切时，有 5 1 2 6 3 2 61 m 11 11 ，解得 m2510 . 5 1 2 6 3 2 | 61 m 11| 11答案：2510 11课 时 跟 踪 检 测 A级124 提速练一、选择题1已知直线 l1： x2 ay10， l2：( a1) x ay0，若 l1 l2，则实数 a的值为( )A B032C 或 0 D232解析：选 C 由 l1 l2得 1( a)2 a(a1)，即 2a23 a0，解得 a0 或 a .3211经检验，当 a0 或 a 时均有 l1 l2，故选 C.
26、322(2018贵阳模拟)经过三点 A(1,0)， B(3,0)， C(1,2)的圆的面积 S( )A B2C3 D4解析：选 D 法一：设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F0( D2 E24 F0)，将 A(1,0)，B(3,0)， C(1,2)的坐标代入圆的方程可得Error!解得 D2， E0， F3，所以圆的方程为 x2 y22 x30，即( x1) 2 y24，所以圆的半径 r2，所以 S4.故选 D.法二：根据 A， B两点的坐标特征可知圆心在直线 x1 上，设圆心坐标为(1， a)，则r | a2|，所以 a0， r2，所以 S4，故选 D.4 a23已知圆( x1) 2 y
27、21 被直线 x y0 分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之3比为( )A12 B13C14 D15解析：选 A ( x1) 2 y21 的圆心为(1,0)，半径为 1.圆心到直线的距离d ，所以较短弧所对的圆心角为 ，较长弧所对的圆心角为 ，故两弧长之比11 3 12 23 43为 12，故选 A.4(2018山东临沂模拟)已知直线 3x ay0( a0)被圆( x2) 2 y24 所截得的弦长为 2，则 a的值为( )A. B.2 3C2 D22 3解析：选 B 由已知条件可知，圆的半径为 2，又直线被圆所截得的弦长为 2，故圆心到直线的距离为 ，即 ，得 a .369 a2 3 35(2
28、018郑州模拟)已知圆( x a)2 y21 与直线 y x相切于第三象限，则 a的值是( )A. B2 2C D22解析：选 B 依题意得，圆心( a,0)到直线 x y0 的距离等于半径，即有1，| a| .又切点位于第三象限，结合图形(图略)可知， a ，故选 B.|a|2 2 26(2018山东济宁模拟)已知圆 C过点 A(2,4)， B(4,2)，且圆心 C在直线 x y4上，若直线 x2 y t0 与圆 C相切，则 t的值为( )A62 B625 512C2 6 D645 5解析：选 B 因为圆 C过点 A(2,4)， B(4,2)，所以圆心 C在线段 AB的垂直平分线y x上，又
29、圆心 C在直线 x y4 上，联立Error!解得 x y2，即圆心 C(2,2)，圆 C的半径 r 2.又直线 x2 y t0 与圆 C相切，所以 2 2 2 2 4 22，解得 t62 .|2 4 t|5 57若过点 A(1,0)的直线 l与圆 C： x2 y26 x8 y210 相交于 P， Q两点，线段PQ的中点为 M， l与直线 x2 y20 的交点为 N，则| AM|AN|的值为( )A5 B6C7 D8解析：选 B 圆 C的方程化成标准方程可得( x3) 2( y4) 24，故圆心 C(3,4)，半径为 2，则可设直线 l的方程为 kx y k0( k0)，由Error!得 N
30、，又(2k 22k 1， 3k2k 1)直线 CM与 l垂直，得直线 CM的方程为 y4 (x3)1k由Error!得 M ，(k2 4k 3k2 1 ， 4k2 2kk2 1)则|AM|AN| (k2 4k 3k2 1 1)2 (4k2 2kk2 1)2 (2k 22k 1 1)2 ( 3k2k 1)2 2|2k 1|1 k2 6.故选 B.1 k231 k2|2k 1|8(2019 届高三湘东五校联考)圆( x3) 2( y3) 29 上到直线 3x4 y110 的距离等于 2的点有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析：选 B 圆( x3) 2( y3) 29 的圆心为(3,3)
31、，半径为 3，圆心到直线3x4 y110 的距离 d 2，圆上到直线 3x4 y110 的距|33 43 11|32 42离为 2的点有 2个故选 B.9圆 x2 y21 上的点到直线 3x4 y250 的距离的最小值为( )A4 B3C5 D6解析：选 A 易知圆 x2 y21 的圆心坐标为(0,0)，半径为 1，圆心到直线133x4 y250 的距离 d 5，所以圆 x2 y21 上的点到直线 3x4 y250 的| 25|5距离的最小值为 514.10(2019 届高三西安八校联考)若过点 A(3,0)的直线 l与曲线( x1) 2 y21 有公共点，则直线 l斜率的取值范围为( )A(
32、 ， ) B ， 3 3 3 3C. D.(33， 33) 33， 33解析：选 D 数形结合可知，直线 l的斜率存在，设直线 l的方程为 y k(x3)，则圆心(1,0)到直线 y k(x3)的距离应小于等于半径 1，即 1，解得|2k|1 k2 k ，故选 D.33 3311在平面直角坐标系 xOy中，已知 A(1,0)， B(0,1)，则满足| PA|2| PB|24 且在圆 x2 y24 上的点 P的个数为( )A0 B1C2 D3解析：选 C 设 P(x， y)，则由| PA|2| PB|24，得( x1) 2 y2 x2( y1) 24，所以 x y20.求满足条件的点 P的个数即
33、为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离d 2 r，所以直线与圆相交，交点个数为 2.故满足条件的点 P有 2个|0 0 2|2 212在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(0，2)，点 B(1，1)， P为圆 x2 y22上一动点，则 的最大值是( )|PB|PA|A1 B3C2 D. 2解析：选 C 设动点 P(x， y)，令 t(t0)，则 t2，整|PB|PA| 1 x 2 1 y 2 x 2 2 y 2理得，(1 t2)x2(1 t2)y22 x(24 t2)y24 t20，(*)易知当 1 t20 时，(*)式表示一个圆，且动点 P在该圆上，又点 P在圆 x2 y22 上，所以点
34、 P为两圆的公共点，两圆方程相减得两圆公共弦所在直线 l的方程为 x(12 t2)y23 t20，所以圆心(0,0)到直线 l的距离 d ，解得 0 ，解得|2k|k2 1 2k1或 k0， n0，若直线( m1) x( n1) y20 与圆( x1) 2( y1) 21 相切，则 m n的取值范围是_解析：因为 m0， n0，直线( m1) x( n1) y20 与圆( x1) 2( y1) 21 相切，所以圆心 C(1,1)到直线的距离 d 1，即| m n|m 1 n 1 2| m 1 2 n 1 2，两边平方并整理得 m n1 mn 2，即( m n)24( m n) m 1 2 n
35、1 2 (m n2 )1740，解得 m n22 ，所以 m n的取值范围为22 ，)2 2答案：22 ，)第二讲 小题考法圆锥曲线的方程与性质2考点(一)圆锥曲线的定义与标准方程 主要考查圆锥曲线的定义及其应用、标准方程的求法.典例感悟典例 (1)(2017全国卷)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线方x2a2 y2b2程为 y x，且与椭圆 1 有公共焦点，则 C的方程为( )52 x212 y23A. 1 B. 1x28 y210 x24 y25C. 1 D. 1x25 y24 x24 y23(2)(2018重庆模拟)已知点 F是抛物线 y24 x的焦点， P是该抛物线上任
36、意一点，M(5,3)，则| PF| PM|的最小值是( )A6 B5C4 D3(3)(2018湖北十堰十三中质检)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1， F2在 x轴上，P(2， )是椭圆上一点，且| PF1|，| F1F2|，| PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( )3A. 1 B. 1x28 y26 x216 y26C. 1 D. 1x24 y22 x28 y24解析 (1)根据双曲线 C的渐近线方程为 y x，可知 .52 ba 52又椭圆 1 的焦点坐标为(3,0)和(3,0)，x212 y23所以 a2 b29.根据可知 a24， b25，所以 C的方程为 1.x24 y25(2)由题
37、意知，抛物线的准线 l的方程为 x1，过点 P作 PE l于点 E，由抛物线的18定义，得| PE| PF|，易知当 P， E， M三点在同一条直线上时，| PF| PM|取得最小值，即(| PF| PM|)min5(1)6，故选 A.(3)设椭圆的标准方程为 1( ab0)，由点 P(2， )在椭圆上，知 1.x2a2 y2b2 3 4a2 3b2又| PF1|，| F1F2|，| PF2|成等差数列，则| PF1| PF2|2| F1F2|，即 2a22 c，则 .ca 12又 c2 a2 b2，联立Error!得 a28， b26，故椭圆的方程为 1.x28 y26答案 (1)B (2)
38、A (3)A方法技巧求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，即确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的 a2， b2或 p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为 y22 px或 x22 py(p0)，椭圆常设为 mx2 ny21( m0， n0)，双曲线常设为 mx2 ny21( mn0)演练冲关1.(2018合肥一模)如图，椭圆 1( a0)的左、右焦点分x2a2 y24别为 F1， F2，过 F1的直线交椭圆于 M， N两点，交 y轴于点 H.若 F1， H是线段 MN的三等分点，则 F2MN的周长为( )A20 B10C2 D45 5解
39、析：选 D 由 F1， H是线段 MN的三等分点，得 H是 F1N的中点，又 F1( c,0)，点 N的横坐标为 c，联立方程，得Error!得 N ， H ，(c，4a) (0， 2a)M .把点 M的坐标代入椭圆方程得 1，化简得 c2 ，又( 2c， 2a) 4c2a2 ( 2a)24 a2 14c2 a24， a24，解得 a25， a .由椭圆的定义知a2 14 5|NF2| NF1| MF2| MF1|2 a， F2MN的周长为|NF2| MF2| MN| NF2| MF2| NF1| MF1|4 a4 ，故选 D.52(2018河北五个一名校联考)如果点 P1， P2， P3，
40、P10是抛物线 y22 x上的点，19它们的横坐标依次为 x1， x2， x3， x10， F是抛物线的焦点，若x1 x2 x3 x105，则| P1F| P2F| P3F| P10F|_.解析：由抛物线的定义可知，抛物线 y22 px(p0)上的点 P(x0， y0)到焦点 F的距离|PF| x0 ，在 y22 x中， p1，所以p2|P1F| P2F| P10F| x1 x2 x105 p10.答案：103.如图， F1， F2是双曲线 1( a0)的左、右焦点，过 F1的x2a2 y224直线 l与双曲线交于点 A， B，若 ABF2为等边三角形，则双曲线的标准方程为_， BF1F2的面
41、积为_解析：由| AF1| AF2| BF1|2 a，| BF2| BF1|2 a，得|BF2|4 a，在 AF1F2中，| AF1|6 a，| AF2|4 a，|F1F2|2 c， F1AF260，由余弦定理得 4c236 a216 a226 a4a ，化简得12c a，由 a2 b2 c2得， a2247 a2，解得 a2，则双曲线的方程为 1，7x24 y224BF1F2的面积为 |BF1|BF2|sin F1BF2 2a4a 8 .12 12 32 3答案： 1 8x24 y224 3考点(二)圆锥曲线的几何性质 主要考查椭圆、双曲线的离心率的计算、双曲线渐近线的应用以及抛物线 的有关
42、性质.典例感悟典例 (1)(2018全国卷)双曲线 1( a0， b0)的离心率为 ，则其渐近x2a2 y2b2 3线方程为( )A y x B y x2 3C y x D y x22 32(2)(2018全国卷)已知 F1， F2是椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点， A是 Cx2a2 y2b2的左顶点，点 P在过 A且斜率为 的直线上， PF1F2为等腰三角形， F1F2P120，则3620C的离心率为( )A. B.23 12C. D.13 14(3)(2018全国卷)已知点 M(1,1)和抛物线 C： y24 x，过 C的焦点且斜率为 k的直线与 C交于 A， B两点若 AMB90
43、，则 k_.解析 (1) e ，ca a2 b2a 3 a2 b23 a2， b a.2渐近线方程为 y x.2(2)如图，作 PB x轴于点 B.由题意可设| F1F2| PF2|2，则c1.由 F1F2P120，可得| PB| ，| BF2|1，3故| AB| a11 a2，tan PAB ，解得|PB|AB| 3a 2 36a4，所以 e .ca 14(3)法一：设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error! y y 4( x1 x2)，21 2 k .y1 y2x1 x2 4y1 y2设 AB中点 M( x0， y0)，抛物线的焦点为 F，分别过点 A， B作准线 x1 的垂线，垂足为 A， B，则| MM| |AB| (|AF| BF|)12 12 (|AA|
